初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之推理能力培養(yǎng)

魏 沁 福建省福州市第十中學(xué)

在國際課程改革背景下，我國將課程改革聚焦在核心素養(yǎng)上，助力探究核心素養(yǎng)培養(yǎng)體系及各學(xué)科核心素養(yǎng)。推理能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要維度，是貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動始終的。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）強調(diào)培養(yǎng)學(xué)生推理能力的重要性，要求教師引導(dǎo)學(xué)生合情合理地探究數(shù)學(xué)結(jié)論，演繹推理地證明數(shù)學(xué)知識，使學(xué)生在有效掌握數(shù)學(xué)知識的同時，潛移默化地形成推理能力。傳統(tǒng)教學(xué)實踐表明，學(xué)生在缺乏推理能力的情況下，思維邏輯很容易混亂，往往對數(shù)學(xué)內(nèi)容束手無策，阻礙了數(shù)學(xué)探究，影響了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果。由此可見，在初中數(shù)學(xué)課堂上培養(yǎng)學(xué)生的推理能力是尤為重要的。所謂推理能力，是指學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，應(yīng)用思維規(guī)律和形式對數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行思考，應(yīng)用觀察、歸納、猜想等方式對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行推論，進(jìn)而掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容的一種能力。綜觀推理能力的內(nèi)涵，推理能力的培養(yǎng)是以確定的教學(xué)方向為基礎(chǔ)，以明確的教學(xué)內(nèi)容為依據(jù)，以多樣的推理活動為載體，以規(guī)劃好的推理方法為關(guān)鍵的活動。教學(xué)方向、教學(xué)內(nèi)容、推理活動和推理方法是缺一不可的。因此，在實施初中數(shù)學(xué)教學(xué)的時候，教師要想有效地培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，可以應(yīng)用適宜的策略確定教學(xué)方向，明確培養(yǎng)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)推理活動，規(guī)劃推理方法。具體策略如下：

一、依據(jù)課標(biāo)要求，確定教學(xué)方向

新課標(biāo)是教師實施數(shù)學(xué)教學(xué)的依據(jù)，為教師指明了數(shù)學(xué)教學(xué)的方向。已有教學(xué)實踐表明，有效地研讀新課標(biāo)，切實把握新課標(biāo)要求，不僅可以使教師確定教學(xué)方向，還可以實現(xiàn)預(yù)期教學(xué)目標(biāo)，提高教學(xué)質(zhì)量。對此，在培養(yǎng)學(xué)生推理能力的時候，教師要以新課標(biāo)為依據(jù)，以推理能力為切入點，深挖課標(biāo)要求，確定數(shù)學(xué)課堂教學(xué)方向，有理有據(jù)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)推理。

以“線段的垂直平分線的性質(zhì)”為例，新課標(biāo)針對此內(nèi)容做了如此描述：理解概念，經(jīng)歷定理探索過程。教材內(nèi)容為：測量并猜想線段之間的關(guān)系，得到線段的垂直平分線的性質(zhì)定理，利用全等三角形判定定理證明定理，獲得定理及其逆定理。結(jié)合新課標(biāo)要求和教材內(nèi)容，教師確定教學(xué)方向：以學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識儲備（軸對稱圖形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等）為基礎(chǔ)，創(chuàng)設(shè)自主探究或合作探究活動，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮主觀能動性，用數(shù)學(xué)語言表述數(shù)學(xué)概念的構(gòu)成，逐步探尋定理的特征和解決思路。如此，不僅使教師確定了課堂教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)方向，還使教師明確了課堂教學(xué)活動，便于有方法地引導(dǎo)學(xué)生體驗教學(xué)活動，逐步推理線段的垂直平分線的性質(zhì)，實現(xiàn)預(yù)期教學(xué)目標(biāo)，提高課堂教學(xué)效果。

二、深入研讀教材，明確培養(yǎng)內(nèi)容

教材是數(shù)學(xué)知識的載體，是教師實施數(shù)學(xué)教學(xué)的依據(jù)，也是實現(xiàn)新課標(biāo)要求的載體。在培養(yǎng)學(xué)生推理能力的時候，教師要深入研讀教材，挖掘關(guān)乎推理能力的具體內(nèi)容，由此結(jié)合新課標(biāo)要求，明確培養(yǎng)推理能力的具體內(nèi)容，借此為實施課堂教學(xué)提供便利。

