借力預習單與微課，突破難點

陳維烈

摘 要：人教版數學六年級下冊的數學廣角“鴿巢問題”，以前定義為奧數內容，是不進入課本的，如今進入課本，教師就不能回避了，得引導孩子去學。“鴿巢問題”的理論本身并不復雜，而如何正確理解“鴿巢原理”的“數學證明”是難點，同時讓學生理解“鴿巢原理”這種“存在性問題表達方式”也是一個難點，也就是說學生難以理解“總有一個鴿巢里至少有幾只鴿子”的情況，學生總覺得“鴿巢里的鴿子數”還可以更少。下文將闡述如何借力預習單與微課，突破這課的教學難點，從而達到培養學生問題解決策略的目的。

關鍵詞：學習單 ; 微課 ; 突破難點;“鴿巢原理”

在開啟你的學習之旅前，請了解一段有趣的數學文化。我校高年級數學組正在開展《基于學生真問題的分享式教學模式》的校本課題研究。所以我們特別注重課前預習單的設計，預習單既要簡潔明了，還要能激發學生自主學習的興趣，所以教師制作了一段關于“鴿巢”問題怎樣發現的微課，并發到班級微信群里，引領學生完成預習單。課前完成預習單與課堂上的及時思考相比，思考時間長，思考比較深入。在思考中，“思而不得”就會產生問題，這些問題才是“真問題”。

一、情境導入，理解“至少”

數學課堂上最應該做的事情是激發興趣。教師借助撲克牌，設計操作活動激發學生的興趣，在具體的表象和比較中，從而理解“5張牌至少有2張花色相同。”這句話中“至少”的含義。理解“至少”的含義后設疑，激發學生對學習“鴿巢”問題的欲望，為下邊探究“所以然”做鋪墊。

二、組內交流

首先PPT呈現：把4支鉛筆放進3個筆筒，總有一個筆筒至少有2支鉛筆。為什么呢？例如：學生通過獨立學習，有了疑惑是好事，就看教師怎么處理更有效。在創設情境導入后，這時組織討論，能達到四個目的：一是方法相同的同學派一人講解自己的思路，其他同學補充，可以讓自己的思路更清晰，更全面;二是從同伴那里獲得不同的方法;三是提出自己的困惑，向同伴請教，簡單問題可以在組內得到解決;四是梳理組內還沒解決的問題，是本節課的核心“真問題”，需要借力老師才能解決。

三、問題解決

（一）理解原理

“鴿巢”問題的理論本身并不復雜，而如何正確理解“鴿巢原理”的“數學證明”是難點，同時讓學生理解“鴿巢原理”這種“存在性問題表達方式”也是一個難點，也就是說學生難以理解“總有一個鴿巢里至少有幾只鴿子”的情況，學生總覺得“鴿巢里的鴿子數”還可以更少。此處教師呈現學生的作品，組織學生碰撞交流，在比較中直觀地理解了“鴿巢原理”是研究鴿子數最多的那個鴿巢的鴿子數的最少數。

（二）思維提升

部分學生對列式計算這種方法難以理解，教師沒有采用講解的方式，而是讓其他學生來解惑，提問和解惑的主體都是學生。教師只是在關鍵處提問，幫助學生總結方法。

四、問題延伸

教師通過一組對比練習的呈現，使學生初步感知“鴿巢”問題只是一個 “模型”，雖然問題的情境在變化，但問題的本質——數量之間的關系是不變的。學生在解決這些問題的過程中逐漸形成“鴿巢”問題的“數學形式”及其解題策略體系，開始初步建構關于“鴿巢”問題的數學模型。

五、前后呼應

人教版義務教材六年級下冊安排的“數學廣角”滲透的是有關鴿巢原理的一些基本思想方法。教材將此內編排為三個例題對鴿巢原理進行闡述，讓學生逐步加深對“鴿巢原理”的理解。學生總覺得“鴿巢里的鴿子數”還可以更少。怎么突出教學重點，突破教學難點呢？

（一）課前了解學情，為“真學習”做準備

為了達到“真學習”的目的，筆者精心設計了預習單和制作了微課。通過檢查預習單，發現只有兩個學過奧數的學生運用假設法列式計算證明結論的正確性。絕大部分學生運用數的分解法、圖示法解釋這個結論。在“我的疑惑”一欄，學生主要提了這幾個問題：

A、為什么不說“總有一個筆筒至少有1支筆”？

B、哪些問題屬于“鴿巢”問題？

C、如果鉛筆數很多，是不是也是“總有一個筆筒至少有2支筆”？

這些問題正囊括了這堂課的重難點。可見大多數學生只“知其然，不知其所以然”。這些問題來自學生本身，此時要做的事就是引導學生步步釋疑。

（二）情境導入，引導理解“至少”

《2011版課標》指出：盡管每堂數學課有既定的目標，也有各自的重心所在，但整體來看，在數學課堂教學中，我們最應該下功夫的“點”和最需要做的事情之一就是“激發學生的興趣”。于是開課環節，例如：以“玩魔術”導入，讓孩子在去掉大小王后，從52張撲克牌中任意抽取5張。故意說：我猜“至少有2張牌花色相同”，并板書“至少2張牌花色相同”，同時問學生相信嗎？學生一下子興趣來了，紛紛要上臺驗證教師寫的結論。學生上臺驗證后發現的確“至少有2張花色相同”。這樣的設計，一是使教師和學生進行自然的溝通交流;二是調動和激發學生學習的主動性和探究欲望;三是為今天的探究埋下伏筆，初步理解“至少”的含義。

（三）多次對比，領悟本質

著名教育家烏申斯基認為：“比較是一切理解和思維的基礎，我們正是通過比較來了解世界上的一切。”小學數學的教學內容既有聯系又有區別，在教學中充分運用對比的方法，有助于突破教學難點，加強對新知本質的領悟。第一次對比是學生有序地用圖示法驗證結論，一個按從多到少的順序放，一個按從少到多的順序放，在比較中，培養學生有序思維，同時也直觀地表達了“總有一個筆筒至少有2支筆”的本質。第二次對比是列式計算法和圖示法的比較，學生在比較中認識到列式計算法的優越性。第三次對比把5支筆放進3個筆筒，總有一個筆筒至少放進幾支筆？一種用“商+1”，一種用“商+余數”，在對比教學中，學生領悟到求至少數與余數的大小無關，不管余數是幾，都是用“商+1”。第四次對比是呈現三個具體情境：“（1）11本書放進4個抽屜，總有一個抽屜至少放進了幾本書？（2）張伯伯喜歡養鴿子，他做了5個鴿籠，每個鴿籠住2只鴿子。他一共養了幾只鴿子？（3）高速路口同時有250輛車通過5個收費口，總有一個收費口至少通過幾輛車子？”讓學生判斷誰是“鴿巢”問題，并深化了“鴿巢”問題的本質——都是多個物體進入少個空間的問題。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.數學課程標準（2011版） .北京：北京師范大學出版集團，2012.02.