5.新高考全國Ⅰ卷

一、單項選擇題

1.若集合M={x|x<4}，N={x|3x≥1}，則M∩N=（）

（A）{x|0≤x<2}.

（B）x|13≤x<2.

（C）{x|3≤x<16}.

（D）x|13≤x<16.

2.若i（1-z）=1，則z+=（）

（A）-2.（B）-1.（C）1.（D）2.

3.在△ABC中，點D在邊AB上，BD=2DA.記CA=m，CD=n，則CB=（）

（A）3m-2n.（B）-2m+3n.

（C）3m+2n.（D）2m+3n.

4.南水北調工程緩解了北方一些地區水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔1485m時，相應水面的面積為1400km2;水位為海拔1575m時，相應水面的面積為1800km2.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔1485m上升到1575m時，增加的水量約為（7≈265）（）

（A）10×109m3.（B）12×109m3.

（C）14×109m3.（D）16×109m3.

5.從2到8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為（）

（A）16.（B）13.（C）12.（D）23.

6.記函數f（x）=sinωx+π4+b（ω>0）的最小正周期為T.若2π3

（A）1.（B）32.（C）52.（D）3.

7.設a=01e01，b=19，c=-ln09，則（）

（A）a

（C）c

8.已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36π，且3≤l≤33，則該四棱錐體積的取值范圍是（）

（A）18，814.（B）274，814.

（C）274，643.（D）[18，27].

二、多項選擇題

9.已知正方體ABCD|A1B1C1D1，則（）

（A）直線BC1與DA1所成的角為90°.

（B）直線BC1與CA1所成的角為90°.

（C）直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°.

（D）直線BC1與平面ABCD所成的角為45°.

10.已知函數f（x）=x3-x+1，則（）

（A）f（x）有兩個極值點.

（B）f（x）有三個零點.

（C）點（0，1）是曲線y=f（x）的對稱中心.

（D）直線y=2x是曲線y=f（x）的切線.

11.已知O為坐標原點，點A（1，1）在拋物線C：x2=2py（p>0）上，過點B（0，-1）的直線交C于P，Q兩點，則（）

（A）C的準線為y=-1.

（B）直線AB與C相切.

（C）|OP|·|OQ|>|OA|2.

（D）|BP|·|BQ|>|BA|2.

12.已知函數f（x）及其導函數f′（x）的定義域均為R，記g（x）=f′（x）.若f32-2x，g（2+x）均為偶函數，則（）

（A）f（0）=0.（B）g-12=0.

（C）f（-1）=f（4）.（D）g（-1）=g（2）.

三、填空題

13.1-yx（x+y）8的展開式中x2y6的系數為（用數字作答）.

14.寫出與圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一條直線的方程.

15.若曲線y=（x+a）ex有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是.

16.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），C的上頂點為A，兩個焦點為F1，F2，離心率為12，過F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點，|DE|=6，則△ADE的周長是.

四、解答題

17.記Sn為數列{an}的前n項和，已知a1=1，Snan是公差為13的等差數列.

（1）求{an}的通項公式;

（2）證明：1a1+1a2+…+1an<2.

18.記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B.

圖1

（1）若C=2π3，求B;

（2）求a2+b2c2的最小值.

19.如圖1，直三棱柱ABC|A1B1C1的體積為4，△A1BC的面積為22.

（1）求A到平面A1BC的距離;

（2）設D為A1C的中點，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A|BD|C的正弦值.

20.一醫療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當地居民的衛生習慣（衛生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系.在已患該疾病的病例中隨機調查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人（稱為對照組），得到如下數據：

不夠良好良好病例組4060對照組1090

（1）能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異？

（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”，P（B|A）P（|A）與P（B|）P（|）的比值是衛生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為R.

（i）證明：R=P（A|B）P（|B）·P（|）P（A|）;

（ii）利用該調查數據，給出P（A|B），P（A|）的估計值，并利用（i）的結果給出R的估計值.

附：K2=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d），

P（K2≥k）005000100001k3841663510828

21.已知點A（2，1）在雙曲線C：x2a2-y2a2-1=1（a>1）上，直線l交C于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為0.

（1）求l的斜率;

（2）若tan∠PAQ=22，求△PAQ的面積.

22.已知函數f（x）=ex-ax和g（x）=ax-lnx有相同的最小值.

（1）求a;

（2）證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f（x）和y=g（x）共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.

