“運用導數證明不等式”教學設計

摘要：數學證明的真諦不在于能證明命題真假，而在于它能啟發人們對命題有更深刻的理解，并能促進新發現，這就突破了傳統教學中對數學證明的觀念.根據這樣的認識，我們認為對數學學習來說，數學證明的教育價值主要體現在幫助學生學會學習、培養學生思維能力、提升學生核心素養等幾個方面.

關鍵詞：導數證明;設計明暗線;問題;方法

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）15-0038-03

收稿日期：2022-02-25

作者簡介：金玉明（1977.1-），男，江蘇省南京人，本科，中學高級教師，從事中學數學教學研究.

1 近5年《運用導數證明不等式》全國卷高考考查情況調查2016年在新課標全國卷Ⅰ、Ⅱ（理科）21、新課標全國卷Ⅲ（文科）21、浙江卷（文、理科）20、山東卷（理科）20考查.2017年在新課標全國卷Ⅱ（理科）21、新課標全國卷Ⅲ（文科）21、（理科）21（數列不等式）、天津卷（理科）20、（文科）19、江蘇卷20、浙江卷22（Ⅱ）（數列不等式）考查.2018年在新課標全國卷Ⅰ（文科）21、（理科）21、新課標全國卷Ⅱ（理科）21、新課標全國卷Ⅲ（文科）21、（理科）21、浙江卷22（Ⅰ）考查.2019年在北京卷（理科）19、（文科）20、天津卷（理科）20、（文科）20考查.2020年在天津卷20、浙江卷22考查.近五年考查非常密集.

2 教學設計思路

本節課內容按照“情境→問題→方法和思路→運用”的路徑安排學習過程，體現了知識運用問題轉化的一般思路，有利于學生形成系統、普適的數學思維模式.有利于提升學生透過問題看本質的能力，使學生學會以簡馭繁，養成一般性思考問題的好習慣，從而發展數學抽象素養，提升邏輯思維素養和數學運算素養.

3 教學設計明線

明線一：知識.運用導數求解最值、提升至運用導數證明命題.

明線二：題型.解答題、證明題之間的互相轉換，會運用導數證明不等式.

4 教學設計暗線

暗線一：思維方式.構造函數，求最值.

暗線二：核心素養提升.邏輯思維能力、抽象能力和數學運算能力.

5 課堂教學設計

5.1 教學目標

（1）體會導數方法在研究函數性質中的一般性和有效性，同時感受和體會數學自身發展的一般規律;

（2）體會數形結合的作用，能運用導數方法嚴格論證代數關系.

教學重點

運用導數證明不等式.

教學準備

PPT、GGB或者幾何畫板作圖演示（圖形更加直觀，但是不能作為證明方法）.

5.2 教學過程

5.2.1 問題情境

問題1.說明函數f（x）=e與函數g（x）=x+1之間的大小關系.

引例：求函數f（x）=e-（x+1）的最小值.

教學設計意圖

本情境的提出使學生明確：導數的學習，可以使我們對函數最值的研究方法更加豐富，而最值求出后，就得出了不等關系.那么不等關系的證明也可以看作是最值的求解，這需要作合理的轉換.引出本節課主題：運用導數證明不等式.

問題與方法總結

函數單調性研究的一個重要作用是依據函數單調性求函數最值，而導數的重要作用是可以研究函數單調性，特別是研究超越函數單調性.求出函數最值后可以比較兩個函數大小關系，就可以出現證明題，所以引出本節課題《運用導數證明不等式》.所證明的不等式應該是有超越函數存在的不等式形式，否則不一定需要用導數方法證明，體現導數方法證明不等式的必要性.

當然，選擇本情境還因為是這兩個函數的大小關系也是很多不等式證明時經常用來放縮的一個背景，需要給予足夠的重視.

5.2.2 學生活動與師生互動

問題2.運用導數，證明不等式.

例1求證：對于x∈R，e≥x+1.

教學設計意圖

通過本題的研究，確立導數證明不等式的方法，同時明確一個常見不等關系.在方法層面上，引導學生對作差法與作商法進行比較，明確一題多解的必要性.厘清用導數法證明不等式的基本方法和步驟.思維上提升邏輯思維素養和數學運算素養.

研究方案

（1）通過GGB（或者幾何畫板）演示，首先讓學生有一定的直觀感受，明確有不等關系的兩個函數圖像之間應當可以被一條線分割開.