以“軸對稱”為例，新課標(biāo)針對此內(nèi)容強調(diào)了思考的條理性和推理的活動性。在新課標(biāo)的指導(dǎo)下，教師研讀教材，從章節(jié)內(nèi)容和單元內(nèi)容入手，明確培養(yǎng)推理能力的具體內(nèi)容。如表1 所示：

表1

（續(xù)表）

如此，使教師明晰了在每節(jié)課上引導(dǎo)學(xué)生推理的方向，便于增強課堂教學(xué)的針對性和有效性。

三、依托數(shù)學(xué)課堂，創(chuàng)設(shè)推理活動

（一）營造民主氛圍，創(chuàng)設(shè)猜想活動

猜想是學(xué)生進(jìn)行推理的基礎(chǔ)。傳統(tǒng)教學(xué)實踐表明，當(dāng)學(xué)生缺乏猜想意識和欲望的時候，會逃避探究數(shù)學(xué)。猜想是學(xué)生的自發(fā)行為。建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論指明，良好的學(xué)習(xí)環(huán)境是學(xué)習(xí)者自發(fā)學(xué)習(xí)的保證。新課標(biāo)要求教師創(chuàng)設(shè)民主的教學(xué)氛圍，使學(xué)生放下學(xué)習(xí)戒備，自主投身學(xué)習(xí)活動。對此，在培養(yǎng)學(xué)生推理能力的時候，教師要以營造民主氛圍為切入點，振奮學(xué)生的精神，活躍學(xué)生的思維，使學(xué)生無拘無束地進(jìn)行猜想，順其自然地創(chuàng)設(shè)出猜想活動，同時就學(xué)生的猜想進(jìn)行指導(dǎo)，肯定合理成分，容忍不合理內(nèi)容，進(jìn)而使學(xué)生增強猜想欲望，樂于進(jìn)行數(shù)學(xué)推理。

以“有理數(shù)的乘法”為例。教師在實施課堂教學(xué)的時候，依據(jù)教學(xué)內(nèi)容先創(chuàng)設(shè)了“議一議”活動，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)軸上討論有理數(shù)的乘法方法。接著，教師呈現(xiàn)問題：（-3）×（-1），（-3）×（-2），（-3）×（-3），（-3）×（-4）。大部分學(xué)生猜測出了正確結(jié)果。但是，有一個學(xué)生提出疑問：（-3）×（-4）=9。教師鼓勵該學(xué)生說出自己的想法。“在數(shù)軸上，站在（-3）這個點上，乘以（-4），則需要沿著數(shù)軸向相反方向右方移動4 次，每次移動3 個格子，這樣獲得的答案是9。”其他學(xué)生有的覺得如此想是錯誤的，有的則認(rèn)為是合理的。對此，教師把握時機(jī)引導(dǎo)學(xué)生在小組中討論，探尋如此想的“癥結(jié)”。實踐表明，大部分學(xué)生產(chǎn)生了探究欲望，尤其通過合作探究發(fā)現(xiàn)了“癥結(jié)”所在，順其自然地理解了有理數(shù)的乘法。同時，學(xué)生也因此增強了猜想欲望，便于夯實推理基礎(chǔ)，為發(fā)展推理能力奠定堅實基礎(chǔ)。

（二）還給學(xué)生權(quán)利，創(chuàng)設(shè)探究活動

探究活動是學(xué)生學(xué)習(xí)主體性的具體體現(xiàn)。新課改指明了自主探究和合作探究對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性。推理是學(xué)生探究學(xué)習(xí)的實踐表現(xiàn)。在實施數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的時候，教師要以學(xué)生的學(xué)情為依據(jù)，確定符合學(xué)生實際情況的教學(xué)內(nèi)容，以此為基礎(chǔ)創(chuàng)設(shè)探究活動，引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)推理，自主或合作進(jìn)行推理、論證，掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容，鍛煉推理能力。

以“統(tǒng)計調(diào)查”為例。教師在實施課堂教學(xué)的時候，以本校舉辦的科技知識競賽為契機(jī)，向?qū)W生呈現(xiàn)了甲組和乙組的科技知識競賽成績，如表2 所示：

