第八屆世界數(shù)學(xué)團(tuán)體錦標(biāo)賽·青年組

團(tuán)體賽

1.?已知a?n=2n+1，計(jì)算：a?1a?2-a?2a?3+a?3a?4-a?4a?5+…+a??17?a??18?.

2.?已知函數(shù)f（x）=?2??x+2?+2?2?x+1?.當(dāng)x∈[-4，4]時(shí)，f（x）的最大值與最小值分別記作M，m，求?M+m?.

3.?已知長(zhǎng)方體ABCD＼|A?1B?1C?1D?1中，點(diǎn)E是線段B?1D?1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F是AE上一點(diǎn)，且AF=2FE.若AB=4，AD=2，AA?1=3，求四面體BDEF的體積.

4.?已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足?a（4-b）=4，b（4-c）=4，c（4-a）=4.?求a+b+c的值.

5.?函數(shù)f（x）=ax?2+bx+c在區(qū)間[d，d+2]的取值范圍為[e，e+1]，其中a，b，c，d，e均為實(shí)數(shù)，求a能取到的最大值.????圖1

6.?如圖1，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是圓上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，求線段AD，BD，CD可以構(gòu)成銳角三角形的概率.

7.?定義在?R?上的連續(xù)函數(shù)y=f（x）滿足下列條件：

①對(duì)于任意x∈?R?，都有f（x?3）=（f（x））?3;

②對(duì)于任意x?1，x?2∈?R?，當(dāng)x?1≠x?2時(shí)，都有f（x?1）≠f（x?2）.

求[f（-1）+f（1）]?2-f（0）的值.

8.?已知a，b，c，d是互不相同的正整數(shù)，求?abcd?a+b+c+d?的最小值.

9.?解方程：?x+?x?2?x+1??+?x??x+1??=x+1.

10.?已知等差數(shù)列{a?n}與{b?n}的前n項(xiàng)和分別為S?n與T?n，且?S?n?T?n?=?2n+4?3n-1?，求?a?6?b?5?.

11.?已知ab>0，a+2b=1，求a+?ab?的最大值.

12.?已知點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（-1，-2），點(diǎn)C是橢圓?x?2?4?+?y?2?3?=1上一點(diǎn)，求△ABC的面積的最小值.

13.?將與190互質(zhì)的所有正整數(shù)從小到大排成一列，求第2017個(gè)數(shù).

14.?空間四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=3，若AC⊥BD，求AD.

15.?已知函數(shù)f（x）=x?2-2ax+a?2-1，若關(guān)于x的不等式f（f（x））≤0的解集中有且只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

16.?已知拋物線C：y?2=2px（p是大于0的常數(shù)）的焦點(diǎn)為F，直線l：2x-y-6=0與拋物線C交于兩點(diǎn)A、B，若?FA??·?FB??=0，求p的值.

17.?已知點(diǎn)P是函數(shù)y=?e??x的圖象上一點(diǎn)，曲線y=?e??x在點(diǎn)P處的切線l與直線x=1，x=2及x軸圍成一個(gè)梯形，求該梯形的面積的最大值.

18.?如圖2，足球的球皮由x塊相同的正五邊形和y塊相同的正六邊形皮子縫制而成，已知x+y=32，求x的值.

19.?已知正數(shù)a，b，λ使得不等式??a?2?a?2+b?2??+?λ??b?a+b???≤?3?2??2?恒成立，求λ的最大值.

20.?設(shè)f（x）=∑?2017?k=1???x?k！??，其中[x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù).若方程f（x）=n（1≤n≤2017且n為偶數(shù)）有解，求n的個(gè)數(shù).

（注：∑?2017?k=1???x?k！??=??x?1！??+??x?2！??+…+??x?2017！??）

接力賽

1A??.設(shè)等差數(shù)列{a?n}的前n項(xiàng)和為S?n，若a?1=1，公差d=2，S??m+2?-S?m=36，求m.

1B??.設(shè)前面隊(duì)友傳來(lái)的答案是T.

已知正三棱錐的側(cè)面均為面積為T的直角三角形，求該正三棱錐的外接球的表面積.?（π取3）

2A.??求|x-2|+|x-1|+|y|=3表示的曲線所圍成的區(qū)域的面積.

