高中數學數列試題的解題方法與技巧

趙向杰

【摘要】數列是高中數學課程的重要章節，本章學知識表現形式靈活，且難度較高，學生在這個章節的學習中普遍得分率不高.數列種類多樣，在出題的過程中可以用多種題型對學生進行考察，因此在試卷的分值占比較較多.所以在高中數學教學中，教師應當引導學生掌握數列基礎知識進而增加解題技巧和方法，能夠有效提高學生數學成績.本文通過對數列教學中的實踐進行匯總，根據數列的解題技巧和方法進行淺析.

【關鍵詞】高中數學;數列試題;解題方法與技巧

學生對數列的解題技巧和解題方法如果能夠扎實掌握、靈活運用，對于學生以后大學學習有著莫大的幫助和重要的意義.近年來的高考試題以靈活運用為導向，針對數列知識的題型靈活多變，非常適合出題人應用，因此一些高考數學大題中數列知識成為了解題的關鍵與核心，學生們對數列的學習方法和學習技巧顯得尤為重要.

教師應當根據高考試題變化策略，針對數列的解題方法和技巧進行總結，從基礎知識點入手，引導學生找到各類數列知識題型的解題規律，從而使學生建立數學學習的自信心，為數學知識的進一步學習奠定基礎.

1 高中數學數列知識的重要性

高中數學這個科目，不論對于選擇文科還是理科的學生而言都是非常重要的，高中數學是三大主科之一，不僅分值占比高，數學成績的優劣更是關系到物理與化學的成績，因為這兩門學科中的計算都是數學科目中的必備內容.高中數學不但負責著學生的邏輯思維訓練，更是與多門學科有著密切的聯系.高中數學數列問題怎樣學，主要看學生對數列的基礎知識理解程度.學生要具備自己的思維方式，不能僅僅聽教師課上所講的知識內容，在課下更應當及時溫習、刷題，加深知識印象和靈活運用的能力.

依據數列的概念：按照一定順序排列的一列數稱之為數列.學生在教師的帶領下可以構建自己的知識架構，首先把握數列知識版塊的知識結構，構建自己的數列知識網絡，然后從考試題型上掌握數列解題的基本技巧與方法.

2 高中數學數列問題的解題方法與技巧

2.1 利用基本概念解題

各省高考試題中均有關于數列基本概念的題型，這些題型對數列知識的考察大都僅僅涉及到基本概念和原理.對于號稱“多考一分干掉千人”的殘酷高考來說，教師必須要教導學生熟練掌握數列基本概念和基礎性知識.對于這些利用基本概念解題的題型保證讓學生一分不落地拿到手.

在高中數列教學過程中，一些數列題目的特點就是模式化，學生僅僅需要依靠公式套入數字即可得到正確答案.在遇到這樣的題型時，學生一定要細心謹慎保證百分百正確率.不能因為看到簡單的數列問題就輕敵，漏掉重要條件最后導致功虧一簣，痛失分數追悔莫及.

以數列基本概念題型為例：在所有項均為正數的等比數列{b}中，首項b₁=5，b₁+b₂+b₃=18，那么b₃+b₄+b₅等于多少？首先引導學生進行讀題，把握題目中的關鍵因素，教師可以從以下三個主要方面引領學生分析試題：第一，這道題考察的主要內容是什么？出題人的目的何在？經過學生思考發現，本題主要考察等比數列通項公式的知識內容;第二，這道題目要求學生利用題中已知條件，根據等比數列通項公式與求和公式，進行進一步的計算從而求得答案;第三，本道題目的重點環節在于要求出公比q的數值，也就是從題中已知條件b₁+b₂+b₃=18進行解析，列出2（1-q²）/（1-q）=18，學生通過計算得出q的答案.

經過教師這樣分步驟的系統講解，學生在做類似題目的時候條理和思路分外明晰，經過多道類似習題的演練學生能夠熟練利用數列基本概念進行解題.類似這樣的數列習題，就沒有什么特別的技巧與辦法，只要學生對等比數列的求和公式與通項公式熟練掌握即可，然后直接進行運算得出答案.

2.2 利用數列性質解題

近年來高考試卷出題，著重考察學生的邏輯思維能力和綜合運用數學思維方式解題的能力.在高考數學試題中以學科素養為導向，注重對學生的數學能力考察，對數學基礎知識的覆蓋更加廣泛全面，增強了試題的綜合性與實用性.在試題中以貼近實際生活的數學情境為引，落實對數學知識的考察.許多高中數列的題型雖然類別豐富、令人眼花繚亂，但是出題者的大體思路是一致的.因此在教學過程中，教師應當提醒學生仔細分辨這類看似新鮮實則是“舊瓶裝新酒”的習題，引導學生盡快找到正確的解題思路和解題方法.

例如 在利用數列性質解題的題型中有：已知等差數列{y_n}中包含y₁+y₇=12，求解y₂+y₃+y₅+y₆之和為多少？這類數列題型針對等差數列中的一個基本知識點，那就是m+n=p+q.在做練習題的過程中學生對于該知識點的印象是否深刻，或者是學生是否真正掌握了等差數列的所有相關知識，就顯得尤為重要.在教師的引導與回憶過程中，學生通過思考、查閱課本、翻找筆記等多種方式，對本題涉及的數列知識點進行二次回顧，應用這個數列的重要性質進行解題.y₁+y₇=y₂+y₆=y₃+y₅=12，經過推導該題的最終結果是y₂+y₃+y₅+y₆=（y₂+y₆）+（y₃+y₅）=12+12=24.

