數學建模核心素養教學初探

文思靜

【摘?要】??為了提升高中生的數學建模核心素養，筆者以《單變量利益最大化問題》為例來闡述如何在教學中引導學生“用數學的眼光觀察世界，用數學的語言表達世界，用數學的思維思考世界.”本課例中基于“養豬賣豬”的實際背景，建立含參二次函數的經濟增長模型，著重點在于建立模型、求解模型、確定參數和檢驗模型等環節，目的是使學生在建模過程中理解參數的意義，并為新課程和新教材的理解及使用提供參考建議.

【關鍵詞】??數學建模;含參二次函數;核心素養

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（下簡稱《新課標》）指出：“數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養.”為了提升高中生的數學建模核心素養，筆者以《單變量利益最大化問題》為例來闡述如何在教學中引導學生“用數學的眼光觀察世界，用數學的語言表達世界，用數學的思維思考世界.”

1?內容解析

《新課標》提出高中所涉及的“數學模型分為經濟模型和社會模型，其中經濟模型分為存款貸款模型、投入產出模型、經濟增長模型、凱恩斯模型和生產函數模型;社會模型分為等級評價模型、人口增長模型和信度評價模型.”本課例的《單變量利益最大化問題》屬于經濟增長模型，需要的模型為二次函數模型.從初中開始學習，再到高中《必修一》的再次鞏固，高中生對于二次函數已有較多的了解.本課例不僅要求學生從實際問題出發建立數學模型，還需進一步加深對參數的認識.

2?目標解析

2.1?教學目標

從實際問題出發，思考如何實現養豬到賣豬利潤最大化.感受發現問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題的數學建模過程.在建模過程中理解參數的意義，感悟數學語言表達對數學建模的重要性.

2.2?教學重難點

教學重點：根據數學建模的步驟解決實際問題，理解參數在模型中的意義.

教學難點：理解參數的意義并對模型進行求解并檢驗.

3?教學過程

3.1?發現問題、提出問題

由于市場不穩定導致豬肉價格不斷變化，養豬的農場主面臨著一個嚴峻的問題：如何養豬賣豬才能獲得更大的利潤？根據實際情況數據的調查，提出的問題如下：

問題情境1???一頭剛斷奶的小豬重15千克，小豬的料肉比為1.5：1，即吃1.5千克飼料增重1千克，每千克飼料費用為0.5元.但體重超過100千克的豬銷量會下降，體重每超過1千克售出單價下降0.3元，豬的市場價格為每千克35元.求獲得最大利潤時豬的售出體重.（結果保留整數）

設計意圖：在實際情況中，養豬和賣豬的影響因素復雜得多，但為了突出研究對象，則需控制變量，即飼養豬的主要成本：飼料成本.由于影響售豬價格的因素很多，此處只考慮豬的體重對售價的影響.在實際市場中，體重過重的豬銷量反而不好，不僅飼養成本過高，肉質也不鮮美，因此會影響售價.

3.2?分析問題、建立模型

數學建模第二步需要分析問題，并用合適的數學符號和數學語言來描述問題對象的內在規律，從而建立包含變量和常量的數學模型.

問題1???本問題情境中需要研究的量有哪些？

回答1???豬的體重、飼料的重量、飼料的成本、豬的價格、豬的售價、利潤.

根據學生的回答，引導學生用合適的數學符號來表示要研究的量.

變量：

x=豬增加的重量（千克），m=消耗飼料的重量（千克），w=豬的重量（千克），

p=豬的價格（元/千克），C=飼養成本（元），R=售出豬的收益（元），P=凈收益（元）.

問題2???根據情境，請找出變量之間的關系，注意區分變量和常量.

回答2???利用假設的變量可得：

x≥0，m=1.5x，p=??35，0≤x≤8535-0.3?w-100?，x>85，??w=15+x，C=0.5w，R=p·w，P=R-C.

問題3???進一步思考本例要解決什么問題？目標是什么？

回答3???解決利潤最大時賣豬的體重.

問題4???轉化為數學語言即當P最大時，?x+15?的值.請根據變量之間的相關關系，嘗試用x表示P.

大部分同學都能用分段函數的形式將利潤P表示出來.即

P（x）=??34.25x+525，0≤x≤85-0.3x?2+55.25x+907.5，x>85.

設計意圖???學生在數學建模時的難點在于理解題意，將現實問題轉化為數學問題，并用數學符號語言表示.因此在教學過程中要引導學生區分常量和變量，并用合理的字母表示變量，雖然剛開始表示出來的變量很多，但仔細分析變量間的關系會發現本題是一個單變量問題，售豬的利潤P可以用增加的體重x表示，進而去解決二次函數求最值的問題.

3.3?確定參數、求解模型

通過分類討論，當0≤x≤85時，P最大值為3436.25元，當x>85時，學生們得到x≈92時，P取得最大值為3451.3元，即售豬的最佳體重為107千克.

在實際養豬問題中，有些數據比其他數據可靠性高很多，比如生豬現在的重量、現在的價格、每公斤飼料的成本都很容易測量，而且有相當大的確定性.但豬的料肉比會隨著體重的增加而增大，而且價格的下降率則確定性更低，因此對于確定性很低的數據可以引入參數a. 記a為價格的下降率（元/千克），a的實際值是不同的，從而導致最佳售豬體重也會發生改變.