（2）師生共同完成該問題，并研究方法.

5.2.3 建構數學

問題與方法總結

含超越函數的不等式證明問題，主要方法是：構造函數，求最值.而構造函數的方法可以是作差或者是作商.

方法一：作差，構造函數f（x）=e-（x+1），求出函數最小值為0，證明不等式.

方法二：作商，構造函數f（x）=x+1/e，求出函數最大值為1，證明不等式.

5.2.4 第一次課堂練習

變式訓練一：（2018全國Ⅱ卷理數21（1））求證：對于x∈＼[0，+∞），e≥x+1.

教學設計意圖

變式訓練一探究兩種方法，并體驗方法一需要多次求導的不便性，以確立第二種方法的必要性.鞏固運用導數證明不等式的方法，有利于學生把握相關數學內容的本質.提升學生數學抽象、邏輯推理和數學運算的核心素養.

問題與方法總結

問題為含超越函數的不等式證明題，依據例題，采用構造函數的方法進行證明.對于作差法，本題需要二次求導解決問題，方法略顯復雜.對于作商法，關注“指數好基友”屬性，e可以作為分母，在求導時減少運算量，便于順利解決問題.借助本練習，讓學生體會方法選擇的重要性.

5.2.5 數學應用

例2求證：對于x∈（0，+∞），x≥lnx+1.

教學設計意圖

題目與方法層面，不同函數類型，運用同樣方法解決問題.問題進一步提升導數證明不等式意識，提高解題心理表征屬性.思維層面，考慮到x≥lnx+1是由ex≥x+1中將x換成x-1并取對數得到，提升學生數學抽象核心素養.

問題與方法總結

作差法還是作商法的選擇再一次成為本節課的焦點，讓學生體會“對數單身狗”屬性的了解.明確兩個問題ex≥x+1與x≥lnx+1本質是同一個問題.通過GGB（或者幾何畫板）演示，首先讓學生有一定的直觀感受.

5.2.6 第二次課堂練習

問題3.綜合運用

變式訓練二：求證：對于x∈[1，+∞），xlnx/x+1≤1/2（x-1）.

教學設計意圖

本題的設計目的，除了相關知識和方法鞏固、問題解決過程中發展學生的數學運算、邏輯思維外，還希望能夠更好激活學生的知識網絡，引導學生在運用已有知識方法解題進行認知建構過程中，提升元認知監控能力.學生只有在解題中不斷分析、推理、反思、比較和鑒別，才能形成正確思路并準確表達其思維過程.

問題與方法總結

結構不良，復雜的不等式問題證明，需要使用分析法將不等式先作合理轉換，再構造函數進行證明.同時關注“對數單身狗”屬性.

5.2.7 回顧小結

對于本節課，你有哪些不同層次的體會？

知識：用導數法證明不等式問題的研究.

方法：構造函數，求函數最值、“指數好基友、對數單身狗”的轉換方式.

思維：提升邏輯思維、數學運算、數學抽象（由e≥x+1轉化得到x≥lnx+1的數學抽象方法）等核心素養.

6 教后反思

首先，本節課重點研究的不等關系：e≥x+1，既是研究的題目，也是放縮法的橋梁.如幾種放縮方法：化曲為直、化動為靜、化繁為簡、順水推舟等.

其次，本節重點研究的不等關系：e≥x+1，既是其它不等式證明的源頭，也是問題解決方法的重要背景，并且問題的變化往往也是通過這個不等關系得到的.在教學過程中，我們對二級結論的探究和使用一直都存在分歧，筆者認為二級結論在選擇填空題中應大膽使用，在解答題中應當在證明結論的前提下可以使用;教學中對于學習能力強的同學應當對二級結論有一定認識，而對于學習能力較弱的同學應更加注重通性通法;平時教學應當以通性通法為主要教學內容，如果提到二級結論，應當盡量給出較為完善的推理證明過程.

再次，明確不等式證明還有其它的題型，比如不等式兩邊可以分別求最大值與最小值直接比較大小關系，而移到一側卻無法求最值，此類問題也需要關注.

最后，不等式證明還可以延伸至數列中不等關系證明，需要前后對應，尋找關聯，解決問題.用函數方法解決數列問題是比較常見的一種解決問題方法，需要給予足夠關注.

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018（1）.

[2] 史寧中.數學基本思想18講[M].北京：北京師范大學出版社，2016（10）.

[責任編輯：李璟]