2B.??設(shè)前面隊(duì)友傳來(lái)的答案是T.

已知點(diǎn)P是半徑為T的球O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作該球的三條兩兩垂直的動(dòng)弦PA、PB、PC，求點(diǎn)P到平面ABC的距離的最大值.

3A.??已知ab>0，a+b=ab，求?a?1+a?+?b?1+b?的最小值.

3B??.設(shè)前面隊(duì)友傳來(lái)的答案是T.

在xOy平面內(nèi)，過(guò)拋物線x?2=2py（p>0）的焦點(diǎn)F作傾斜角為60?°?的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若△OAB的面積為T，求p.

個(gè)人賽

1.?已知?2?介于?n+4?n+2?與?n+3?n+1?之間，求正整數(shù)n的值.

2.?已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-1|+??1?2?（?e??x+?e???-x?）?（x∈?R?）??，求f（x）的最小值.

3.?已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)及兩個(gè)焦點(diǎn)圍成一個(gè)正方形，求橢圓C的離心率.

4.?若數(shù)列{a?n}滿足

a??n+1?=?2a?n，??0≤a?n

若a?1=?2?7?，求a??2017?的值.

5.?已知直角△ABC的面積為?1?2?，求△ABC周長(zhǎng)的最小值.

6.?設(shè)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，求[?lg?1]+[?lg?2]+[?lg?3]+…+[?lg?2017]的值.

7.?求三角函數(shù)式?tan?225°+2tan25°tan40°?的值.

8.?在長(zhǎng)方體ABCD＼|A?1B?1C?1D?1中，AB=BC=2，AA?1=1，求異面直線AC?1與BB?1所成的角的余弦值.

9.?已知正整數(shù)數(shù)列{x?n}滿足x??n+2?=x?n+x??n+1?（n∈?N??*），若x?6=61，求質(zhì)數(shù)x?1的最大值.

10.?點(diǎn)M是橢圓?x?2?8?+?y?2?4?=1上一點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓右焦點(diǎn)，已知點(diǎn)P（2，1），求?2?|MF|+|MP|的最小值.

11.?一個(gè)長(zhǎng)方體相鄰三個(gè)面的面積分別為12、48、36，求該長(zhǎng)方體外接球的表面積.（π取3）

12.?求方程x?3+6x?2+5x=y?3-y+2的整數(shù)解（x，y）的個(gè)數(shù).

13.?點(diǎn)P是單位圓O上的一點(diǎn)，A?1A?2…A??2017?是圓O的內(nèi)接正2017邊形，求

PA??2??1+PA??2??2+…+PA??2???2017?.

14.?已知x?1=2，對(duì)任意n∈?N??*，x??n+1?=?x??2??n?x?n+1?，求∑?2017?n=1??x?n?x?n+1?的整數(shù)部分.

參考答案

團(tuán)體賽

1.?a?1a?2-a?2a?3+a?3a?4-a?4a?5+…+a??17?a??18

=a?2（a?1-a?3）+a?4（a?3-a?5）+…+

a??16?（a??15?-a??17?）+a??17?a??18

=-4（a?2+a?4+a?6+…+a??16?）+a??17?a??18

=-4×?（a?2+a??16?）×?16?2??2?+a??17?a??18

=-16×（5+33）+35×37

=-608+1295

=687.

2.??f（x）=?4·2?x+2?2?x+1

=?（2?x-1）+（3·2?x+3）?2?x+1

=?2?x-1?2?x+1?+3.

令g（x）=?2?x-1?2?x+1?，易知

g（x）是[-4，4]上的奇函數(shù)，

若g（x）在[-4，4]上的最大值是a，

則?g（x）在[-4，4]上的最小值是-a，

所以?M=a+3，m=-a+3，

故?M+m=6.

3.?如圖3，由AF=2EF，知?F為AE的三等分點(diǎn)，

易知?三棱錐F＼|ABD與三棱錐E＼|ABD的體積之比為?2∶3?.

