代數幾何綜合的動點問題探究

左清明

代數與幾何的綜合問題是各地中考的熱點，下面舉例介紹此類問題的解題思路.

考題再現

例 （2021·遼寧·大連）如圖1，在矩形ABCD中，BC = 4 cm，CD = 3 cm，P，Q兩動點同時從點B出發，點P沿BC—CD以1 cm/s的速度向終點D勻速運動，點Q沿BA—AC以2 cm/s的速度向終點C勻速運動．

設點P的運動時間為t（s），△BPQ 的面積為S（cm2）．

（1）求AC的長；

（2）求S關于t的函數解析式，并直接寫出自變量t的取值范圍.

考點剖析

（1）知識點：函數關系式、勾股定理、矩形的性質．

（2）思想方法：數形結合、分類討論.

學情分析

解題思路：（1）根據勾股定理直接計算AC的長；

（2）根據點P，Q的運動位置進行分類，分別畫圖表示相應的△BPQ的面積即可．

解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B = 90°，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：

AC = [AB2+BC2] = [32+42] = 5（cm），

∴AC的長為5 cm.

（2）①當0 < t ≤ 1.5時，如圖2，

S = [12×BP×BQ] = [12×t×2t] = t2.

②當1.5 < t ≤ 4時，CQ = 8 - 2t，如圖3，作QH⊥BC于H，

方法1：

∵sin∠BCA = [ABAC] = [QHCQ]，∴[35] = [QH8-2t]，

∴QH = [245] - [6t5]，

∴S = [12] BP·QH = [12] [×] t [×] [245 - 6t5] = -[35] t2 + [125] t；

方法2：

∵∠QHP = ∠ABC = 90°，∴QH[?]AB，∴△QHC ∽ △ABC，

∴[ABAC] = [QHCQ]， ∴[35] = [QH8-2t]，

∴QH = [245] - [6t5]，

∴S = [12·BP·QH] = [12×t×245-6t5] = -[35t2] + [125t].

③當4 < t ≤ 7時，如圖4，

CP = t - 4，BQ = BC = 4，

∴S = [12·BC·CP] = [12×4×t-4] = 2t - 8，

綜上所述，S = [t20

勤于積累

動點問題解題步驟如下：

（1）模擬運動狀態，找出分界點，列出每種情況下自變量的取值范圍；

（2）畫出每種情況下的一般示意圖，求出重要線段長，列出函數關系式；

（3）綜合結論.

（作者單位：大連市第八十中學）