淺談數列的單調性和最值的一般處理方法

陳振靜

【摘?要】??數列是特殊的函數，在高考中，經常需要研究函數的單調性和最值.實際上，數列的單調性和最值也是熱點.

【關鍵詞】??數列;高考;單調性

本文將以教材?（人教?A?版2019選修第二冊）?例題和高考題對這一問題進行梳理.

1?數列——特殊的函數

數列的一般形式是a?1，a?2，…，a?n，…，簡記為{a?n}.

數列{a?n}可以看成是從正整數集?N??*?（或它的有限子集{1，2，…，n}）?到實數集?R?的函數，以前學過的函數的自變量通常是連續變化的，而數列的自變量為離散的數.數列是一類特殊的函數.

與函數類似，可以定義數列的單調性：

從第2項起，每一項都大于它的前一項的數列叫做遞增數列;

從第2項起，每一項都小于它的前一項的數列叫做遞減數列.

特別地，各項都相等的數列叫做常數列.

2?研究數列單調性的方法

（1）?函數圖象法

結合相應的圖象直觀判斷.

（2）?作差法

根據a??n+1?-a?n的符號判斷{a?n}的單調性.

（3）?作商法?（a?n>0或a?n<0）

根據?a??n+1??a?n?與1的大小關系進行判斷.

（4）?鄰項比較法

（5）?導數法

導數是研究函數問題的強有力工具，數列是特殊的函數，因而可以將數列嵌入到一個可導函數中，通過求導研究函數單調性，進而得到數列的單調性，但要注意數列的單調性與函數的單調性又不完全相同.

3?蘊含的數學思想

在利用數列的單調性求最大?（最小）?項的過程中，讓學生體會從特殊到一般的解題的思想方法，體會函數思想，方程思想，轉化與化歸思想，數形結合思想等.

4?典型題目

例1???已知函數f（x）=?2?x-1?2?x??（x∈?R?）?，設數列{a?n}的通項公式為a?n=f（n）?（n∈?N??*）?.

（1）求證：a?n≥?1?2?.

（2）{a?n}是遞增數列還是遞減數列？為什么？??（必修2第9頁第7題）

解??（1）因為a?n=?2?n-1?2?n?=1-?1?2?n??（n∈?N??*）?，

且?0

所以?a?n≥1-?1?2?=?1?2?.

（2）{a?n}是遞增數列.

解法1???因為

a??n+1?-a?n?=?1-?1?2??n+1???-?1-?1?2?n

=?1?2??n+1??>0，

所以?a??n+1?>a?n，

故?{a?n}是遞增數列.

解法2???因為?a?n>0，

且??a??n+1??a?n??=??2??n+1?-1?2??n+1????2?n-1?2?n??=?2??n+1?-1?2??n+1?-2

=1+?1?2??n+1?-2?>1，

所以?a??n+1?>a?n，

故?{a?n}是遞增數列.

解法3???利用函數f（x）=?2?x-1?2?x??（x∈?R?）?的單調性.

因為?f（x）=1-?1?2?x?在[1，+∞）單調遞增，

a?n=f（n），

所以?{a?n}是遞增數列.

例2???已知數列{a?n}的通項公式為a?n=?n?3?3?n?，求使a?n取得最大值時的n的值.??（必修2第34頁第5題）

解法1?作商法

令?a??n+1??a?n?=??（n+1）?3?3??n+1????n?3?3?n??=?（n+1）?3?3n?3?>1，

得?（n+1）?3>3n?3，

即?n+1>?3?3?n，（?3?3?-1）n<1，

解得?n<2.26.

所以當n≤2時，?a??n+1??a?n?>1，即a?1

當n≥3時，?a??n+1??a?n?<1，即a?3>a?4>a?5>…，

所以?a?1a?4>a?5>a?6>…，

故?{a?n}取得最大值時，n的值為3.

解法2?作差法

a??n+1?-a?n=?（n+1）?3?3??n+1??-?n?3?3?n

=?（n+1）?3-3n?3?3??n+1

=??（n+1-?3?3?n）[（n+1）?2+（n+1）?3?3?n+?3?9?n?2]?3??n+1???.