設(shè)V??E＼|ABD?=V，則

V??F＼|ABD?=?2?3?V，

V??F＼|DBE?=V??E＼|ABD?-V??F＼|ABD?=V-?2?3?V=?1?3?V，

又?V?=V??E＼|ABD?=?1?3?S??△ABD?·AA?1

=?1?3?×?1?2?×4×2×3=4，

所以三棱錐F＼|DBE的體積為

1?3?V=?1?3?×4=?4?3?.

4.?將題設(shè)方程組?a（4-b）=4，b（4-c）=4，c（4-a）=4.?變形，得

a=?4?4-b?，b=?4?4-c?，c=?4?4-a?.

代入消元，得

a?=?4?4-b?=?4?4-?4?4-c??=?4-c?3-c

=?4-?4?4-a??3-?4?4-a??=?12-4a?8-3a?，

即?a=?12-4a?8-3a?，

所以?3a?2-12a+12=0，

即?a?2-4a+4=0，

即?（a-2）?2=0，a=2.

于是?c=?4?4-a?=2，b=?4?4-c?=2，

故?a+b+c=6.

5.?函數(shù)f（x）=ax?2+bx+c上下左右平移，不改變首項(xiàng)系數(shù)大小.

不妨設(shè)函數(shù)在區(qū)間[-1，1]的取值范圍為[0，1].

分別令x=-1，0，1，

0≤a-b+c≤1，??①

0≤c≤1，??②

0≤a+b+c≤1，??③

①+③，得?0≤2a+2c≤2，??④

由②、④，得?2a≤2，

即?a≤1，

故?a能取到的最大值為1.

6.?不妨設(shè)此圓為單位圓.

當(dāng)D點(diǎn)在線段OB上時(shí)，

設(shè)OD=x（0≤x≤1），則

BD=1-x，AD=1+x，

CD=?AD·BD?=?1-x?2?.

顯然，此時(shí)AD是三邊中較大者，要使此三角形為銳角三角形只須

AD?2

即?（1+x）?2<（1-x）?2+（1-x?2），??①

且?1+x

由①和0≤x≤1，得

0≤x

由②和0≤x≤1，得

0≤x

因?yàn)??5?-2

所以?0≤x

由對(duì)稱性知，線段AD，BD，CD可以構(gòu)成銳角三角形的概率為

（?5?-2）×2?2?=?5?-2.

7.?由題設(shè)可知f（0），f（1），f（-1）為t=t?3的三個(gè)不同實(shí)根，

又?t=t?3，

即?t（t-1）（t+1）=0，

解得?t=0，1或-1.

因?yàn)?f（x）是連續(xù)函數(shù)，

所以??f（-1）=-1，f（0）=0，f（1）=1，?或?f（-1）=1，f（0）=0，f（1）=-1.

故?[f（-1）+f（1）]?2-f（0）=0.

8.?不妨設(shè)a>b>c>d，則

a≥4，b≥3，c≥2，d≥1.

于是有?bcd≥6，cda≥8，

dab≥12，abc≥24.

從而??a+b+c+d?abcd

=?1?bcd?+?1?cda?+?1?dab?+?1?abc

≤?1?6?+?1?8?+?1?12?+?1?24

=?5?12?，

所以??abcd?a+b+c+d?≥?12?5?，

當(dāng)且僅當(dāng)a，b，c，d分別取值1，2，3，4時(shí)等號(hào)成立.

故當(dāng){a，b，c，d}={1，2，3，4}時(shí)，?abcd?a+b+c+d?取得最小值?12?5?.

9.?方程?x+?x?2?x+1??+?x??x+1??=x+1，?①

兩邊同乘以?x+?x?2?x+1??-?x??x+1??，得

x+?x?2?x+1??+?x??x+1???·

x+?x?2?x+1??-?x??x+1

=（x+1）??x+?x?2?x+1??-?x??x+1???，

即??x+?x?2?x+1??-?x??x+1??=?x?x+1?，??②

①-②，得??2x??x+1??=x+1-?x?x+1?，

即??2x??x+1??=?x?2+x+1?x+1?，

2x?x+1?=x?2+x+1，

（x-?x+1?）?2=0，

所以?x=?x+1?（x>0），

即?x?2-x-1=0，

解得?正實(shí)數(shù)x=?1+?5??2?.