參考答案

題號12345678910111213答案DDBCDACCABDACBCDBC-28

題號141516答案3x+4y-5=0;x=-1，24y-7x+25=0（-∞，-4）∪（0，+∞）13

17.因為Snan是以首項為1，公差為13的等差數列，

所以Snan=1+13（n-1）=n+23，

故Sn=n+23an.①

當n≥2時，Sn-1=n+13an-1，②

②-①，得an=n+23an-n+13an-1，

所以（n-1）an=（n+1）an-1，

即anan-1=n+1n-1，

由累加法得an=n（n+1）2.

（2）因為1an=2n（n+1）=2n-2n+1，

所以1a1+1a2+…+1an

=21-22+22-23+…+2n

=2-2n+1，

故原不等式得證.

18.（1）因為

sin2B1+cos2B=2sinBcosB1+2cos2B-1=sinBcosB，

由題目條件cosA1+sinA=sin2B1+cos2B，

知cosA1+sinA=sinBcosB，

所以cosAcosB=sinB+sinBsinB，

即cosAcosB-sinAsinB=sinB，

故cos（A+B）=sinB.

又A+B+C=π，

所以-cosC=sinB.

因為C=2π3，

所以sinB=12，

又B∈0，π3，

所以B=π6.

（2）由（1）知cosC=-sinB，

所以cosC=cosπ2+B，

又A+B+C=π，

所以C=π2+B，A=π-B-C=π2-2B，

由正弦定理知

a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C

=sin2π2-2B+sin2Bsin2π2+B

=cos22B+1-cos2Bcos2B

=（2cos2B-1）2+1-cos2Bcos2B

=4cos4B-5cos2B+2cos2B

=4cos2B+2cos2B-5

≥42-5，

當且僅當cosB=2-14時等號成立.

19.（1）VA|A1BC=13V=43，

所以13S△A1BC·h=43，

解得h=2.

（2）取A1B中點M.

由AA1=AB，得

AM⊥A1B.

由面A1BC⊥面ABB1A1及兩個面交線為A1B，

圖2

則AM⊥面A1BC，

進而AM⊥BC.

由AA1⊥BC，得

BC⊥面A1AB，

故AB⊥BC.

故BA，BC，BB1三條直線兩兩垂直，建立如圖2坐標系，

易知AA1=AB=2，

A1B=2AM=22，

又S△A1BC=12AB·BC=22，

所以BC=2，

則A（0，2，0），B（0，0，0），C（2，0，0），

A1（0，2，2），D（1，1，1），

故BA=（0，2，0），BD=（1，1，0）.

設平面ABD的法向量為

n1=（x1，y1，z1），

則2y1=0，x1+y1+z1=0.

令x1=1，則z1=-1，

故n1=（1，0，-1）.

同理n2=（0，1，-1），

故cos〈n1，n2〉=12×2=12.

設所求角為θ，則sinθ=32.

20.（1）列表

不夠良好良好病例組4060100對照組1090100合計50150200

x2=200×（40×90-60×100）250×150×100×100

=2（4×9-6×1）25×15

=24>6635，

故有99%的把握.

（2）（i）由題意

R=P（B|A）P（|A）P（B|）P（|）=P（AB）P（A）P（A）P（A）÷P（B）P（）P（）P（）

=P（AB）P（A）×P（）P（B），

而P（A|B）P（|B）·P（|）P（A|）=P（AB）P（B）P（B）P（B）·P（）P（）P（A）P（）

=P（AB）P（B）·P（）P（A），

故相等.

（ii）易得

AB40601090

P（A|B）=P（AB）P（B）=40100=25，

P（A|）=P（A）P（）=10100=110，

P（|B）=P（B）P（B）=60100=35，

P（|）=P（）P（）=90100=910，

所以R=2535×910110=23×9=6.

21.（1）將點A（2，1）代入曲線方程得

4a2-1a2-1，

去分母，變形可得a4-4a2+4=0，

解得a2=2，

故雙曲線C的方程為x22-y2=1.

設直線l的方程為y=kx+b，

P（x1，y1），Q（x2，y2）.

聯立y=kx+b，x22-y2=1，消去y可得

x22-（kx+b）2=1，

整理得k2-12x2+2kbx+（b2+1）=0，

由韋達定理，得

x1+x2=-2kbk2-12，x1x2=k2+1k2-12.

直線AP的斜率為kAP=y1-1x1-2，

由于點P（x1，y1）在直線l：y=kx+b上，知

y1=kx1+b，

因此kAP=kx1+b-1x1-2=k+2k+b-1x1-2.

