初中二次函數應用題的解題方式

葉蔥蔥

【摘要】二次函數作為近年來中考數學常見題型，這一必考知識點，還在初中函數教學中占據重要地位.二次函數有多元化表現形式，包括等式等代數形式或拋物線等幾何形式，這要求學生可以具備較強的邏輯思維能力和抽象思維能力.在數學考試中應用題需要結合案例，應用學生所學的數學知識點，所以對學生的結合問題背景建立抽象數學模型的能力提出較高要求，可以運用科學求解方法.本文將對初中二次函數應用題的解題方式進行一一闡述，旨在可以為師生在初中二次函數應用題解題的教與學提供參考作用.

【關鍵詞】二次函數;應用題;數學解題

1 ?待定系數法型

此類二次函數應用題通常會在題設中，為學生明確已給兩個變量值存在二次函數關系，以及具體存在幾對變量值，求解函數關系式簡單應用，關鍵在于可以對待定系數法熟練使用，準確求解函數關系式.

例1 某一超市所售價臺燈為20元/臺，調查后發現每天這款臺燈可以銷售w（臺），每臺的銷售單價是（x）元，已知w滿足w=-2x+80，假設每天此款臺燈可以銷售利潤達到y（元）.

求解 （1）x、y二者之間函數關系式.

（2）在定價每臺銷售單價是多少，每天可以獲得多少利潤？最大利潤可以達到多少？

（3）確保銷售量盡可能大的前提下，如果此超市每天銷售臺燈利潤想要達到150元，需要定價每臺銷售單價為？

分析 求解第一個問題時，通過利用臺燈的每臺銷售利潤與銷售量相乘即可獲得每天利潤，根據y=（x-20）（-2x+80）=-2x2+120x-1600.

求解第二個問題時，根據上一問題求解所獲二次函數，運用二次函數性質最終求解最大利潤值與銷售單價.因為y=-2x2+120x-1600，可得y=-2（x-30）2+200，所以在單價x為30元時能夠得到最大利潤y為200元.

求解第三個問題時，在函數內代入y=150，求解對應x值，并根據w和x關系將與題意不合的值舍去.根據本題已知條件假設y為150，那么-2（x-30）2+200=150，可以求解得出x1為25，x2為35.又因銷售量w滿足w=-2x+80這一條件，會隨著臺燈的銷售單價增大而隨之減小，所以最終確定x為25時，不僅可以保證達到最大銷售量，還可以確保每日銷售利潤達到150元.

點評 這一題型考點為應用二次函數，第一個問題主要是要求學生可以根據題意成功獲得二次函數;第二個問題是考察學生是否可以根據二次函數性質求解最大值;第三個問題是根據二次函數值，求解x獲得最終答案.

2 ?分析數量關系型

此類題型通過在題目中與學生在生活中的實際情況相結合，創設題目情境給出一定數、量關系，要求在分析基礎上寫出函數關系式進行應用，學生在解題過程中需要對題意認真分析，正確寫出數量關系式.

例2 在建設“五個重慶”中，為了充分改當地居民的宜居環境，在某區域規劃修建（如圖1所示）的文化廣場，此廣場ABCD作為四邊形矩形，分別以AB、BC、CD、DA邊為直徑向外作半圓，假若整個廣場的周長為628m，假設矩形AB邊長度為y米，BC邊長度為x米，（注：π取值3.14）.

求解 （1）嘗試用含有x的代數式表示y;

（2）根據現有計劃對于ABCD矩形區域內，種植花草鋪設鵝卵石等，每平方米造價均值428元，四個半圓區域內分別種植花草，并鋪設花崗巖，每平方米平均造價均值為400元.

①假設工程共計花費W元，求解關于x的函數關系式，

②假若當地政府對此工程投入1000萬元預期成本，這項工程是否可以達到建設目標，如果可以請列舉設計方案，如果不能請說明理由.

③如果當地政府對這項工程投入1000萬元基礎上，在社會間多方集資募捐64.82萬元，可是要求工程區域的矩形BC邊，長度要小于AB邊長度的23，還要求施工單位剛好用完全部資金.問是否可以完成這一工程任務，如果可以列舉可能性方案，如果不能說明理由.