10.?由{a?n}與{b?n}是等差數(shù)列可設(shè)

S?n=A?1n?2+B?1n，T?n=A?2n?2+B?2n.

于是??S?n?T?n?=?A?1n?2+B?1n?A?2n?2+B?2n?=?A?1n+B?1?A?2n+B?2?，

由于以上分式約去公因式n所得，故可設(shè)

S?n?=kn（A?1n+B?1）=kn（2n+4）

=2kn?2+4kn.

同理?T?n=kn（3n-1）=3kn?2-kn.

又?a?6?=S?6-S?5=（72k+24k）-（50k+20k）

=26k，

b?5?=T?5-T?4=（75k-5k）-（48k-4k）

=26k，

所以??a?6?b?5?=1.

11.?引入待定系數(shù)λ>0.

a+?ab??=a+?λa·?b?λ

≤a+?1?2??λa+?b?λ

=?2+λ?2?a+?1?4λ?·2b，

當(dāng)?2+λ?2?=?1?4λ?，即2λ?2+4λ-1=0，解得

正數(shù)λ=??6?-2?2?，

于是??2+λ?2?=?1?4λ?=??6?+2?4?，

所以?a+?ab?≤??6?+2?4?（a+2b）=?2+?6??4?，

故?a+?ab?的最大值為?2+?6??4?.

12.?由點(diǎn)A（-3，0），B（-1，-2），得

AB=2?2?，

直線AB的方程為?x+y+3=0.

設(shè)C（2?cos?θ，?3??sin?θ），則

點(diǎn)C到直線AB的距離為

|2?cos?θ+?3??sin?θ+3|??2??，

所以△ABC的面積

S?=?1?2?×2?2?×?|2?cos?θ+?3??sin?θ+3|??2

=|2?cos?θ+?3??sin?θ+3|

=|?7??sin?（θ+φ）+3|，

其中??sin?φ=?2??7??，?cos?φ=??3??7?，

故當(dāng)?sin?（θ+φ）=-1時(shí)，

△ABC的面積取得最小值3-?7?.

13.?190=2×5×19，

從1到190中，與190互素的數(shù)有

190-??190?2??-??190?5??-??190?19??+

190?2×5??+??190?2×19??+??190?5×19??-??190?2×5×19

=190-95-38-10+19+5+2-1

=72（個(gè)），

于是每190個(gè)數(shù)中都有72個(gè)數(shù)與190互素，并且循環(huán)出現(xiàn)，

又?2017÷72=28……1，

即?2017恰好是第28個(gè)循環(huán)后的第一個(gè)數(shù)，

所以滿足題意的第2017個(gè)數(shù)是

190×28+1=5321（其中5321與190互質(zhì)）.

14.??AC??·?BD???=?AC??（?BC??+?CD??）

=?CA??·?CB??-?CA??·?CD??，

又??CA??·?CB??=??CA???2+?CB???2-?AB???2?2?，

CA??·?CD??=??CA???2+?CD???2-?AD???2?2?，

從而??AC??·?BD??=??AD???2+?CB???2-?AB???2-?CD???2?2?.

由題設(shè)可知?AC⊥BD，

所以??AC??·?BD???=??AD???2+?CB???2-?AB???2-?CD???2?2

=0，

即??AD???2+?CB???2-?AB???2-?CD???2=0，

將AB=1，BC=2，CD=3代入上式，得

AD???2+2?2-1?2-3?2=0，

即??AD???2=6，

所以?AD=??AD???2?=?6?.

15.?因?yàn)閒（x）?=x?2-2ax+a?2-1

=[x-（a-1）][x-（a+1）]，

所以?f（x）≤0的解集為[a-1，a+1]，

由f（f（x））≤0，得?f（x）∈[a-1，a+1].

由f（f（x））≤0的解集中有且只有一個(gè)元素，得

有且只有一個(gè)x使得f（x）∈[a-1，a+1]，

所以?f（x）=a+1有唯一實(shí)數(shù)根，

即二次方程x?2-2ax+a?2-a-2=0有兩個(gè)相等根，

所以?Δ=4a?2-4（a?2-a-2）=0，

解得?a=-2.