表2

接著引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識計算兩組的人均成績，并利用統(tǒng)計知識判斷哪個小組的名次較好。之后，教師先鼓勵學(xué)生自主探究，然后與小組成員交流自主探究成果。在學(xué)生進(jìn)行合作探究的時候，教師巡視課堂。此時，教師發(fā)現(xiàn)所有小組一共探究出了四種方法。接著，教師引導(dǎo)各小組展現(xiàn)不同的方法，同時將具體方法寫在黑板上。例如，從分?jǐn)?shù)看，甲為90 分，乙為70分，所以甲組成績好；從方差看，S甲=172，S乙=256，所以甲組成績較為穩(wěn)定。所以甲組的成績比乙組好。教師鼓勵學(xué)生與小組成員合作討論幾種方法。討論的過程，正是學(xué)生從不同角度進(jìn)行推理的過程，便于學(xué)生借鑒他人的推理方法，積累推理經(jīng)驗。同時，不少學(xué)生會因他人的推理完善自身認(rèn)知，便于發(fā)展推理能力。尤其是，學(xué)生通過交流不同推理方法，切實地碰撞思維，加深對所學(xué)的理解，有利于提升課堂學(xué)習(xí)的效果。

（三）展現(xiàn)情境問題，創(chuàng)設(shè)推理活動

發(fā)現(xiàn)問題、解決問題是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)推理的具體體現(xiàn)。在建構(gòu)主義者看來，情境是學(xué)習(xí)者遷移經(jīng)驗、實現(xiàn)有意義建構(gòu)的基礎(chǔ)。新課標(biāo)指明了數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系。學(xué)生在體驗生活的過程中，與數(shù)學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行互動，建構(gòu)認(rèn)知。在與生活現(xiàn)象互動的時候，可以遷移經(jīng)驗，從生活現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，提出問題，進(jìn)而推理、論證，解決問題，實現(xiàn)對數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解，潛移默化地發(fā)展推理能力。因此，在培養(yǎng)學(xué)生推理能力的時候，教師不妨創(chuàng)設(shè)問題情境。

以“平面鑲嵌問題”為例。這是人教版教材八年級上冊第一章后的數(shù)學(xué)活動內(nèi)容。在實施課堂教學(xué)的過程中，教師以該內(nèi)容與生活的關(guān)系為切入點，創(chuàng)設(shè)了生活情境。利用課件呈現(xiàn)埃舍爾鑲嵌圖形——飛馬，并提出問題：“這個圖形中的飛馬圖案有怎樣的排列順序？白馬和黑馬的排列位置有怎樣的特點？”在此問題的作用下，學(xué)生細(xì)心觀察圖案，發(fā)現(xiàn)白馬和黑馬的形狀、位置特點，建立圖形平行感知，同時對鑲嵌建構(gòu)直觀認(rèn)知。接著，教師提問：“借助該鑲嵌圖形，可以發(fā)現(xiàn)平面鑲嵌有怎樣的特點？”學(xué)生自覺地歸納圖形的特點，順其自然地鍛煉歸納推理能力，同時形成數(shù)學(xué)概念。然后，教師把握時機(jī)創(chuàng)設(shè)一系列探究活動，如：用同一種正多邊形完成平面鑲嵌。在創(chuàng)設(shè)此項探究活動的時候，教師提出其他問題：“從課件中選擇合適的多邊形地板拼地板，看哪些多邊形可以完成鑲嵌。用同一種正多邊形完成鑲嵌，需要滿足哪些條件？”在問題的作用下，大部分學(xué)生發(fā)揮主觀能動性，動手操作，根據(jù)課件內(nèi)容剪切正多邊形卡片，想一想，拼一拼。在學(xué)生獨立操作后，教師鼓勵他們與小組成員共享各自的操作成果，并進(jìn)行集體展示。在展示的過程中，大部分小組肯定用正三角形、正四邊形、正六邊形可以鋪地板，但對正五邊形產(chǎn)生疑問。對此，教師鼓勵他們各抒己見，通過碰撞思維解決疑問……實踐表明，學(xué)生在問題情境的作用下，親身體驗了推理活動，逐步掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容，順其自然地鍛煉推理能力。