同理kAQ=k+2k+b-1x2-2，

根據已知條件kAP+kAQ=0，

而kAP+kAQ

=2k+（2k+b-1）1x1-2+1x2-2

=2k+（2k+b-1）·x1+x2-4x1x2-2（x1+x2）+4

=2k+（2k+b-1）·-2kbk2-12-4b2+1k2-12+4kbk2-12+4

=2k+（2k+b-1）·-2kb-4k2+2b2+4kb+4k2-1

=2k+-2kb-4k2+22k+b+1=2k+22k+b+1，

因此2k+22k+b+1=0，

得k=-1，

即l的斜率為-1.

（2）由于直線l的斜率k=-1，

其方程為y=-x+b，

直線l和雙曲線C的的聯立方程簡化為

12x2-2bx+（b2+1）=0，

得x1+x2=-2kbk2-12=4b，

x1x2=b2+1k2-12=2b2+2，

點P的坐標滿足y1=-x1+b，

和12x21-2bx1+（b2+1）=0，

上式可變形為x21=4bx1-2（b2+1），

AP=（x1-2，y1-1）

=（x1-2，-x1+b-1），

|AP|=（x1-2）2+（-x1+b-1）2

=2x21-4bx1+b2-2b+5

=4bx1-3b2-2b+1，

同理AQ=（x2-2，y2-1）

=（x2-2，-x2+h-1），

|AQ|=4bx2-3b2-2b+1，

考慮到直線l的斜率k=-1，

直線AP和AQ的斜率分別為

kAP=k+2k+b-1x1-2=-1+b-3x1-2，

kAQ=-1+b-3x2-2，

它們夾角的正切值為

kAP-kAQ1+kAPkAQ

=-1+b-3x1-2--1+b-3x2-21+-1+b-3x1-2-1+b-3x2-2

=b-3x1-2-b-3x2-22-b-3x1-2-b-3x2-2+b-3x1-2·b-3x2-2

=（b-3）（x2-x1）2（x1-2）（x2-2）-（b-3）（x1+x2-4）+（b-3）2，

直線l和雙曲線C的聯立方程簡化為

12x2-2bx+（b2+1）=0，

得x1+x2=-2kbk2-12=4b，

x1x2=b2+1k2-12=2b2+2，

故（x1-2）（x2-2）=x1x2-2（x1+x2）+4

=2b2-8b+6，

|x1-x2|=（2b）2-4×12（b2+1）12

=22b2-2，

因此，AP和AQ的夾角正切值為

kAP-kAQ1+kAPkAQ

=（b-3）（x2-x1）2（x1-2）（x2-2）-（b-3）（x1+x2-4）+（b-3）2

=（b-3）·22b2-22（2b2-8b+6）-（b-3）（4b-4）+（b-3）2

=22·b2-1b-3，

依題意，這個正切值等于22，

因此b2-1b-3=1，

解得b=53，

所以，直線l的方程為

y=-x+53，

點A到它的距離為

2+1-5312+12=223，

P，Q兩點之間的距離為

1+k2·|x1-x2|=1+k2·22b2-2=163，

故△PAQ的面積為

12×163×223=1629.

22.（1）f′（x）=ex-a，

g′（x）=a-1x=ax-1x.

當a≤0時，ex>0，

所以f′（x）>0，

即f（x）在R上遞增，無最小值，不合題意;

當a>0時，f（x）在（-∞，lna）上單調遞減，（lna，+∞）上單調遞增，

所以f（x）min=f（lna）=a-alna，

g（x）在0，1a上單調遞減，

1a，+∞上單調遞增，

所以g（x）min=g1a=1+lna，

又a-alna=1+lna，

即（a+1）lna=a-1，

所以lna-a-1a+1=0.（*）

令h（a）=lna-a-1a+1，

則h′（a）=1a-2（a+1）2=a2+1a（a+1）2>0，

所以h（a）在（0，+∞）上單調遞增，

又h（1）=0，

由（*）式得a=1.

（2）由（1）知

f（x）在（-∞，0）上單調遞減，

在（0，+∞）上單調遞增，

g（x）在（0，1）上單調遞減，

在（1，+∞）上單調遞增.

設y=b，f（x），g（x）三個交點橫坐標為

x1，x2，x3（x1

所以x1<0，01，

于是f（x1）=f（x2）=ex1-x1

=ex2-x2=b，

因為g（x2）=g（x3）=b，

所以x2-lnx2=x3-lnx3=b，elnx2-lnx2=elnx3-x3=b，f（lnx2）=f（lnx3）=b，

又lnx2<0，lnx3>0，

所以x1=lnx2，x2=lnx3，①

且ex2-x2=x2-lnx2，

即ex2+lnx2=2x2，②

由①②，得x1+x3=lnx2+ex2=2x2，

所以，存在直線y=b，其與兩條曲線y=f（x）與y=g（x）共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.