最值一定在頂點嗎

邢艷麗

一、問題引入

例1 某型彈藥裝有50粒炸藥，平均每粒炸藥對彈頭的飛行助推距離為30 m，根據(jù)科學(xué)測算，每增加1粒炸藥將會導(dǎo)致每粒炸藥的助推距離平均減少0.2 m，且由于彈殼容量的限制，增加量不能超過40粒. 求增加多少粒該炸藥可使彈頭獲得最大飛行距離，最大飛行距離是多少？

解析：設(shè)增加炸藥x粒，可使彈頭飛行距離達到y(tǒng) m，

根據(jù)題意得y = （50 + x）（30 - 0.2x） = -0.2x2 + 20x + 1500 = -0.2（x - 50）2 + 2000，

∵-0.2 < 0，∴當(dāng)x ≤ 50時，y隨x的增大而增大，且當(dāng)x = 50時，y有最大值. ∵x ≤ 40，∴當(dāng)x = 40時，y有最大值為1980.

因此，增加40粒該炸藥時可使彈頭獲得最大飛行距離，最大飛行距離是1980 m.

點評：彈殼容量限定了自變量的取值范圍，導(dǎo)致函數(shù)的最大值可能不是出現(xiàn)在頂點處，而是出現(xiàn)在端點處.

二、典例辨析

例2 如圖1，一名男生推鉛球，鉛球行進高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的表達式為[y=-112x2+23x+53]. 他將鉛球推出的距離是多遠？

甲同學(xué)的解答如下：

∵[-112] < 0，∴y有最大值，當(dāng)x = [-b2a] = 4時，y有最大值，即他將鉛球推出的距離是4 m.

乙同學(xué)的解答如下：

當(dāng)[y=] 0時，[-112x2+23x+53] = 0，解得[x1=10，x2=-2]，所以他將鉛球推出的距離是10 - （- 2） = 12（m）.

你認為他們的解法正確嗎？若不正確，請說明理由，并寫出正確答案.

解析：他們的解法均不正確. 理由：鉛球推出的距離既不是拋物線最高點對應(yīng)的水平距離，也不是拋物線與x軸兩個交點之間的距離，而是原點O到拋物線與x軸正半軸交點的距離. 所以他將鉛球推出的距離是乙同學(xué)計算所得[x1=10]對應(yīng)的10 m.

點評：鉛球推出的距離是原點O到拋物線與x軸正半軸交點的距離.

例3 要在一個圓形噴水池中心安裝一個大的噴水頭，高度為[103] m，噴出的水柱沿拋物線軌跡運動（如圖2），在離中心水平距離4 m處達到6 m的最高處. 求這個噴水池的直徑AB.

解析：∵沿拋物線軌跡運動的水柱在離中心水平距離4 m處達到6 m的最高處，

∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（4，6），

故設(shè)拋物線的解析式為[y=ax-42+6].

又∵噴水頭設(shè)計的高度為[103] m，

把[0，103]代入拋物線解析式，解得a[=-16]，

∴[y=-16x-42+6].

當(dāng)[y=0]時，解得x1 = 10或x2 = -2（不符合題意，舍去），即B（10，0），

所以這個噴水池的直徑AB是20 m.

點評：拋物線與x軸交點到原點的距離就是圓形噴水池的半徑.

三、總結(jié)提醒

二次函數(shù)應(yīng)用題中的“極值”并不一定對應(yīng)拋物線的頂點，而應(yīng)該結(jié)合具體情況在頂點、端點、交點中進行選擇. 通常，求二次函數(shù)中的最遠運動距離問題的一般步驟為：

（1）恰當(dāng)?shù)亟⒒蜻\用直角坐標(biāo)系直觀呈現(xiàn)拋物線；

（2）將已知條件轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)；

（3）合理地設(shè)出所求的函數(shù)表達式；

（4）根據(jù)已有條件求出函數(shù)表達式；

（5）利用二次函數(shù)的知識及方法解決問題.

四、能力提升

某人從球門正前方10 m處將球從地上踢起射向球門，若此球從離地一瞬間起的飛行路線符合如圖3所示的拋物線，且當(dāng)球飛行的水平距離是6 m時，球到達最高點3 m，則此球能否射入高2.44 m的球門？請說明理由.

答案：能射入球門. 根據(jù)題意可知該拋物線頂點為（6，3），且經(jīng)過點（0，0），故設(shè)拋物線的解析式為[y=ax-62+3]，∴[0=a0-62] + 3，解得[a=-112]，∴拋物線的解析式為[y=-112x-62+3]. 當(dāng)x = 10時，[y=53<2.44]，故能射入球門.

（作者單位：沈陽市遼中區(qū)養(yǎng)士堡九年一貫制學(xué)校）