四、完善評價反饋，規(guī)劃推理方法

（一）針對學(xué)情進(jìn)行評價反饋

評價反饋是數(shù)學(xué)教學(xué)活動的重要構(gòu)成，是教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)問題、解決學(xué)習(xí)問題的重要途徑。掌握推理方法是學(xué)生有效進(jìn)行數(shù)學(xué)推理的關(guān)鍵。在數(shù)學(xué)課堂上，盡管部分學(xué)生會在教師的引導(dǎo)下體驗推理活動，但是因為缺乏科學(xué)的推理方法，導(dǎo)致推理效果不盡如人意。因此，教師要把握時機(jī)進(jìn)行評價反饋，針對學(xué)生的推理情況規(guī)劃推理方法，引導(dǎo)學(xué)生利用這些方法繼續(xù)推理，順利地完成推理任務(wù)，同時掌握推理方法，推動發(fā)展推理能力。

以“分式方程”為例。知識和方法是學(xué)生在這節(jié)課上要掌握的基礎(chǔ)內(nèi)容，也是教師實施評價反饋的基礎(chǔ)。對此，在實施課堂教學(xué)的時候，教師可以以知識和方法為切入點，有針對性地進(jìn)行評價反饋。具體地，分式方程中的分母帶有未知數(shù)，需要以具體情境為基礎(chǔ)全面考慮未知數(shù)的取值范圍，進(jìn)而進(jìn)行推理，獲得正確結(jié)果。基于此，教師確定知識層面的評價反饋內(nèi)容：因式分解、分式四則運算等；方法層面的評價反饋內(nèi)容：轉(zhuǎn)化思想、分類思想等。依據(jù)這些評價反饋內(nèi)容，教師在課堂上有針對性地規(guī)劃推理方法。如在利用運算法則解答方程的時候，需要將方程的解代入原式的條件中，如果滿足原式的條件，則方程的解是正確的，在此應(yīng)注意：分式的分母不為0。實踐表明，學(xué)生在如此評價反饋的作用下，會留心注意推理過程中經(jīng)常出現(xiàn)的問題，進(jìn)而減少出現(xiàn)推理問題，提高推理效果。此外，一些學(xué)生會因此積累推理經(jīng)驗，實現(xiàn)有方法地推理，便于發(fā)展推理能力。

（二）針對學(xué)情進(jìn)行賞識評價

新課改闡明了教學(xué)評價的激勵作用，要求教師善用教學(xué)評價促進(jìn)學(xué)生發(fā)展。賞識評價是教學(xué)評價激勵作用的實踐表現(xiàn)，是學(xué)生發(fā)現(xiàn)自身進(jìn)步之處、建立自信心的重要手段。學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)推理的時候，盡管會遇到諸多問題，但會因不斷推理而有良好的推理表現(xiàn)。所以，教師在針對知識內(nèi)容和方法進(jìn)行評價反饋之際，還要用賞識的眼光發(fā)現(xiàn)學(xué)生的良好推理表現(xiàn)，有針對性地進(jìn)行賞識，使學(xué)生獲得滿足感，建立推理的自信心，進(jìn)而自主地體驗數(shù)學(xué)推理活動，久而久之，提高數(shù)學(xué)推理水平。

仍以“分式方程”為例。學(xué)生在教師的評價反饋下，掌握了應(yīng)用運算法則解答方程的方法。教師在學(xué)生進(jìn)行運算的時候，用賞識的眼光發(fā)現(xiàn)學(xué)生的進(jìn)步，進(jìn)而有針對性地進(jìn)行表揚，使學(xué)生增強對運算方法的認(rèn)知，同時建立自信心。

綜上所述，有效地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)推理，可以使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識的同時鍛煉推理能力，為形成核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ)。對此，在實施初中數(shù)學(xué)教學(xué)的時候，教師要以核心素養(yǎng)培養(yǎng)要求為指導(dǎo)，以數(shù)學(xué)推理為要點，應(yīng)用有效的策略，如依據(jù)課標(biāo)要求，確定教學(xué)方向；深入研讀教材，明確培養(yǎng)內(nèi)容；依托數(shù)學(xué)課堂，創(chuàng)設(shè)推理活動；完善評價反饋，規(guī)劃推理方法，切實地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)推理，使學(xué)生發(fā)揮主觀能動性，經(jīng)歷推理過程，由淺入深掌握數(shù)學(xué)知識，順其自然鍛煉數(shù)學(xué)推理能力，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果。