分散難點，解決二次函數(shù)最值問題

秦虹柳

【摘要】在實際教學中，筆者發(fā)現(xiàn)“二次函數(shù)的應用”問題對于學生來說是個很難跨越的障礙，有很多學生只要碰到這類問題就表現(xiàn)出嚴重的畏難情緒，還有一些學生在面對即使是很基礎(chǔ)的問題時，也無從下筆.尤其是“二次函數(shù)中最值”的問題，更是學生難以突破的屏障.

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù);最值問題;數(shù)學解題

在教學中，老師們都會重點強調(diào)二次函數(shù)的最值問題與頂點之間的聯(lián)系，如二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當x=-b2a時，函數(shù)取最值y=4ac-b24a.但是，對于一個二次函數(shù)限定不同定義域時的最值問題，才是學生們的學習難點，這應該引起教師的關(guān)注，我們可以通過如下的教學設(shè)計來幫助學生充分理解二次函數(shù)的最值問題.

例如 “當x滿足如下條件時，x為何值時，函數(shù) y=x2-2x+3取最值，最值是幾？”

（1）x取全體實數(shù);（2）2≤x≤3;

（3）22;

（5）x≥2;（6）x≤3;

（7）x<3;（8）0≤x≤3;

（9）-2≤x≤3;（10）0

（11）0≤x<3;（12）0

（13）x>0;（14）x≥0.

在二次函數(shù)最值問題的教學中，應該特別強調(diào)“數(shù)形結(jié)合”的思想，通過圖象幫助學生理解最值問題，y=x2-2x+3的圖象如圖1，易求：該函數(shù)頂點坐標為（1，2），根據(jù)不同定義域，結(jié)合具體函數(shù)圖象，引導學生分析結(jié)果如下：

（1）當x取全體實數(shù)時，如圖1，當x=1時，函數(shù)最小值y=2，函數(shù)無最大值;

（2）當2≤x≤3時，如圖2，當x=2時，函數(shù)最小值y=3;當x=3時，函數(shù)最大值y=6;

（3）當2

（4）當x>2時，函數(shù)無最小值，也無最大值;

（5）當x≥2，當x=2時，函數(shù)最小值y=3，無最大值;

（6）當x≤3時，如圖3，當x=1時，函數(shù)取最小值y=2，無最大值;

（7）當x<3時，當x=1時，函數(shù)取最小值y=2，無最大值;

（8）當0≤x≤3時，如圖4，當x=1時，函數(shù)取最小值y=2;當x=3時，函數(shù)取最大值y=6;

（9）當-2≤x≤3時，如圖5，當x=1時，函數(shù)最小值為y=2;當x=-2時，函數(shù)最大值為y=11;

（10）當0≤x<3時，當x=1時，函數(shù)取最小值y=2，函數(shù)無最大值;

（11）0

（12）當0

（13）當x>0時，當x=1時，函數(shù)取最小值y=2，函數(shù)無最大值;

（14）當x≥0時，如圖6，當x=1時，函數(shù)取最小值y=2，函數(shù)無最大值.

教師不僅要引導學生運用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，更重要的是通過如下的設(shè)計來幫助學生解決思維上的“矛盾沖突”，教學中進行如下對比：

①對比（2）和（3），當定義域中不包含端點的值時，函數(shù)沒有相應最值;

②對比（6）和（7），定義域端點的值是否在定義域中，對函數(shù)最值的結(jié)果并無影響，與“①”中猜想產(chǎn)生沖突;

③=3＼*GB3對比（2）和（6），只有定義域中的端點處為圖象“最高”或“最低”點的情況，端點的值是否在定義域中，才對最值的情況產(chǎn)生影響;

④對比（8）和（9），如果二次函數(shù)的定義域是一個兩端封閉的范圍，并且定義域中包含頂點橫坐標，那么除了頂點外還有最值點，根據(jù)對稱性，當x取到頂點橫坐標距離更遠的定義域端點的值時，相應的函數(shù)值是最值;

⑤對比（10）和（11），函數(shù)的最小值出現(xiàn)在頂點處，而從這兩個定義域來看，函數(shù)的最大值只與x=3有關(guān)，定義域中包含x=3，函數(shù)有最大值，不包含x=3，函數(shù)就沒有最大值，與x=0沒有關(guān)系;

⑥對比（12）和（13），無論定義域是哪一種情況，x=0時函數(shù)值都不是最值.

結(jié)合以上的教學環(huán)節(jié)，教師還應該引導學生對二次函數(shù)最值問題進行梳理和總結(jié)，得出以下結(jié)論：

1.討論二次函數(shù)“最值問題”必須先確定其定義域;

2.將二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a>0）在x1≤x≤x2上的最值問題分為如下三種：

（1）如果x1≥-b2a，如圖7，圖象分布在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，那么二次函數(shù)在x=x1處取最小值，在x=x2處取最大值;

（2）如果x1≤-b2a≤x2，如圖8，函數(shù)圖象分布在對稱軸的兩側(cè)，左側(cè)圖象y隨x的增大而減小，右側(cè)圖象y隨x的增大而增大，那么二次函數(shù)在x=-b2a處取最小值，在x=x1或x=x2對應的函數(shù)值中的較大值為二次函數(shù)的最大值;

（3）如果x2≤-b2a，如圖9，函數(shù)圖象分布在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，那么二次函數(shù)在x=x2處取最小值，在x=x1處取最大值.y=ax2+bx+c（a<0）時最值的性質(zhì)類似，這里不進行詳細總結(jié).

總之，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的最值只能在其自變量的取值范圍x1≤x≤x2的端點，或者x=-b2a處取得.

3.在解決二次函數(shù)最值問題時，應該運用“數(shù)形結(jié)合思想”借助圖象進行分析.

對于較復雜的知識，教師要通過在教學中多觀察、多思考，把復雜問題簡單化，將教學難點進行分散設(shè)計，對知識中的易錯點、易混點進行重點教學，打消學生的“模糊概念”，幫助學生在遇到“難題”時找到解決問題的辦法.

參考文獻：

[1]皮連生.《教學設(shè)計》，高等教育出版社[D].2000（6）：50―123.