故?實(shí)數(shù)a的取值范圍是{-2}.

16.?聯(lián)立?2x-y-6=0y?2=2px?，消去y并整理，得

2x?2-（12+p）x+18=0.

設(shè)A（x?1，y?1），B（x?2，y?2），則

x?1+x?2=?12+p?2?，x?1x?2=9，

所以??FA??·?FB

=?x?1-?p?2???x?2-?p?2??+y?1y?2

=?x?1-?p?2???x?2-?p?2??+4（x?1-3）（x?2-3）

=5x?1x?2-?12+?p?2??（x?1+x?2）+?p?2?4?+36

=45-?12+?p?2??×?12+p?2?+?p?2?4?+36

=9-9p，

由?FA??·?FB??=0，得?9-9p=0，

即?p=1.

17.?設(shè)點(diǎn)P（t，?e??t）.

由y=?e??x，得?y′=?e??x，

所以y=?e??x在點(diǎn)P處的切線l的方程為

l：y=?e??y（x-t）+?e??t，

于是有，l分別與直線x=1，x=2交于點(diǎn)

（1，?e??t（2-t）），（2，?e??t（3-t）），

所以梯形的面積

S?=?1?2?[?e??t（2-t）+?e??t（3-t）]×1

=??e??t（5-2t）?2?，

又?S′=??e??t（3-2t）?2?，

令S′=0，得?t=?3?2?<2，

當(dāng)t0，即

S=??e??t（5-2t）?2?在?-∞，?3?2??上單調(diào)遞增;

當(dāng)t>?3?2?時(shí)，S′<0，即

S=??e??t（5-2t）?2?在??3?2?，+∞?上單調(diào)遞減.

所以?S≤?1?2??e?????3?2???5-2×?3?2??=?e?????3?2??，

故?滿足題意的梯形的面積的最大值為?e?????3?2??.

18.?設(shè)足球皮表面上的多邊形的頂點(diǎn)數(shù)是V，棱數(shù)是E.

因?yàn)槊總€(gè)六邊形有6個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)五邊形有5個(gè)頂點(diǎn)，

所以足球皮表面上的多邊形的頂點(diǎn)數(shù)是

5x+6y=5x+6（32-x）.

另一方面，每個(gè)頂點(diǎn)都是3塊皮子的公共頂點(diǎn)，所以總頂點(diǎn)數(shù)是3V，

于是有?5x+6（32-x）=3V.??①

又?每個(gè)六邊形有6條邊，每個(gè)五邊形有5條棱，

所以足球皮表面上的多邊形的棱的總數(shù)是

5x+6（32-x）.

另一方面，每條邊是兩塊皮子的公共棱，所以棱的總條數(shù)是2E，

于是有?5x+6（32-x）=2E.??②

由①，②，得?2E=3V.??③

由多面體的歐拉公式：

頂點(diǎn)數(shù)+面數(shù)-棱數(shù)=2，

得?V+32-E=2，

即?E=V+30，??④

④代入③，得?2（V+30）=3V，

即?V=60.??⑤

⑤代入①，得?5x+6（32-x）=3×60，

解得?x=12.

19.?記?a?b?=x（x>0），

則不等式??a?2?a?2+b?2??+λ??b?a+b??≤?3?2??2?可變?yōu)?/p>

x?2?1+x?2??+λ??1?1+x??≤?3?2??2?.

因?yàn)???x?2?1+x?2??+λ??1?1+x

=?x??1+x?2??+?λ??1+x

≤?x???（1+x）?2?2???+?λ??1+x

=??2?x?1+x?+?λ??1+x

=?2?-??2??1+x?+?λ??1+x

=?2?-?2???1?1+x?-??2?λ?2?1+x

=?2?-?2???1??1+x??-??2??4?λ??2+??2??8?λ?2

≤?2?+??2??8?λ?2

≤?3?2??2?，

當(dāng)且僅當(dāng)?1??1+x??=??2??4?λ且x=1，即x=1且λ=2時(shí)取等號(hào)成立，

由?2?+??2??8?λ?2≤?3?2??2?，得?λ?2≤4，

解得?0<λ≤2，

故?滿足題意的λ的最大值是2.