從以上題型中教師和學生可以輕松找出此類題型所要考察的知識內容，就是利用數列性質解題，看起來復雜多變、數字繁雜的題目，只要仔細讀題并分析，抓住題中的關鍵信息，就能進行解答.因此在數列問題的講解過程中，教師應當抓住數列的特性，為學生指明解題應當把握的正確方向，引導學生發現一長串數字和字母背后隱藏的數列問題的關鍵著手點，并正確運用這個點進行著力，以此為突破口解決數列問題.

2.3 利用通項公式解題

在數列的各種類型試題當中，通項公式占有著極大的篇幅，一些習題甚至會要求學生直接進行通項公式的求取，而部分習題則會通過隱藏相關條件要求進行誤導學生，從而增加難度，然后再要求學生利用通項公式進行求解.所以在高中數學的教學過程中，教師應當注重通項公式的講解，為學生整理通項公式的各類求解方法，在掌握這些方法以后學生才能從容面對不同類型的高難度多類型的數列題型，增加學生數學學習的信心，提高做題的效率與質量，增加做題的正確率.

本文作者整理的通項公式求取方法主要有以下幾種供大家參考：第一，利用等差數列和等比數列的性質找出對應的通項公式，然后進行求取;第二，從題中多種關系條件中進行梳理分析，利用相關條件進行通項公式的求值;第三，運用疊乘或疊加的方法進行通項公式的求取.

下面進行通項公式普通求解方式的分析：

首先，根據已知條件進行等比數列的構造，所有出現關于后項與前項的依次遞進推式均可以構造出等比數列，利用等比數列進行通項公式的求取;

其次，根據已知條件進行等比數列的構造;

再次，按照題中后項與前項的對應規律，向前一項進行推寫對應式子.

如果題中已知遞推公式時，求通項公式的一般方法：第一，如果題中給出a₁=a.a_n+1=qa_n+b，求a_n，可以利用待定系數法進行求解，解題關鍵環節在于確定待定系數λ，使得a_n+1+λ=q（a_n+λ），從而得出λ的解.最后已知a₁=a，a_n=a_n-1+f（n）（n≥2）時，求a_n的值.這道數列習題當中我們可以利用累加法進行求解，根據數列特點與通項公式可知：a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+...+（a_n-a_n-1）的解題思路.

以上是作者在日常教學中整理匯總出來的數列利用通項公式解題的幾個思路，在實際應用中非常實用且便捷.

2.4 利用方程思想解題

數列在數學概念的解釋上簡述為離散數集（正整數集或者其有限子集）上的函數，數列的幾種表示方法與函數的表示方法有對應關系，數列的性質與函數的性質也有很多相近與相似的地方.因此在高中數學數列的問題解析中往往可以利用方程的思想來開辟數列相關的新的解題思路.

數學中函數與方程思想都是非常重要的數學思維方法，其中的構造函數法更是具有非常重要的代表性，當學生在進行一些數列問題的解析時，可以借助研究相對應的函數與方程的有關性質來進行相關推導.

高中數學中，數列是數學科目的重要內容和難點，又是將來在大學中學習高等數學的敲門磚，在數學科目中數列經常會與函數、不等式、方程等其他數學版塊的知識發生交匯貫通的關系，故而學生在學習和做數列練習題的時候，不但要注意觀察數列的特殊性，還應當利用方程的思想、函數的觀點、函數的方法來開拓新的解題思路，進行新方向的探究，透過數列練習題的表象找到對數列本質意義的理解，從而達到靈活準確應用的高標準數列教學目標.

利用方程思想解題的題型有：

題目中已知有兩個等差數列{a_n}，{b_n}，這兩個等差數列的前n項之和分別是S_n與T_n，并且n對于一切自然數都有等式SnTn=5n+32n+7，則求解a₉b₉的值為多少？

解析 因為{a_n}，{b_n}都是等差數列，根據等差數列前n項和的公式，可以知道S_n=an²+bn的結構形式，然后根據題中設定條件，將S_n=（5n+3）kn，T_n=（2n+7）kn，由以上分析可以較容易的得出a₉b₉=8841.

重點關注 如果{a_n}是一個等差數列，那么這道題的通項公式將是一個關于n的一次函數，整個式子的前n項和公式就是一個沒有常數項的二次函數，由此就可以利用待定函數法進行本題的解答.

3 總結

通過以上多種類型數學數列習題的分析講解以及類型匯總中，數列習題的類型并未全部總結到位，因為數學的特點就是靈活多變，存在無數待定的特性.在高中數學數列的練習題中，還有一類題型，它們就是在試題給出的條件數列中沒有可以發現的規律，不符合等差數列也不符合等比數列的規律.

學生學習的數列基礎知識和數列性質對沒有辦法與之對應，只能通過數列分解得出相應的等差、等比數列.這類習題有著很大的迷惑性.所以在日常學習和教學工作中，學生與教師還應當勤加練習，才能更多地掌握習題技巧，進而提升數學成績.

4 結語

從本文以上內容可知，數列作為高中數學的必考知識，在整個高中數學知識系統中占據了重要的地位，在數學高考中占據了相當的分數值.高中數學教師應當充分認識到數列知識對學生的重要性 ，并且在實際解題過程中盡可能多地進行知識點的匯總與各類相似題型的歸納，通過引導學生觀察、探索確定解題思路和使用相關解題方法.

雖然數列在解題中具有一系列解題技巧和方法，但是其基礎仍然是對課本基礎知識的牢固掌握和靈活運用，數學各類練習題的模式總是萬變不離其宗，需要學生通過對數學知識的積累、掌握和拓展來進行解答.教師應當教育學生勤學苦練，培養學生自主學習能力，從而從根本上提高學生做題的效率.

參考文獻：

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