建立坐標系　簡繁差異大

方震軍

例 （人教版初中數學九年級上冊第51頁探究3）圖1中是拋物線形拱橋，當拱頂離水面2 m時，水面寬4 m，水面下降1 m，水面寬度增加多少？

分析：題目中提到拋物線，自然就是二次函數，要用二次函數解析式來解決問題，必須先建立平面直角坐標系.

如何建立直角坐標系呢？課本指出：“為解題方便，以拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為y軸建立直角坐標系（如圖2）”.

為什么課本說這種建立直角坐標系的方法可以使解題方便呢？我們不妨來看看其他情況.

方法1：以距離拱頂2 m時的水面為x軸，此時水面與拱橋的左交點為坐標原點，建立直角坐標系，如圖3，則點A（0，0），B（4，0），頂點C（2，2）.設拋物線的解析式為y = a（x - 2）2 + 2，將點A（0，0）代入得a（0 - 2）2 + 2 = 0，解得a = -[12]，所以這條拋物線的解析式是y = -[12]（x - 2）2 + 2. 當水面下降1 m時，水面的縱坐標為-1，即y = -1. 當y = -1時，由-[12]（x - 2）2 + 2? = -1，解得x1 = 2 + [6]，x2 = 2 - [6]，則x1 -? x2 = 2[6]. 即水面下降1 m，水面寬度增加2[6] m.

方法2：以距離拱頂2 m時的水面為x軸，此時水面與拱橋的右交點為坐標原點，建立直角坐標系，如圖4，則點A（-4，0），B（0，0），頂點C（-2，2）.以下解法同方法1，請同學們自己完成.

方法3：以距離拱頂2 m時的水面為x軸，拋物線的對稱軸為y軸，建立直角坐標系，如圖5，則點A（-2，0），B（2，0），頂點C（0，2）. 設拋物線的解析式為y = ax2 + 2，將點A（-2，0）代入得a（-2）2 + 2 = 0，解得a = -[12]. 所以這條拋物線的解析式是y = -[12]x2 + 2. 當水面下降1 m時，水面的縱坐標為-1，即y = -1. 當y = -1時，由-[12]x2 + 2 = -1，解得x1 = [6]，x2 = -[6]，則x1 - x2 = 2[6]. 即水面下降1 m，水面寬度增加2[6] m.

方法4：以距離拱頂1 m時的水平線為x軸，在拱頂左側且距離拱頂1 m與x軸垂直的直線為y軸，建立直角坐標系，如圖6，則點A（-1，-1），B（3，-1），頂點C（1，1）. 設拋物線的解析式為y = a（x - 1）2 + 1，將點A（-1，-1）代入得：a（- 1 - 1）2 + 1 = -1，解得a = -[12].

所以這條拋物線的解析式是y = -[12]（x - 1）2 + 1.

當水面下降1 m時，水面的縱坐標為-2，即y = -2.

當y = -2時，由-[12]（x - 1）2 + 1 = -2，

解得x1 = 1 + [6]，x2 = 1 - [6]，x1 -? x2 = 2[6].

即水面下降1 m，水面寬度增加2[6] m.

方法5：以距離拱頂1 m時的水平線為x軸，在拱頂右側且距離拱頂1 m與x軸垂直的直線為y軸，建立直角坐標系，如圖7，則點A（-3，-1），B（1，-1），頂點C（-1，1）. 設拋物線的解析式為y = a（x + 1）2 + 1，將點A（-3，-1）代入得a（-3 + 1）2 + 1 = -1，解得a = -[12].

所以這條拋物線的解析式是y = -[12]（x + 1）2 + 1.

當水面下降1 m時，水面的縱坐標為-2，即y = -2.

當y = -2時，由-[12]（x + 1）2 + 1 = -2，

解得x1 = -1 + [6]，x2 = -1 - [6]，則x1 - x2 = 2[6].

即水面下降1 m，水面寬度增加2[6] m.

總結：可以發現，隨著所建立的平面直角坐標系的不同，解題的簡繁程度是不一樣的.因此在建立直角坐標系解決問題時，不能只注意建立坐標系的正確性，而要同 時注意解題的簡捷性，建得巧妙才能解得簡捷.

（作者單位：江蘇省南通中學附屬實驗學校）