20.?由

f（x）=∑?2017?k=1???x?k！??=∑?2017?k=1???[x]?k！??=f（[x]），

知f（x）=n有實(shí)數(shù)解當(dāng)且僅當(dāng)f（x）=n有整數(shù)解.

對(duì)于整數(shù)x，有

f（x+1）-f（x）

=[x+1]-[x]+∑?2017?k=2????x+1?k！??-??x?k！???，

所以?f（x）（x∈?Z?）單調(diào)遞增.

因?yàn)?6！=720，7！=5040，

所以?f（1176）?=∑?2017?k=1???1176?k！??=∑?6?k=1???1176?k！

=1176+588+196+49+9+1

=2019，

f（1175）?=∑?2017?k=1???1175?k！??=∑?6?k=1???1175?k！

=1175+587+195+48+9+1

=2015，

令0

0

因此，方程f（x）=n（1≤n≤2017且n為偶數(shù)）有解時(shí)，n的個(gè)數(shù)，即為

{f（1），f（2），…，f（1175）}中偶數(shù)的個(gè)數(shù).

又k>1時(shí)，有

2m+1?k！??=??2m?k！??（2≤m≤2017），

所以?f（2m+1）-f（2m）

=1+∑?2017?k=2????2m+1?k！??-??2m?k！???=1，

即?f（2m），f（2m+1）中恰有一個(gè)為偶數(shù)，

又?f（1）=1，f（2）=3，f（3）=4，…

從而{f（1），f（2），…，f（1175）}中有偶數(shù)

1175-1?2?=587（個(gè)）.

接力賽

1A?.?S??m+2?-S?m?=a??m+2?+a??m+1

=1+2（m+1）+1+2m

=4m+4

=36.

所以?m=8.

1B.??令正三棱錐為P＼|ABC，其中△ABC為底面.

易知，正三棱錐的側(cè)面均為面積是T的等腰直角三角形，

從而?PA=PB=PC=?2T?.

于是，該正三棱錐的外接球的直徑為

2R=?PA?2+PB?2+PC?2?=?6T?.

所以，該正三棱錐的外接球的表面積為

S=4πR?2=π（2R）?2=6πT=18T，

由設(shè)前面隊(duì)友傳來(lái)的答案，知

T=8，

所以，該正三棱錐的外接球的表面積為

18T=18×8=144.

2A.

由|x-2|+|x-1|+|y|=3和?0≤|y|?，

得?|x-2|+|x-1|≤3，

解得?0≤x≤3.

當(dāng)y≥0時(shí)，方程|x-2|+|x-1|+|y|=3轉(zhuǎn)化為函數(shù)

y?=3-|x-2|-|x-1|（0≤x≤3）

=?2x，2，6-2x，??（0≤x<1）（1≤x<2），（2≤x≤3）?????圖4

顯然，方程

|x-2|+|x-1|+|y|=3

表示的曲線關(guān)于x軸對(duì)稱.

于是，可以畫出該方程表示的整個(gè)曲線?（如圖4）?，其所圍區(qū)域的面積

S=2×?1?2?×（1+3）×2=8.

2B.??設(shè)PA=a，PB=b，PC=c，則有

AB?2=a?2+b?2，

BC?2=b?2+c?2，CA?2=c?2+a?2.

S??△ABC

=?1?2?AB·AC?sin?∠BAC

=?1?2?AB·AC?1-?cos??2∠BAC

=?1?2??AB?2·AC?2-（AB·AC?cos?∠BAC）?2

=?1?2??AB?2·AC?2-?1?4?（AB?2+AC?2-BC?2）?2

=??1?2??（a?2+b?2）（c?2+a?2）-?1?4?[（a?2+b?2）（c?2+a?2）-（b?2+c?2）]?2

=?1?2??a?4+a?2b?2+b?2c?2+c?2a?2-?1?4?（2a?2）?2

=?1?2??a?2b?2+b?2c?2+c?2a?2?.

設(shè)點(diǎn)P到平面ABC的距離為h，則有

V??P＼|ABC?=?1?6?abc=?1?3?S??△ABC?·h，

所以?h?=?abc?2S??△ABC

=?abc??a?2b?2+b?2c?2+c?2a?2

=?1???1?a?2?+?1?b?2?+?1?c?2

≤??a?2+b?2+c?2?9

=??（2T）?2?9

=?2?3?T.

