挖掘本質 觸類旁通 聚焦素養

阮金鋒

【摘?要】??解三角形是高考考查的重點內容，常涉及兩大題型：已知含邊角的關系式，求角或邊;與周長、面積有關的最值問題.本文以2020年新高考全國Ⅱ卷第17題為例，深入挖掘這兩大題型的本質，進行編題嘗試，解法探究，變式探究，觸類旁通，以便歸納總結出此類問題的基本模型、一般策略方法，提升核心素養.

【關鍵詞】??解三角形;最值;正（余）弦定理

1?問題提出

例1???△ABC中，?sin??2A-?sin??2B-?sin??2C=?sin?B?sin?C.

（1）求A;

（2）若BC=3，求△ABC周長的最大值.??（2020年全國Ⅱ卷）

分析???試題以三角形為載體，涉及三角形的邊、角、周長等元素或其相應的關系式，考查正?（余）?弦定理的邊角轉化關系、基本不等式、三角函數有關等知識.試題有兩問，分別涉及兩大問題，第（1）問：已知一個含邊角的關系式，求角或邊;第（2）問：已知一邊一對角，求與周長有關的最值.這兩大問題是高考常考題型，如何讓學生很好地掌握，是教師所思考與關注的課題.為了解決以上問題，文章通過挖掘本質，對第一種題型進行編題嘗試，對第二種題型進行解法探究、變式探究，觸類旁通，以便歸納總結出此類問題的基本模型、一般策略方法，提升核心素養.

解???（1）由?sin?2?A-?sin?2?B-?sin?2?C=?sin?B?sin?C，

可得?a?2-b?2-c?2=bc，

于是??cos?A=?b?2+c?2-a?2?2bc?=-?1?2?，

因為?A∈（0，π），

所以?A=?2π?3?.

2?編題嘗試

已知一個含邊角的關系式，求邊或角，是高考中最常考的一種題型，一般設計在第一問，難度不高，但有些同學因基礎知識不過關導致丟分.解決這類問題，本質上主要根據正?（余）?弦定理，為了更好地讓學生掌握，本文采取新的嘗試，反其道而行之，進行編題嘗試.

編題??已知△ABC的內角A，B，C及其對邊a，b，c，?，求A.

（橫線中填一個能推出A=?2π?3?的邊角關系）

分析??A=?2π?3??a?2-b?2-c?2=bc，

sin?2?A-?sin??2B=?sin?2?C+?sin?B?sin?C，

a?-??3??2??=?b??sin?B??a?sin?B+??3??2?b=0，

……

A=?2π?3

（a-b）（?sin?A+?sin?B）=c（?sin?C+?sin?B）

……

A=?2π?3???sin??A-?π?6??=1，

3??sin?A-?cos?A=2?……

3?解法探究

本題第（2）問研究解三角最值問題，本質上可歸結于：已知一角一對邊，求周長的最值?（即兩邊和的最值）?.現對其幾種常見解法進行探究.

解法1???由余弦定理得

a?2=b?2+c?2-2bc?cos?A=b?2+c?2+bc=9，

即?（b+c）?2-bc=9.

因為?bc≤??b+c?2???2，

（當且僅當b=c時等號成立）?，

所以?9=（b+c）?2-bc

≥（b+c）?2-??b+c?2???2=?3?4?（b+c）?2，

即?b+c≤2?3?，

（當且僅當b=c時等號成立）?，

故?△ABC周長的最大值為3+2?3?.

解法2???由（1）知?A=?2π?3?，且a=3.

由正弦定理??a??sin?A?=?b??sin?B?=?c??sin?C?=2?3?，

所以?b+c=2?3??sin?B+2?3??sin?C.

由A+B+C=π可知?B=?π?3?-C，

則?0

所以?b+c?=2?3??sin???π?3?-C?+2?3??sin?C

=2?3??sin???π?3?+C?，

易知當C=?π?6?時，（b+c）???max??=2?3?，

所以?△ABC周長的最大值為3+2?3?.

解法3???由?a??sin?A?=2R=2?3?，得

該三角形外接圓半徑為?3?，作出該圓如圖1所示.

由題意可知?BC=3，A=?2π?3?.

依題意得，當AC=AB時，△ABC周長的最大值為

3+2?3?.

4?變式探究

三角形有六個要素?（三個角、三條邊）?，解三角的本質為：已知三個要素?（至少含有一條邊）?，便可解三角形?（即求出其它的要素）?.類似的，解三角最值問題也是以邊、角為要素、研究周長、面積等的最值，其本質為：已知兩個要素?（至少含有一條邊）?，求最值.正如本題第二問可歸結為：已知一角一對邊，求周長的最值?（即兩邊和的最值）?.按這一思維邏輯，挖掘其本質，為了探討三角形最值問題，觸類旁通，進行變式探究.

