數學抽象素養下初中數學概念教學設計

樓春春

【摘 要】 初中數學教學中很多是概念教學，而概念形成主要是從感性具體到理性具體的第一次數學抽象，然后由一個理性具體到另一個理性具體的第二次抽象，可以用弱抽象與強抽象相結合的方法構造出新的數學概念.在概念教學時，教師應該重視與前后知識的聯系，與整體知識體系的聯系，與生活實際的聯系，讓概念學習有充分的抽象意義和現實意義.

【關鍵詞】 數學抽象;概念教學

數學概念的形成是數學抽象的具體表現，是數學知識的基礎，是數學思維的基本形式.概念形成是指從一些具體例證出發，抽取一類事物的共同屬性，學生利用已有認知結構中的有關知識理解，從而形成新概念[1].概念形成過程就是對概念進行數學抽象的過程，通過類比得到進一步的抽象也是引入概念的重要方法.

《3.2實數>是在學生學習了平方根以后，接觸了如“√2”與“兀”等具體的一些無理數的基礎上，引入了無理數的概念，使學生把數的概念從有理數擴充到實數，從知識儲備上看，學生已經學習了有理數，大致知道了有理數研究的基本路徑，同時學生已掌握平方根，初步接觸了“√2”與“?！钡染唧w的無理數，從能力上看，七年級的學生思維正處于從以具體形象思維為主向以抽象邏輯思維為主的轉折期，所以在教學設計時，注意具體性、形象性的同時還要適當地抽象開闊，從而既適應這一時期的能力發展水平，又能促進他們的思維向更高一階段的發展.

1 類比中引入，讓引入抽象更連貫流暢

課堂引入是課堂正式教學的啟動，教師有意識、有目的地引導學生進入新的學習狀態的教學組織行為，通常在課堂引入中會運用情境，在情境中抽離出研究對象，本堂課從有理數的研究路徑引入，通過類比讓引入抽象過程更連貫流暢.

師 導語：前面兩章我們學習了有理數以及有理數的運算.那么對于有理數我們學習了哪些內容？經歷了怎樣的一條知識路線呢？

（1）呈現第一章的學習目錄

（2）對于有理數，我們是通過定義、分類、表達和性質四個部分依次展開學習的.

（3）本堂課，我們將從有理數的分類著手，繼續進一步學習.

（4）根據不同的數的類型，有理數可以分為哪兩類？（生：整數和分數）

（5）根據不同的小數類型，分數又可以分為哪兩類？（生：有限小數、無限循環小數）

（6）如果我們把整數看作有限小數，譬如4我們可以看作4.0，那么有理數就可以視為有限小數和無限循環小數的總集.

（7）將視線聚焦“有理數：有限小數或無限循環小數，”

思考：我們還學過不是這兩類的小數嗎？請你舉例說一說，并說明為什么.（生：π，π是無限不循環小數）

（8）那么除了π以外，還有沒有其它的數不屬于這兩類小數？

學生第一章已經學習了有理數，大致知道了有理數的研究路徑，教師由有理數的研究路徑提出，有助于學生通過類比整體來研究無理數，幫助學生理清一條研究數的基本路徑，學會學習數的方法.這樣設計的意圖主要著眼于學生的最近發展區，把新知識與舊知識聯系起來學習，讓舊知為新知做好鋪墊作用，讓學生學起來更加容易接受這個知識點.

2 過程中微探，讓抽象本質更理解透徹

《義務教育數學課程標準（2011版）》強調：“數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上”，我們要在數學教學中找準知識的生長點，在探究過程中“退”到知識的源點，在學習的動態過程中往前“進一步，在這個過程中抓本質、誘反思、促理解，探尋所學知識的數學本質[2].

（1）√2和兀一樣是一個抽象的數學符號，數值不明.

（2）從√2是2的算術平方根，你想到了什么？開方運算的逆運算是什么？（生：平方）板書：（√2）2=2

（3）有某個整數的平方是2嗎？（生：沒有）

（4）說明√2不是整數，那么√2在哪兩個整數之間呢？為什么？

（生：√2在1和2之間，所以12<（√2）2<22因為1<√2<2）

（5）上述過程說明√2的整數位是多少？（生：1）

（6）那么我們可以用這種方法確定它的十分位嗎？

啟發：①猜測一下√2的十分位？（例如：1.5）

②比較√2與1.5的大小.

范例（板書）：所以1. 42<（√2）2<1. 52

因為1.4<√2<1.5，它的前兩位為1.4

（7）嘗試研究√2的百分位？

根據上一節課，得知平方與開平方是互逆運算，學生通過估一估、猜一猜、算一算.用“逼近法”去嘗試、感受“√2”小數點后前幾個具體每位上的數值，從“數”本身的角度出發，讓學生去體會開不盡情況，為得出無限不循環小數為無理數這一概念做好鋪墊.Excel中公式的設置，讓學生不斷進行嘗試探究，有了一定的經驗后，能夠自主地得到“√2”的百分位，千分位，甚至更多的位數.