由前面隊(duì)友傳來(lái)的答案，知

T=8，

所以點(diǎn)P到平面ABC距離的最大值為

2?3?T=?2?3?×8=?16?3?.

3A.??因?yàn)閍b>0，a+b=ab，

所以?（ab）?2?=（a+b）?2=（a-b）?2+4ab

≥4ab，

即?ab≥4.

于是??a?1+a?+?b?1+b??=?a（1+b）+b（1+a）?（1+a）（1+b）

=?a+b+2ab?1+a+b+ab

=?3ab?1+2ab

=?3?2??1-?1?1+2ab

≥?3?2??1-?1?1+2×4

=?4?3?，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)，?a?1+a?+?b?1+b?取得最小值?4?3?.

3B.??拋物線x?2=2py（p>0）的極坐標(biāo)方程為

R=?p?1-?sin?θ?，

其中，θ為拋物線上的點(diǎn)?P（x，y）?與焦點(diǎn)?0，?p?2??所連直線與x軸正方向夾角，R為拋物線上的點(diǎn)?P（x，y）?到焦點(diǎn)?0，?p?2??的距離.

所以?|AB|=|AF|+|FB|

=?p?1-?sin?θ?+?p?1+?sin?θ?=?2p??cos??2θ?，

S??△OAB??=?S??△OAF?+S??△OBF??2

=|OF|·?|AF|?cos?θ+|FB|?cos?θ?2

=?p?4?·?2p??cos??2θ?·?cos?θ

=?p?2?2?cos?θ?，

即?p?2=2S??△OAB??cos?θ，

將θ=60?°?，S??△OAB?=T=?4?3?代入，得

p=?2×?4?3?×?cos60°??=?2?3??3?.

個(gè)人賽

1.?因?yàn)??n+4?n+2?=1+?2?n+2

<1+?2?n+1?=?n+3?n+1?，

所以?1+?2?n+2?

即??2?n+2?

有??2（?2?+1）?n+2??<（?2?-1）（?2?+1）

2（?2?+1）?n+2?<1

得?2?2?

所以?正整數(shù)n=3.

2.?因?yàn)?|x+1|+|x-1|

=|x+1|+|1-x|

≥|（x+1）+（1-x）|

=2，

當(dāng)（x+1）（1-x）≥0，即-1≤x≤1時(shí)，等號(hào)成立.

又??1?2?（?e??x+?e???-x?）≥1，當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.

所以?f???min??（x）=f（0）=3.

3.?由題設(shè)知，此橢圓的短軸長(zhǎng)與焦距相等，即

b=c，

所以橢圓C的離心率為

c?a?=?c??b?2+c?2??=?1??2??=??2??2?.

4.?注意到

a?1=?2?7?，a?2=?4?7?，a?3=?8?7?-1=?1?7?，

a?4=?2?7?，a?5=?4?7?，a?6=?8?7?-1=?1?7?，

…

顯然?數(shù)列{a?n}是周期T=3的周期數(shù)列，

而?2017=3×672+1，

所以?a??2017?=a?1=?2?7?.

5.?設(shè)直角△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，其中c為斜邊長(zhǎng)，則

a?2+b?2=c?2，且ab=1.

于是?△ABC周長(zhǎng)

=a+b+c=a+b+?a?2+b?2

≥2?ab?+?2ab?=2+?2?，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)等號(hào)成立，

故?△ABC小值為2+?2?.

6.?因?yàn)閷?duì)正整數(shù)m，

當(dāng)1≤m≤9時(shí)，有?[?lg?m]=0;

當(dāng)10≤m≤99時(shí)，有?[?lg?m]=1;

當(dāng)100≤m≤999時(shí)，有?[?lg?m]=2;

當(dāng)1000≤m≤2017時(shí)，有?[?lg?m]=3，

所以???[?lg?1]+[?lg?2]+[?lg?3]+…+[?lg?2017]

=9×0+90×1+900×2+1018×3

=4944.

