基于HPM的數學史融入高中數學教育研究

祁曉莉

【摘要】數學史與數學教育（HPM）是數學教育的一個重要研究分支.《普通高中數學課程標準》2017中也強調“如何將數學史融入到數學教育是一個重要的課題”[1].基于此現狀，筆者對2000-2021年數學史融入高中數學教育的相關研究進行分析和整理，并以“等差數列前n項和”這一節課為例，進行融入數學史的教學設計.針對只有少部分一線教師會在教學中融入數學史的現狀，提出相應的教學建議：加強數學史與歷史、現實和其他學科的聯系.為職前教師開展數學史課程，高校數學史研究人員與高中一線教師進行合作，將學術形態的數學史轉化為學生可接受的教學材料，具有一定的實際意義和應用價值.

【關鍵詞】高中數學;HPM;教學設計

1 HPM發展歷程

1.1 HPM的誕生

1976年，HPM正式隸屬于ICMI，它的主要目標是：聯合數學家、數學歷史學家、社會科學家、數學老師和其他數學工作者，以提倡和推動跨學科研究;對數學的發展方式以及導致這種發展的驅動力有更深入的了解;為了促進教學和課程開發，將HPM和數學的發展聯系起來;方便教師和其他數學工作者得到數學史等有關資料;促進人們對數學歷史的思考[2].

1.2 歷史相似性研究

歷史相似性是指個體認知的發展遵循人類認知發展規律.克萊因（Klein）認為：“個人成長必須以相同的順序.數學教學與其他事物一樣，遵循這項定律[3].”國內研究經歷了這種成長的所有階段，但是所需的時間卻減少了，后者在這方面也下了功夫，華東師范大學汪曉勤教授所在的團隊考察了高中一年級的學生對無窮級數求和和虛數乘法這兩個問題的理解程度，結果顯示，學生們對這兩個問題的認知水平和歷史上數學家的理解很相似.

根據以上數學家的論述不難看出：個體對數學的理解遵循數學知識的發展過程.數學教學應該關注學生的認知發展規律，歷史是教學的指導.講解新課時，教師可以根據前人在研究此問題時遇到的困難來推測學生在學習時可能遇到的困難，從而做到有的放矢，有針對性地教學.

2 數學史融入高中數學教育

2.1 研究現狀

有關數學史融入高中數學教育的研究可以分為以下幾個維度：

（1）教育價值的探索和實踐;

（2）如何有效地融入數學史;

（3）相關的教學設計.

數學史的相關研究可以追溯到很多年前，并且大量研究表明，數學史可以促進數學教育的發展.但數學史并沒有真正走進高中數學課堂，很少有一線教師在日常教學中融入數學史.

近年來，有學者認為，職前教師的數學史課程不應局限在講故事、看圖片的膚淺層面，這樣只會在形式上將數學史融入到教學中，并未發揮出數學史的作用[4].

如何讓數學史課程真正起到作用？如何讓數學史真正走進數學課堂，成為日常教學的一部分？這些問題其實都沒有解決.筆者認為，HPM研究者在向一線教師介紹可供教學的數學史料外，同時需要將更多形式的史料轉化為可供教育的數學史，讓教師親身體會數學史融入高中數學教育的構思、設計、調整和實施的全過程，從中汲取思想養料，探索教學方法.

2.2 發展趨勢

數學史具有回顧與前瞻并存的特點，基于數學史的數學教學應堅守科學的態度和理性的精神.HPM成立的目的是探討數學史與數學教育的關系，為將數學史整合到數學教育中提供理論和實踐方法，提高數學教育水平.

數學史融入高中數學的相關研究發展趨勢如下：

（1）注重教師教育中的數學史課程;

（2）為中學課堂提供數學史素材;

（3）如何在教學設計中有意義地融入數學史.

