關于圓中函數關系問題構建的策略

吳俊

【摘要】圓中函數關系問題在中考和模擬考中十分常見，該類問題以幾何圓為背景，探索函數關系，充分將幾何與函數相串聯，是數形結合思想的體現.該類問題突破的關鍵是實現幾何特性向函數關系的轉化，故充分應用定理，掌握轉化策略十分重要，下面舉例探究.

【關鍵詞】圓中函數關系;數形結合;轉化策略

1 三角函數關系構建

方法解讀 三角函數知識在初中數學中較為特殊，在直角三角形中構建三邊長與角度關系，也是形與數相綜合的重要體現.實際應用時有兩種思路：一是直接在直角三角形中，利用三角函數值求解線段長，構建線段的函數關系;二是利用等角的三角函數值相等，間接構建線段的函數關系.

例1 如圖1所示，已知AD∥BC，∠ABC=90°，AD=3，AB=4，點P是射線BC上的一個動點.現以點P為圓心，BP長為半徑作⊙P，與射線BC的交點設為Q，連接BD、AQ，設交點為G，⊙P與線段BD，AQ的交點分別為E和F.

（1）若BE=FQ，試求⊙P的半徑;

（2）設BP=x，FQ=y，求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍.

解析 （1）通過角度推導，可得∠EBP=∠FQP，因為AD∥BC，所以∠ADB=∠EBP，則∠FQP=∠ADB，所以tan∠FQP=tan∠ADB=43.設⊙P的半徑為r，在△ABQ中使用三角函數，可得tan∠FQP=ABBQ=42r=43，可解得r=32，所以⊙P的半徑為32.

（2）求y關于x的函數關系式，實則是構建線段的函數關系.

過點P作PM⊥FQ，垂足為點M，如圖2所示.因為PM⊥FQ，PF=PQ，所以FQ=2QM.

在Rt△ABQ中，cos∠AQB=BQAQ

=2BP （2BP）2+AB2=x x2+4x2+4;

在Rt△PQM中，

QM=PQcos∠AQB=x x2+4x2+4.

由于FQ=2QM，

所以y=2x x2+4x2+4.

當圓與D相交時，x取得最大值，作DH⊥BC于H，如圖3所示，可推知PD=PB=x，PH=BP-BH=x-3，在Rt△PDH中，由勾股定理得：42+（x-3）2=x2，可解得x=256，所以x的取值范圍為0

2 勾股定理直角構建

方法解讀 勾股定理直角構建，即在直角三角形中，借助勾股定理對三角形三邊關系的串聯，將線段長度轉化為函數關系.該方法較為簡單直接，通常所涉線段均可以轉移到同一直角三角形中.

例2 如圖4所示，已知線段AB=10，點C在線段AB上，AC和BC分別為⊙A、⊙B的半徑，點D是⊙B上的一點，AD與⊙A于E，EC的延長線交⊙B于F.

（1）求證BF∥AD;

（2）如果BD⊥AD，設AC=x，DF=y，試求y與x的函數關系，并寫出對應的定義域.

解析 （1）因為點E和C均在⊙A上，點F和C在⊙B上，所以AE=AC，BC=BF，則有∠AEC=∠ACE，∠BCF=∠BFC，進而可得∠AEC=∠BFC，所以BF∥AD.

（2）該問求線段之間的函數關系，因為BD⊥AD ，BF∥AD，所以∠ADB=∠DBF=90°.可推得BO=10-x，所以BD=BF=BO=10-x.

已知△BDF為等腰直角三角形，由勾股定理可得DF2=BD2+BF2，所以y2=2（10-x）2，整理可得，y= 2（10-x），其中0

3 面積模型綜合構建

方法解讀 面積模型綜合構建，即構建面積模型，結合面積公式、相關線段轉換策略來構建一種方式，該種策略主要適用于與面積相關的函數關系問題中.對于常規的圖形，可直接利用面積公式來構建，不易求或不規則的圖形面積則可以先轉化分割，再構建的方法.

例3 如圖5所示，扇形AOB的半徑為2，∠AOB=90°，點C是弧AB上的一個動點（不與A和B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D和E.

（1）在△DOE中是否存在長度保持不變的邊？若存在，請指出并求長度;若不存在，請說明理由.

（2）設BD=x，△DOE的面積為y，求y關于x的函數關系式，并寫出對應的定義域.

解析 （1）簡答，DE的長度保持不變，且長度為2.

（2）連接OC，過點D作OE的垂線，設垂足為點F，如圖6所示.

根據已知可推得∠BOD=∠COD，∠EOC=∠EOA，由角度代換可得∠DOE=∠EOC+∠DOC=45°.在Rt△DOB中，由勾股定理可得DO=OB2+BD2=4-x2.因為DF⊥OE，∠DOE=45°，則DF=OF=224-x2，

所以EF=DE2+DF2=22x.

△DOE的面積可視為△ODF和△OEF的面積之和，

則y=12（OF+EF）·DF

=12224-x2+22x·224-x2，

整理可得y=4-x2+x4-x24（0

總之，圓中的函數關系問題總體上可分為線段和面積兩類，對于前者可利用三角函數關系、直角勾股定理、平行相似比例策略來構建，面積類問題則可以立足面積公式，利用面積模型綜合構建.探究學習中需深刻理解構建策略的原理所在，掌握構建思路，立足問題探索方法，積累解題經驗.