3 發展中切入，讓概念抽象更自然深刻

新知探索是學生的求知階段，是課堂教學的主環節.在這個過程中，教師的主要作用是利用有效的提問來啟發學生的思路和方法，引導學生大膽猜想;而數學知識和技能的得到需要學生從形象思維到抽象思維，從直覺思維到邏輯思維的合理過渡，從而在發展過程中獲得新的知識，

堂課以“小數”為切入口，自然順暢地通過小數數域的“封閉”著手，得出無理數和實數的相關概念.基于有理數研究的基本路徑，學生通過活動進一步理解和拓寬對無限不循環小數的認識，從第一次抽象獲得研究對象到二次抽象得到研究的數學表征，深刻理解無理數的含義和分類，最終得出實數的概念.

4 練習中聯系，讓抽象鞏固更具體豐實

知識可以講清楚，但抽象能力和運用能力必須通過訓練來鞏同提升，這樣一來練習設計這一環節尤為重要，必須突出有效性.有效的課堂練習不僅可以檢查學生學習效果和教師的教學效果，而且還能為教師提供教學反饋，從而修改教學方案，提高課堂教學效益.

5 操作中內化，讓思維抽象更直觀生動

華羅庚先生說過：“數缺形時少直觀，形少數時難人微.”數形結合是數學中重要的思想方法之一，是通過數和形兩者之間的關系來解決數學問題的方法思想.數形結合思想的本質是幾何圖形的性質反應了數量關系;數量關系決定了幾何圖形的性質[3].

類比有理數的知識框架，我們剛才完成了無理數的定義和兩種不同標準下的分類，接下來是表達，那么能否將√2表示在數軸上呢？

（1）從數的角度，我們怎樣在數軸上表示√2，板演.

（2）從數的角度，只能在數軸上近似地表達√2，要想精確地表示，我們得從形的角度？

（3）考慮到√2在原點√2個單位處，我們需要找到一條長為√2個單位長度的線段.

（4）指向（√2）2=2，剛才我們通過平方，將√2的數值明確化，將線段的長度平方，你想到了什么？

（5）指向12<（√2）2<22 ，12你聯想到怎樣的正方形？22呢？（√2）2呢？（生：邊長為1面積為1的正方形;邊長為2面積為4的正方形;邊長為√2面積為2的正方形.）

（6）四人小組，給大家一個面積為4平方單位的正方形：①折一個面積為1平方單位的正方形;②展開，折一個面積為2個平方單位的正方形，

板書：畫一個邊長為2個單位長度的正方形（找一個正確的學生說折法，畫他的折痕，得到面積為2的陰影正方形，它的邊長為√2）結合數軸、圖形和圓規把√2精確地表示在數軸上，

在數軸上表示，對于七年級的學生而言將有理數在數軸上表示難度不大，但要怎么將無理數表示在數軸上呢？我們用了兩種形式，一種是√2的近似值，一種是√2的準確值.通過之前的逼近法，學生已經知道√2≈1.4，在數軸上大致的表示出來，但√2的準確值怎么表示？通過折紙活動，讓學生自主探究單位長度為1時，√2有多長，再將之拓展到同一個單位長度的數軸上.利用有理數研究基本路徑圖過渡到實數在數軸上的表達，借助數軸對無理數進行研究，從形的角度，再一次體會無理數.

這個環節，設計了一個小組活動——“折紙活動”改編自書本“合作學習”，我們變“同定圖形”為“折紙活動”，能夠更好激發學生的學習興趣，化被動學習為主動學習，活動設計傾向于用形來說明數，從一維的線段長到二維的圖形面積，在折紙過程中，并不是一開始就讓學生折面積為2的正方形，一則是因為讓學生直接折面積為2的正方形難度有點大，折出面積為1的正方形有助于得到“折痕”，為折出面積為2的正方形做準備;二則為了得到√2是邊長為1的正方形的對角線長，為數軸上表示√2作鋪墊.

學東西的最好途徑是親自發現它，本節課的教學設計中注重學生的認知水平和親身感受出發，通過教師與學生“自主十合作”的方式，從有理數的研究路徑出發，通過類比歸納得出研究無理數（實數）的研究路徑，抽象得到無理數（實數）概念，在練習鞏同與動手操作中加深對實數概念的理解.

類比能充分調動學生的主觀能動性，促進知識的遷移，達到活躍思維，豐富想象力，有益于培養學生的認知力和抽象能力.在教學活動中，適時調整學生對無理數（實數）的片面認識，并通過練習及時檢測學生對于實數的掌握，為學生提供及時適當的反饋，在輕松融洽的課堂評價氛圍中完成本節課的教學內容和學習任務.

參考文獻：

[1]讓“數學抽象”核心素養在學生心里生根發芽——以數學概念教學為例[J].竇彩云.學周刊.2018（09）

[2]淺談如何讓學生體驗數學知識的產生[J].翁慧芳.中學課程輔導（江蘇教師）.2014（19）

[3]在中學數學教學中如何培養學生的核心素養[D].劉軼，遼寧師范大學2018