識得廬山真面目，活用“五招”巧解題

余會昌

【摘?要】??同角三角函數的基本關系式在三角函數求值、化簡與證明中應用廣泛，且問題解決又沒有固定套路，于是，面對不能套用公式的問題往往無從下手.但我們可在識得公式真面目上，根據問題特征，活用“從繁到簡、等價轉換、左右歸一、切弦互化、1的應用”這五招來巧解問題.

【關鍵詞】??同角;正余弦;平方和;等價轉換

同角三角函數的基本關系式主要指

sin?2?α+?cos??2α=1，?tan?α=??sin?α??cos?α?.

公式的真面目是：第一個等式左邊是正弦、余弦的平方和，右邊是常數1，從公式右邊往左看，這公式具有把常數1化為三角函數的功能.第二個公式，左邊是正切，右邊是正弦與余弦的比，這公式巧妙地把正弦、余弦與正切聯系起來了，從左往右能切化弦，從右往左則能弦化切.

例1???已知?tan?α=2，求?sin?2?α+2?sin?α?cos?α的值.

解???sin?2?α+2?sin?α?cos?α=??sin?2?α+2?sin?α?cos?α??sin?2?α+?cos??2α

=??tan??2α+2?tan?α??tan??2α+1?=?8?5?.

注??若用已知結合?sin?2?α+?cos??2α=1，分別求出?sin?α和?cos?α值，再求?sin?2?α+2?sin?α?cos?α的值，比較麻煩.在這情況下，把?sin?2?α+2?sin?α?cos?α的分母看成“1”，并以“?sin??2α+?cos??2α”來替代得??sin??2α+2?sin?α?cos?α??sin?2?α+?cos??2α?，此式分子分母都除以?cos??2α，則所求式全化為已知，從而問題得解答.這招叫“1的應用”.解這類題的關鍵在于分子、分母是同次式，則可把式子化為關于正切的式子.

例2???若△ABC的內角A滿足?sin?A?cos?A=?1?3?，求?sin?A+?cos?A和?tan?A的值.

解??因為?A是三角形內角，

且??sin?A?cos?A=?1?3?，

所以?角A必為銳角，

于是??sin?A+?cos?A?=?（?sin?A+?cos?A）?2

=?1+2×?1?3??=??15??3?.

易知?sin?A與?cos?A為方程x?2-??15??3?x+?1?3?=0的兩個根，

解得?x?1=??15?+?3??6?，x?2=??15?-?3??6?，

所以??tan?A=???15?+?3??6????15?-?3??6??=?3+?5??2?，

或??tan?A=???15?-?3??6????15?+?3??6??=?3-?5??2?.

注??若用常規方法，從?sin?A?cos?A=?1?3?求出一個，代入?sin?2?A+?cos??2A=1，求出另一個，從而求出?sin?A+?cos?A，這樣做，顯然運算較麻煩.但我們巧用“1的應用”，也顯然使問題得到較快捷的解答.在求?tan?A時，用了韋達定理，這種方法在解這類同角關系式應用題中，是常用的方法.

例3???在△ABC中，?sin?A+?cos?A=??2??2?，求?tan?A的值.

解??因為??sin?A+?cos?A=??2??2?，?①

兩邊平方，得?2?sin?A?cos?A=-?1?2?，

從而知??cos?A<0，

所以?∠A∈??π?2?，π?.

所以??sin?A-?cos?A

=?（?sin?A+?cos?A）?2-4?sin?A?cos?A

=??1?2?+1?=??6??2?.?②

由①②，得??sin?A=??6?+?2??4?，?cos?A=?-?6?+?2??4?，

所以??tan?A=??sin?A??cos?A?=-2-?3?.

注??若根據同角關系，用常規的方法，由已知的?sin?A+?cos?A=??2??2?，求出?sin?A代入?sin?2?A+?cos??2A=1，分別求出?sin?A和?cos?A再求?tan?A，那問題的求解顯然很麻煩.這里，巧用“1的應用”，對?sin?A+?cos?A=??2??2?兩邊平方，再求?sin?A+?cos?A的值，建立以?sin?A和?cos?A為變量的方程組，求出?sin?A和?cos?A，最終求得?tan?A.當然，解答中，要注意三角形內角的隱含條件.