分析 （1）通過分割本道題目圖形進行拼湊，運用圓周長計算公式整理解答即可.

根據題干給出已知條件πy+πx=628，

因為3.14y+3.14x=628，

又已知x+y=200，所以y=200-x.

（2）求解第一個問題，通過結合圖形特點，求解種植花草與鵝卵石的具體鋪設面積，獲得此工程的總造價解答.

W=428xy+400πy22+400πx22

=428x（200-x）+400×3.14×（200-x）24

+400×3.14×x24

=200x2-40000x+12560000.

求解第二個問題，可以運用配方法即可求解最小值，對此結果驗證最終得到結論：如果僅僅利用政府投入此工程的1000萬元并不達到建設目標，這時因為根據第一個問題已經可以得到W=200（x-100）2+1.056×107>107，所以假設不成立.

求解第三個問題，通過構建不等式和一元二次方程，即可聯系實際求解答案最終成功解決這道題目.

根據這道題目的題意，獲得已知條件x≤23y，也就是x≤23（200-x），所以可以求解x≤80.

由于0≤x≤80，根據題意給出條件W=200（x-100）2+1.056×107=107+6.482×105，對此方程式整理后可得（x-100）2=441，即可獲得x1為79，x2為121，因此得到把本次工程的設計方案，應該保證矩形AB邊的長度為121米，BC邊的長度為79米，分別將各邊作為直徑向外半圓.

點評 這一題型主要考察學生是否可以在工程問題中應用二次函數，通過根據基本數量關系與組合圖形面積，成功列舉二次函數，并運用配方法求解極值，之后可以與不等式、一元二次方程式相結合，求解實際問題.

3 構建模型法

在完成二次函數應用題解題中，學生可以自主構建二次函數模型，通過運用二次函數圖象、性質來解決實際問題.但是在應用此種方法時對建模要求較高，有一定難度.

例3 （如圖2所示）拋物線m：y=ax2+b（a<0，b>0），和x軸于A、B兩點，（A在B的左側），相交于y軸，C點為交點.將拋物線m圍繞B旋轉180°，可以獲得新的拋物線n，C1為頂點，交x軸另一交點A1.

求解 （1）在a為-1，b為1的情況下，列出拋物線n解析式;

（2）四邊形AC1A1C屬于哪類特殊四邊形，請寫出結果并說明理由;

（3）假若四邊形AC1A1C為矩形，求解a、b滿足條件的關系式.

分析 求解第一個問題時，通過在題干中已給出a為-1，b為1條件下，列出拋物線m解析式，并運用C、C1有關B點呈中心對稱性，可以得到二次函數頂點坐標.

根據題干已知a為-1，b為1情況下，建立拋物線m解析式為y=-x2+1，

令x=0情況下，可以得出y=1.

由于C（0，1），令y為0，得x=±1，

所以A（-1，0），B（1，0）.

因為C、C1作為B點中心對稱，

所以n拋物線解析式為：y=（x-2）2-1=x2-4x+3.

求解第二個問題時，通過運用兩組對邊相等四邊形，即平行四邊形就可獲得答案.

四邊形AC1A1C作為平行四邊形，

因為C、C1，A、A1均關于B點中心對稱，

所以AB=BA1，BC=BC1，

所以AC1A1C也就作為平行四邊形.

求解第三個問題時，通過根據矩形性質，保證AC1A1C作為矩形，就需要滿足AB=BC這一條件，從而求解最終答案.

令x=0，可得y=b，

所以C（0，b），

令y=0，可得ax2+b=0，

所以x=±-ba，

所以A--ba，

0，B-ba，0，

所以AB=2-ba，

BC=OC2+OB2

=b2-ba，

想要讓平行四邊形AC1A1C為矩形，

必須滿足AB=BC，

所以2-ba=b2-ba，

所以4-ba=b2-ba，

ab=-3，

所以a、b需要滿足關系式為ab=-3.

點評 本題考察學生對代數幾何綜合題應用二次函數知識點的解題方法，主要結合平行四邊形性質，還有矩形性質，點的坐標關于一點中心對稱性，靈活運用平行四邊形性質成功解決問題.

參考文獻：

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