令a??n+1?-a?n>0，得

n+1>?3?3?n，

以下同解法1.

解法3?圖象法

設f（x）=?x?3?3?x??（x>0）?，則

f′（x）=?x?2（3-x?ln?3）?3?x?，

令f′（x）=0，得?x=?3??ln?3?.

當x∈?0，?3??ln?3??時，f′（x）>0，

所以f（x）在?0，?3??ln?3??上單調遞增;

當x∈??3??ln?3?，+∞?時，f′（x）<0，

所以f（x）在??3??ln?3?，+∞?上單調遞減.

結合對數知識可得

3??ln3??∈（2，3），

又?f（2）=?8?9?，f（3）=1，

所以?a?1a?4>a?5>a?6>…，

故?{a?n}取得最大值時，n的值為3.

下面給出函數f（x）=?x?3?3?x?的圖象，如圖1，把它局部放大，得到圖2.

通過圖象看到雖然a?1

在探求較復雜數列的最大、最小項的過程中，學生經常會直接套用函數的單調性來解決數列的單調性問題，而忽視了數列的不連續性.在這里可以借助直觀圖象幫助學生理解它們的關系，加強學生思維的嚴密性.

例3???若數列?n（n+4）??2?3???n?中的最大項是第k項，則k=?.??（2011年浙江卷·文）

解法1?作商法

a?n=n（n+4）??2?3???n，

則??a??n+1??a?n??=?（n+1）（n+5）??2?3????n+1??n（n+4）??2?3???n

=?2（n+1）（n+5）?3n（n+4）?，

a??n+1??a?n?-1?=?2（n+1）（n+5）-3n（n+4）?3n（n+4）

=?-n?2+10?3n（n+4）?，

令-n?2+10>0，得

-?10?

此時??a??n+1??a?n?>1.

即當n=1，2，3時，?a??n+1??a?n?>1，

所以?a?1

令-n?2+10<0，得?n>?10?，

此時??a??n+1??a?n?<1.

即當n=4，5，6，…時，?a??n+1??a?n?<1，

所以?a?4>a?5>a?6>…，

于是?a?1a?5>a?6>…，

故當n=4時是最大項，即k=4.

解法2?作差法

a??n+1?-a?n

=（n+1）（n+5）??2?3????n+1?-n（n+4）??2?3???n

=??2?3???n??2?3?（n?2+6n+5）-n?2-4n

=?2?n?3??n+1??（10-n?2）.

當n=1，2，3時，a??n+1?-a?n>0，

所以?a?1

當n=4，5，6，…時，a??n+1?-a?n<0，

所以?a?4>a?5>a?6>…，

于是?a?1a?5>a?6>…，

故當n=4時是最大項，即k=4.

例4???等差數列{a?n}的前n項和為S?n，已知S??10?=0，S??15?=25，則nS?n的最小值為?.??（2013年新課標Ⅱ卷）

解??易得?S?n=?1?3?n?2-?10?3?n，

所以?nS?n=?1?3?n?3-?10?3?n?2，

下面利用導數研究單調性

設f（x）=?1?3?x?3-?10?3?x?2，則

f′（x）=x?2-?20?3?x，

令f′（x）=0，得

x=0或x=?20?3?，

所以當0

當x>?20?3?時，f′（x）>0.

當x=?20?3?時，f（x）取得最小值.

又?n∈?N??*，f（6）=-48，f（7）=-49，

所以當n=7時，f（n）取得最小值-49，

故?nS?n的最小值為-49.

其中，函數f（x）=?1?3?x?3-?10?3?x?2的圖象如圖3所示.

在探求較復雜數列的最大、最小項的過程中，體驗多角度解決問題的方法，提高綜合分析、解決問題的能力，學生在做題時存在“怕新不怕難”的問題，也主要是對通性通法掌握的不牢，遇到題目不能靈活轉化新題為熟題.