根與系數關系運用的五個技巧

張寧

如果一元二次方程[ax2+bx+c=0（a≠0）]有兩個實數根為[x1]，[x2]，則有[x1+x2=-ba]，[x1?x2=ca]. 這就是一元二次方程根與系數的關系（又叫韋達定理）. 在運用根與系數的關系解決問題時，常常要運用一些技巧，現舉例說明.

一、靈活選擇兩根之和與積

例1 （2021·湖南·長沙）若關于x的方程x2 - kx - 12 = 0的一個根為3，則k的值為 ．

分析：根據一元二次方程根與系數的關系得到x1x2 =? - 12，結合x1 = 3可求出x2，再利用兩根之和即可求出k的值．

解：∵x1x2 =? - 12，x1 = 3，∴x2 =? - 4.

又∵x1 + x2 = k，∴k = 3 + （ - 4） =? - 1．

故填 - 1.

點評：要根據題目的具體情況選擇兩根之和或兩根之積的關系式，本題若選兩根之和的關系式，得到x1 + x2 = k，則求k就困難了.當然，本題也可以將x = 3代入方程，得9 - 3k - 12 = 0，即可求出k．

二、借助配方轉化為兩根之和與積

例2 （2021·四川·瀘州）關于x的一元二次方程x2 + 2mx + m2 - m = 0的兩實數根x1，x2，滿足x1x2 = 2，則（[x21] + 2）（[x22] + 2）的值是（）.

A. 8? ? B. 16? ? ? ? C.? 32? ? ? D. 16或40

分析：先求出m = 2或m = -1，再將m的值分別代入一元二次方程中，然后利用完全平方公式將待求值式進行配方變形，最后根據一元二次方程根與系數的關系代入計算即可．

解：根據一元二次方程根與系數的關系得到x1x2 = m2 - m，由x1x2 = 2，

可知m2 - m = 2，解得m = 2或m = -1.

當m = 2時，原一元二次方程為x2 + 4x + 2 = 0，∴x1 + x2 =? - 4，∴（x[21] + 2）·（x[22] + 2） = （x1x2）2 + 2（x1 + x2）2 - 4x1x2 + 4 = 22 + 2 × （-4）2 - 4 × 2 + 4 = 32；當m = -1時，原一元二次方程為x2 - 2x + 2 = 0，∴Δ = （-2）2 - 4 × 1 × 2 = -4 < 0，原方程無解，m = -1不符合題意. 故選C.

點評：解決本題要靈活運用完全平方公式進行配方，將x12 +? x22轉化為（x1 +? x2）2 - 2x1x2．

三、通過降次轉化為兩根之和與積

例3 （2021·湖北·武漢）已知a，b是方程x2 - 3x - 5 = 0的兩根，則代數式2a3 - 6a2 + b2 + 7b + 1的值是（）.

A. - 25 B.? - 24 C. 35 D. 36

分析：根據一元二次方程根的定義得到a2 - 3a - 5 = 0，b2 - 3b - 5 = 0，即a2 - 3a = 5，b2 = 3b + 5，代入待求值式后使其降次，轉化為含a + b的代數式，再根據根與系數的關系得到a + b = 3，整體代入變形后的代數式即可求解．

解：∵a，b是方程x2 - 3x - 5 = 0的兩根，∴a2 - 3a - 5 = 0，b2 - 3b - 5 = 0，a + b = 3，∴a2 - 3a = 5，b2 = 3b + 5.

∴2a3 - 6a2 + b2 + 7b + 1 = 2a（a2 - 3a） + 3b + 5 + 7b + 1 = 10a + 10b + 6 = 10（a + b） + 6 = 10 × 3 + 6 = 36. 故選D．

點評：解與一元二次方程根相關的高次代數式求值問題，一般思路是利用方程根的定義將待求值式降次，轉化為兩根和與兩根積的形式，再用根與系數的關系來求值.

四、通過數式轉換轉化為兩根之和與積

例4 （2021·四川·南充）已知方程x2 - 2021x + 1 = 0的兩根分別為x1，x2，則x12[ - 2021x2]的值為（）.

A. 1 B. - 1 C. 2021 D. - 2021

分析：由題意得出x1 + x2 = 2021，x12 - 2021x1 + 1 = 0，x22 - 2021x2 + 1 = 0，從而有[-1x2=] x2 - 2021，進而將待求值式中的分式化為整式，變形后再代入求解即可．

解：∵方程x2 - 2021x + 1 = 0的兩根分別為x1，x2，∴x1 + x2 = 2021，x12 - 2021x1 + 1 = 0，x22 - 2021x2 + 1 = 0，∴x12 = 2021x1 - 1.

∵x2 ≠ 0，∴x2 - 2021 [+ 1x2 =] 0，∴[- 1x2 =] x2 - 2021.

∴[-2021x2= 2021x2-20212].

∴x12 [- 2021x2=] 2021x1 - 1 - 2021x2 - 20212 = 2021（x1 + x2） - 1 - 20212 = 20212 - 1 - 20212 =? - 1. 故選B.

點評：借助于一元二次方程根的概念，將分式轉化為整式，即可利用根與系數的關系來求解.

五、展開分組轉化為兩根之和與積

例5 （2022·四川·南充）已知關于x的一元二次方程x2 + 3x + k - 2 = 0有實數根.

（1）求實數k的取值范圍；

（2）設方程的兩個實數根分別為x1，x2，若（x1 + 1）（x2 + 1） = - 1，求k的值.

分析：（1）由一元二次方程有實數根，有Δ ≥ 0，得到關于k的一元一次不等式，求出k的取值范圍即可；（2）將（x1 + 1）（x2 + 1）展開后分組，得到含x1 + x2和x1x2的代數式，再將x1 + x2 = -3，x1x2 = k - 2代入，得到關于k的方程，求出符合題意的k的值即可.

解：（1）∵該一元二次方程有實數根，

∴Δ = 32 - 4（k - 2） ≥ 0，解得k ≤ [174].

（2）∵（x1 + 1）（x2 + 1）= -1，∴（x1 + x2） + x1x2 + 2 = 0.

∵x1 + x2 = - 3，x1x2 = k - 2，∴-3 + k - 2 + 2 = 0，解得k = 3.

∵3 < [174]，∴k = 3符合題意，即k的值為3.

點評：一元二次方程有實數根，分有兩個不等實數根和兩個相等實數根兩種情況，此時對應的根的判別式Δ ≥ 0，不能遺漏取等號的情況.一元二次方程根與系數的關系使用的前提是方程有實數根，因此（2）中求出k的值后，要檢驗是否在（1）的范圍中，正確進行取舍.

（作者單位： 廣東省珠海市橫琴新區第一中學）