2.3 數學史融入高中數學教育的價值

2.3.1 激發學生學習興趣

Gulikers和Blom從“動機視角”總結了數學的價值：增加學生學習興趣、使數學變得更加親和[5].國際數學泰斗陳省身在《數學史概論》一書的題詞中寫道：“理解歷史的變化是理解這門學科的重要一步”[6].”麥克布萊德（McBride）認為，在課上講一點數學故事，可以點燃學生學習數學的激情，促使學生獲得學習數學的樂趣[7].

還有數學家認為：學習數學應該關注原始的理論，主動尋找數學家們留下來的思想方法，而不是依賴“重造的思想”.這就要求教師與學生要關注數學的歷史，關注概念、公理的產生過程.

綜上，數學史為學生理解數學提供了重要依據.教師用歷史趣事來豐富數學枯燥的解題過程，擴展了課堂的廣度和深度.學生在梳理知識脈絡時，用現有的方法解決歷史中的數學問題，加深對知識的理解，獲得成就感并增加對數學的學習興趣.

2.3.2 提高學生審美水平

數學史的導入，可以讓學生體會數學的趣味美;數學史解惑，可以讓學生體會數學的邏輯美;數學史閱讀，可以讓學生體會數學的內涵美.

例如 在講授《集合》這一部分時，可以由被稱為科學界的“瘋子”康托爾的故事導入.他證明了直線上的點可以一對一地對應于平面上的點和空間中的點，進而發表了關于無窮集合的相關論文.

以數學史的方式導入新課，師生可以共同品鑒其中的樂趣，體會數學之美.例如在學習平面直角坐標系時，了解笛卡爾的發現過程，他用觀察的眼光發現生活中的數學問題，用質疑精神去探索，最后創立了坐標幾何.對數學的了解越深，越能發現其中的美感.

3 數學史融入高中數學的教學設計

3.1 理論基礎

“再創造理論”認為，重要的是讓學生體驗數學的過程，而不是簡單地學習現有的數學理論.“再創造”思想主要體現在以下四個方面：

（1）在歷史發生原理的基礎上，再現數學過程;

（2）在教學過程中，教師指導學生進行再創造;

（3）基于現實的再創造;

（4）關注學習的過程，切忌從結果出發，思維顛倒的教學.

“再創造”過程要求教師結合學生的經驗基礎，切實引導學生親自把需要學習的內容發現或創造出來，用自己的觀點看待問題.學生體會新知識的獲得和數學知識的演變、更新過程，獲得成就感.

例如 具體案例分析——以“等差數列前n項和”為例.

泰姬陵是印度知名度最高的古跡之一，如圖1，陵寢中有一個由寶石點綴而成的三角形圖案，共一百層，由此可見，非常奢靡.你知道這個圖案中共有多少顆寶石嗎？本節課我們就來探討這個問題.

圖1 泰姬陵三角形寶石圖案

設計說明 本設計采用“附加式”融入數學史的方式，在新課導入的過程中，教師使用多媒體設備顯示泰姬陵中寶石的圖片，引導學生發現每一層寶石的數量比上一層多一顆，構成等差數列，并提出問題：共有多少顆寶石？即計算等差數列的前100項和，進而引出本節課的主題.將數學史納入新課的導入部分，激發了學生的學習興趣，并且學生渴望繼續探索，從而感受到了數學的美麗和學習的樂趣.

3.2 引入新知

在高斯小時候，有一天他的老師要求學生計算：

1+2+3+…98+99+100=？

對于小孩子來說，這道題的難度還是非常大的.但高斯很快就找到了答案，你知道高斯使用的是什么方法嗎？下面給同學們一點時間挑戰這位數學家.高斯的方法：正數第一項與最后一項的和：1+100=101;正數第二項與倒數第二項的和：2+99=101;第五十項與倒數第五十項的和：50+51=101.因此，前一百項的總和為：101*50=5050.

設計說明 本設計仍然采用“附加式”融入數學史的方式，通過高斯的童年故事，介紹了本節課中一種重要的解題方法——倒序相加法.這樣可以加深學生對這一方法的印象，使其更生動地理解其中的涵義.