例4???若角θ滿足?cos??2θ+?cos?θ=1，則?sin??2θ+?sin?4?θ=?.

解??由已知得?cos??2θ+?cos?θ=?sin?2?θ+?cos??2θ，

所以??sin?2?θ=?cos?θ，

于是??sin?2?θ+?sin?4?θ=?cos?θ+?cos??2θ=1.

注??解題中，把已知條件右邊的“1”，用?sin?2?θ+?cos??2θ來表示，使問題得到解決.這就是“1的應用”.

例5???化簡：?2?cos??2α-1?1-2?sin??2α?.

解????2?cos??2α-1?1-2?sin?2?α

=?2?cos??2α-（?sin??2α+?cos??2α）??sin?2?α+?cos??2α-2?sin?2?α?=1.

注??本題求解得益于“1的應用”，即把分子、分母中的“1”，轉換成?sin??2α+?cos??2α，從而求得問題的解.

例6???求證：??cos?α?1-?sin?α?=?1+?sin?α??cos?α?.

解??要證???cos?α?1-?sin?α?=?1+?sin?α??cos?α?，

即要證??cos??2α=（1+?sin?α）（1-?sin?α），

也即要證：?cos??2α=1-?sin?2?α，而這式是成立的.

注??本題是道經典題目，等式兩邊結構均等，證法很多，文中這招叫“等價轉換”.

例7???求證：

1+?sin?α+?cos?α+2?sin?α?cos?α?1+?sin?α+?cos?α?=?sin?α+?cos?α.

證明??左邊

=??sin?2?α+?cos??2α+?sin?α+?cos?α+2?sin?α?cos?α?1+?sin?α+?cos?α

=?（?sin?α+?cos?α）?2+?sin?α+?cos?α?1+?sin?α+?cos?α

=?（?sin?α+?cos?α）（1+?sin?α+?cos?α）?1+?sin?α+?cos?α

=?sin?α+?cos?α=右邊，

所以，等式成立.

注??這個等式左邊較右邊“繁”，證明時，從左邊入手進行運算，這招叫“從繁到簡”.

例8????1-2?sin?α?cos?α??cos??2α-?sin?2?α?=?1-?tan?α?1+?tan?α?.

證法1???左邊=??sin?2?α+?cos??2α-2?sin?α?cos?α??cos??2α-?sin?2?α

=?（?sin?α-?cos?α）?2?（?cos?α+?sin?α）（?cos?α-?sin?α）

=??cos?α-?sin?α??cos?α+?sin?α?=?1-?tan?α?1+?tan?α?=右邊，

所以，等式成立.

證法2???左邊=??sin?2?α-2?sin?α?cos?α+?cos??2α??cos??2α-?sin?2?α

=?（?cos?α-?sin?α）?2?（?cos?α+?sin?α）（?cos?α-?sin?α）?=??cos?α-?sin?α??cos?α+?sin?α?，

右邊=?1-??sin?α??cos?α??1+??sin?α??cos?α??=??cos?α-?sin?α??cos?α+?sin?α?，

左邊=右邊，

所以，等式成立.

注??等式左邊為正、余弦，右邊為正切，證法1采用了“弦化切”.證法2用“切化弦”.所以，在解決問題時，可進行“切弦互化”.當然，本題證明中，也用到了“1的應用”.在證法2中，分別算算左右兩邊，得到相同的值，這招叫“左右歸一”.在一道題的求解中，往往“五招”當中多招并用.

例9???證明：（?sin?α+?cos?α）?2=1+?2?sin?2?α??tan?α?.

證明??左邊=1+2?sin?α?cos?α.

右邊=1+?2?sin?2?α???sin?α??cos?α??=1+2?sin?α?cos?α，

左邊=右邊，

所以，等式成立.

注??左邊展開后，用?sin?2?α+?cos??2α=1，右邊切化弦后即可，最后得到左邊=右邊.證明中，用到“1的應用”與“左右歸一”兩招.當然，從上面證明知可從右邊進行運算，也容易得到左邊.