問題情境2???一頭剛斷奶的小豬重15千克，小豬的料肉比為1.5：1，即吃1.5千克飼料增重1千克，每千克飼料費用為0.5元.但體重超過100千克的豬銷量會下降，體重每超過1千克售出單價下降a元，豬的市場價格為每千克35元.求獲得最大利潤時豬的售出體重.（結果保留整數）

問題5???試用含a（a>0）的式子解決售豬的最佳體重問題.

回答5???類比情境一，同樣可以進行分類討論.

P?x?=?34.25x+525，0≤x≤85-ax?2+（34.25+70a）x+525+1275a，x>85，

學生容易得到當0≤x≤85時，P??max?=34.25×85+525=3436.25，但在解決x>85時的最大利潤遇到了問題.

問題6???當x>85時，考慮二次函數的對稱軸x=-?34.25+70a?-2a?=?17.125?a?+35的x的值是否一定大于85？若上式大于85，利潤最大時的體重如何表示？

回答6???因為對稱軸x的值不一定大于85，所以需要分類討論.

當x>85時，分兩種情況討論.

①當?17.125?a?+35<85時，即a>0.3425.由題可得，P?x?在?85，+∞?上單調遞減.

P<-a?2·?85??2+?34.25+70a?×85+525+1275a=-7225a?2+7225a+3436.25，

令f?a?=-7725a?2+7225a+3436.25，

i.當f?a?≥3436.25時，a∈?0.3425，1?，此時P??max?=-7725a?2+7225a+3436.25，最佳售豬體重為85+15=100千克;

ii.當f?a?<3436.25時，a∈?1，+∞?，此時P??max?=3436.25，最佳售豬體重為85+15=100千克;

因此，售豬的最佳體重為85+15=100千克.

②當?17.125?a?+35≥85時，即0

由題可得，P=2500a+1723.75+?293.27?a?，

當a=0.3425時，有最小值P≈3436.25，即P≥3436.25.

因此售豬的最佳體重為?17.125?a?+35+15=??17.125?a?+50?千克.

綜上，當a>0.3425時，售豬的最佳體重為100千克;當0

設計意圖???學生在剛開始學函數的時候，遇到含參的函數問題不知從何下手，根本原因在于對參數的理解不透徹.因此從養豬這個實際問題出發，學生可以很好地理解售價的下降率a（元/千克）確實會影響最佳售豬體重，但對于自變量——豬增加的體重x來說，售價下降率a相當于一個常量.而在分析實際問題時，需要對參數a進行分類討論.

3.4?檢驗結果、解釋模型

在數學運算和數學抽象的基礎上，我們得到售豬最佳體重的理想模型：當a>0.3425時，售豬的最佳體重為100千克;當00.3425時，函數圖象中的最大值不發生改變，即售豬的利潤恒為3436.25;當0

4?教學反思

筆者在研究性學習課堂中實踐過該課例，反思教學設計與課堂實施過程的點滴，對新課程和新教材的理解及使用有以下幾點思考：

4.1?數學建模樣例的教學應在有限時間里突出重點環節

《新課標》指出，“數學建?；顒印睉哉n題研究的形式開展，即從觀察實際情境到提出問題，最后得到實際問題的解需要學生全程參與.但實際課堂只有40分鐘，這意味著只能選擇性地讓學生體驗其中某幾個環節，否則就像走馬觀花一樣.教材中“探究茶水水溫的變化規律”突出的是提出問題，?收集數據，建立模型等環節，省略了確定參數和檢驗模型的環節.而本課例的著重點在于建立模型、求解模型、確定參數和檢驗模型等環節，沒有讓學生自行搜索售豬相關的材料，如目前的豬肉價格，料肉比，養豬賣豬的關鍵體重等等，簡化了提出問題，收集數據的環節.因此教師在進行數學建模樣例教學可以根據教學目標調整重心，讓學生深入體驗個別環節，效果更佳.

4.2?數學建模中引導學生確定參數及理解參數的現實意義

高中含參的函數問題一直都是學生的難點，根本原因在于對參數的理解不透徹.引入參數的實際意義就是將實際問題中的其他不穩定的相關因素從一個常量變為一個變量a，當a為特定的某些值時，問題情境將會呈現一定的規律，此時需要對a進行分類討論從而歸納規律.例如本課的售豬問題，當市場的售價價格下降率a小于0.3425時，想賺更多的錢，則賣出豬的最佳為體重??17.125?a?+50?千克，并不是越重越好.如此一來，學生對參數a的理解能夠更加深刻，即一開始將參數a看做常量，當其取值影響結果時需考慮對a進行分類討論，并且最后的結果有時也需用a來表示.

4.3?努力改善數學建?；顒又械牟蛔?/p>

在調研中發現學生對生活中的實際情境，如飯堂如何打飯更節省時間，雙十一如何購物更優惠等等都有濃厚的求知欲，說明學生希望學習如何用“數學聯系實際，數學優化生活”.因此在時間允許的前提下，帶領學生了解并經歷了各環節后，可以讓他們通過分組、合作學習等形式自主完成選題、開題、做題、結題等環節，到時候必能驚嘆學生的創造力.

【基金項目：本論文參與“廣州市教育科學規劃2020年度課題《核心素養導向的中學數學“優效課堂”的案例研究》（202012502）.】

參考文獻：

[1]??普通高中數學課程標準（2017年版）[M]人民教育出版社.2017：5.

[2]?普通高中數學課程標準（2017年版）[M]人民教育出版社.2017：65.