3.3 解決問題

《張丘建算經》中有言：“今有女子善織布，織布數逐日同數增，初日織五尺，計織三十日，共織九匹三丈，問日增幾何？

設計說明 本設計采用在課堂中“復制式”融入數學史的方式，首先，學生需要將文字形式的數學史料抽象為數學問題，在這個問題中已知一個等差數列的首項為5，項數n和前n項和Sn，需要求公差d.學生需要將公式Sn=n·a1+n（n-1）d2進行合理變形，從而求解出d=0.56.

學生利用剛剛學到的知識解決歷史上的數學問題，獲得成就感，增加學習興趣.教師引導學生“從史中學”，了解前人發現問題、思考問題及解決問題的過程，培養數學思維.

4 教學建議

《新課標》中強調要將數學史融入高中數學，因此，必須要加深學生對數學史的理解程度.比如可以從橫向和縱向兩方面拓寬數學與外部的聯系.橫向指的是數學與其他學科如物理、化學、語文等的聯系.縱向指的是學生在學習數學的過程中，相關的數學史與現有的知識體系的聯系，比如在學到某個新概念、公理時，聯想到概念、公理產生和發展的過程.筆者認為，可以改善以下幾方面，從而將數學史更有效地融入到高中數學教學.

4.1 加強與歷史背景的聯系

在數學課堂中開展數學史教育要充分加強與本土歷史背景的聯系，對于具有相似開發背景的教學內容，可以采用類似的演示和教學策略.《課標》中強調：數學課程應反映數學的歷史，這要求教師對數學的歷史背景與我國歷史背景之間的關系有深刻的認識.

在課堂上，教師可以介紹數學的相關背景知識，也可以介紹數學發展中的一些重要歷史事件和人物.

4.2 加強與數學現實的聯系

數學現實指的是運用數學概念和方法對客觀事物的全面認識，具體來說，既包括學生在學習中遇到的數學概念和數學問題，也包括學生原本的認知結構.

加強數學史與現實之間的聯系可以通過巧妙地創設數學問題情境來實現，為確保情境的新穎性、學科性，教師和學生要時刻關注社會上的新現象、新問題，并帶入課堂教學中.

4.3 加強與其他學科的聯系

數學是一門基礎學科，因此，在編排內容時，要考慮與其他學科之間的聯系.數學可以用來幫助解決一些跨學科問題，在解決復雜的社會問題時也能體現出數學的基礎性地位.

目前，現有的問題是數學與其他學科的聯系只停留在表面上，沒有深入到思維領域.數學與其他學科的聯系不應只局限于研究對象和內容上，更要在其他學科中滲透數學思維.在教學過程中，要利用它們之間的積極聯系，爭取減少他們之間的消極聯系.

5 結語

HPM的研究方向逐漸從“為何”轉變為“如何”，即出現越來越多的HPM教學案例.但是到目前為止，數學史并沒有真正走進高中課堂，只有少部分一線教師會在教學中融入數學史.

高中數學可以增強學生學習動力、提高學生審美意識以及為他們建立起良好的數字價值與方法上.目前，教師運用數學史的方式主要有點綴式，重構式多用于探究課題，既可以滿足新課標對數學的探究要求，并且可以培養附加式、復制式、順應式、重構式教師和學生的再創造能力.

教師在教學中可以講講數學背后的故事，使枯燥無聊、晦澀難懂的課堂富有感染力.針對不同的教學內容，選擇最合適的教學方法，并適當運用多媒體等輔助手段，更有效地將數學史融入課堂.

參考文獻：

[1]普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].人民教育出版社.2020.5.

[2]汪曉勤.HPM：數學史與數學教育[M].北京：科學出版社.2017.5

[3]Katz V J.Using History to Teach Mathematics： An International Perspective [M].

[4]徐乃楠，張安妮.高中數學選修教科書中數學史呈現比較研究[J].長春師范大學學報，2018，37（02）：107-112.

[5]符唯.數學史融入小學數學教學的策略研究[D].湖南師范大學，2019.

[6]李文林.數學史概論[M].高等教育出版社，2002.