變式1?已知一角一鄰邊，求最值?（范圍）

例2???△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a，b，c.已知a?sin??A+C?2?=b?sin?A.

（1）求B;

（2）若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.??（2019年全國Ⅲ卷）

解??（1）由正弦定理得

sin?A?sin??A+C?2?=?sin?B?sin?A.

因為?A∈（0，π），?sin?A≠0，

所以??sin??A+C?2?=?sin?B.

在△ABC中，A+B+C=π，

所以??sin??A+C?2?=?cos??B?2?，

故??cos??B?2?=?sin?B，

即??cos??B?2?=2?sin??B?2??cos??B?2?.

因為??cos??B?2?≠0，

所以??sin??B?2?=?1?2?，B=?π?3?.

（2）??解法1???由余弦定理b?2=a?2-a+1，?①

又?△ABC是銳角三角形，

所以??cos?A=?b?2+1-a?2?2b?>0，

即?b?2-a?2+1>0.??②

同理??cos?C>0，

得?a?2+b?2-1>0.??③

聯立①②③解得??1?2?

根據三角形面積公式

S??△ABC?=?1?2?ac?sin?B=??3?a?4?，

故求得三角形面積范圍為???3??8?

解法2???由于△ABC是銳角三角形，

由（1）知?B=?π?3?，A+B+C=π，

即?A+C=?2π?3?，

所以??0

解得??π?6?

根據正弦定理?a??sin?A?=?c??sin?C?，c=1，

由三角形面積公式有

S??△ABC??=?1?2?ac?sin?B=?1?2?c?2·?a?c?·?sin?B

=?1?2?c?2·??sin?A??sin?C?·?sin?B

=??3??4?·??sin???2π?3?-C???sin?C

=?3?8?·?1??tan?C?+??3??8?，

又因為??π?6?

即??tan?C>??3??3?，

所以???3??8?

故???3??8?

解法3???如圖2，依題意得，在?Rt?△ABC?1中，

AC?2⊥BC?1，AB=1，

B=?π?3?，BC?2=?1?2?，BC?1=2.

要使△ABC為銳角三角形，三角形中的點C只能在C?1，C?2之間運動?（不包括這兩點）?，

所以??1?2?

又?S??△ABC?=?1?2?·1·a·?sin??π?3?，

所以???3??8?

變式2?已知兩邊，求最值?（范圍）

例3???已知銳角△ABC的內角A，B，C及其對邊a，b，c，若a=1，b=2.求△ABC的面積的取值范圍.

解法1???由正弦定理?a??sin?A?=?b??sin?B?，得

1??sin?A?=?2??sin?B?，

所以??sin?B=2?sin?A.

因為?△ABC為銳角三角形，

所以?0

因為?0

所以?0

于是?C=π-A-B>π-?π?6?-?π?2?=?π?3?，

所以??π?3?

從而?S??△ABC?=?1?2?ab?sin?C=?sin?C∈???3??2?，1?.

解法2???由余弦定理得

c?2=a?2+b?2-2ab?cos?C=5-4?cos?C，??①

又因為?△ABC為銳角三角形，

所以?5>c?2，且1+c?2>4，??②

由①②得?0

即??π?3?

所以?S??△ABC?=?1?2?ab?sin?C=?sin?C∈???3??2?，1?.

變式3?已知兩要素?（其他）?，求最值?（范圍）

例4???在△ABC中，∠ABC=?π?3?，若D為邊AC的中點，且BD=1，求△ABC面積的最大值.

解??因為BD為邊AC的中線，

所以??BD??=?1?2?（?BA??+?BC??），

則??BD???2=?1?4?（?BA??+?BC??）?2

=?1?4?（c?2+a?2+2ac?cos?B）=1，

由基本不等式，得?4=c?2+a?2+ac≥3ac，

所以?ac≤?4?3?，當且僅當a=c時，等號成立.

因此?S??△ABC?=?1?2?ac?sin?B=??3??4?ac≤??3??3?，

故?△ABC面積的最大值為??3??3?，

當且僅當a=c時，等號成立.

解三角形中的最值問題既用到三角函數知識，又有不等式的內容，可謂是函數、三角、不等式、向量的交匯點. 常用到三角形正弦定理、余弦定理、內角和定理、面積公式、三角形中不等關系、三角函數的圖象和性質、三角恒等變形、基本不等式等.

通常解決三角形中的最值問題有兩種方法： 一是化邊為角，利用三角函數的有界性求解; 二是化角為邊，利用均值不等式求解.