7.?三角變形，有

tan?225°+2tan25°tan40°

=（?tan25°+tan40°）?2-tam?240°

=???sin（25°+40°）?cos25°cos40°????2-??sin?240°?cos?240°

=???cos25°?cos25°cos40°???2-?sin?240°?cos?240°

=?1??cos?240°?-?sin?240°?cos?240°??????圖5

=??cos?240°?cos?240°

=1.

8.?如圖5，連接A?1C?1.

因?yàn)?BB?1∥AA?1，

所以?∠A?1AC?1是異面直線AC?1與BB?1所成的角.

在?Rt?△A?1AC?1中，

AC?1?=?AA??2??1+A?1C??2??1?=?AA??2??1+AC?2

=?AA??2??1+AB?2+BC?2

=?1?2+2?2+2?2

=3，

所以??cos?∠A?1AC?1=?AA?1?AC?1?=?1?3?.

9.?設(shè)x?1=a，x?2=b.

由x??n+2?=x?n+x??n+1?，知

整數(shù)數(shù)列{x?n}的前6項(xiàng)分別為

a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，

又?x?1=a，是質(zhì)數(shù)，

所以滿足3a+5b=61的正整數(shù)的解（a，b）為

（2，11），（7，8），（17，2），

故?質(zhì)數(shù)x?1的最大值是17.

10.?橢圓?x?2?8?+?y?2?4?=1的離心率

e=?c?a?=??8-4???8??=?1??2??.

作MN垂直右準(zhǔn)線于N，PQ垂直右準(zhǔn)線于Q.

由橢圓定義，知

|MN|=?1?e?|MF|=?2?|MF|.

所以??2?|MF|+|MP|?=|MN|+|MP|

≥|PQ|=?a?2?c?-2

=4-2=2，

當(dāng)且僅當(dāng)P、M、Q三點(diǎn)共線，且M在P、Q之間時(shí)取等號(hào).

11.?設(shè)從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，則有

ab=12，bc=48，ca=36，

解得?a=3，b=4，c=12，

于是，該長(zhǎng)方體外接球的直徑為

2R=?a?2+b?2+c?2?=?3?2+4?2+12?2?=13，

故該長(zhǎng)方體外接球的表面積為

S=4πR?2=（2R）?2π=169π=169×3=507.

12.?方程x?3+6x?2+5x=y?3-y+2可化為

x（x+1）（x+2）+3（x?2+x）

=y（y-1）（y+1）+2，??（*）

因?yàn)?三個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積是3的倍數(shù)，

所以?（*）式左邊是3的倍數(shù)，

而?（*）右邊除以3余2，這是不可能的.

所以，原方程無(wú)整數(shù)解，即

滿足題意的整數(shù)解（x，y）的個(gè)數(shù)是0.

13.?PA??2??1+PA??2??2+…+PA??2???2017

=?PA????2??1+?PA????2??2+…+?PA????2???2017

=（?PO??+?OA???1）?2+（?PO??+?OA???2）?2+…+

（?PO??+?OA????2017?）?2

=2017?PO??+?OA????2??1+?OA????2??2+…+?OA????2???2017?+

2?PO??·（?OA???1+?OA???2+…+?OA????2017?）

=2017+1×2017

=4034.

14.?由x?1=2和x??n+1?=?x??2??n?x?n+1?，得

x?n>0，

x?n?x?n+1?=x?n?1-?x?n?x?n+1??=x?n-x??n+1?，??①

于是?∑?2017?n=1??x?n?x?n+1?=∑?2017?n=1?（x?n-x??n+1?）

=x?1-x??2018?=2-x??2018?.??②

由①、②及x?n>0，知

∑?2017?n=1??x?n?x?n+1?<2.??③

由①和x?n>0，知

x?n>x??n+1?.

由x?1=2，x??n+1?=?x??2??n?x?n+1?，得

x?2=?4?3?，x?3=?16?21?，

所以?x??2018?

進(jìn)而有?∑?2017?n=1??x?n?x?n+1?=2-x??2018?>1，??④

由③、④，得?1<∑?2017?n=1??x?n?x?n+1?<2，

故?∑?2017?n=1??x?n?x?n+1?的整數(shù)部分是1.