基于可靠度指標優化模型的擋土墻穩定性分析

湯彬彬　陳東　趙紫紅　方雪朋

摘要：文章根據可靠度指標理論，提出擋土墻穩定性分析的最優化可靠度計算方法，即通過建立求解可靠度指標的優化模型，運用Matlab軟件優化工具箱計算重力式擋土墻抗傾覆、抗滑移可靠指標和失效概率。與中心點法、JC法和蒙特卡羅法等計算方法進行比較分析后得出：最優化可靠度計算方法計算精度高，計算效率優于其他算法，并且具有較好的通用性，適用于擋土墻穩定性問題的分析。

關鍵詞：可靠度;優化模型;Matlab;擋土墻;穩定性分析

中圖分類號：U417.1+1

0 引言

在公路工程、橋臺、隧道洞口及河流堤岸等工程建設中，擋土墻通常用來承受側向土壓力以防止土體坍塌，在安全防護方面發揮著重大的作用[1-3]。傳統判定擋土墻是否失穩的方法是定值分析法，采用安全系數作為判別指標。這種方法經過長期的實踐證明，是一種比較簡單易行的工程應用方法，但存在很大的隱患。因為安全系數法在計算過程中是把相關的土工參數看作是一個確定性的常量，并沒有考慮到各個參數在實際工程應用中的不確定性，即各設計變量的隨機性，故而在實際工程中會存在安全隱患，即使設計的安全系數足夠，但投入使用后也可能很快發生破壞現象。

從定量的、經驗的到概率的，是工程結構設計方法在可靠度分析方面所經歷的三個發展階段。目前在國際上普遍使用的是概率定值設計法，該方法將土工參數看作是隨機變量，把可靠度理論引入到擋土墻的設計計算當中，并采用以概率理論為基礎所確定的失效概率來衡量擋土墻的可靠性，更加合理有效地反映出擋土墻的安全程度，方便工程師直接運用，促進了工程理論和技術水平的提高，為我國各種設計規范所使用[4-15]。中心點法[16]、JC法[17]和蒙特卡羅法[18]，是目前常用的可靠度計算方法。其中JC法和蒙特卡羅法精度較好，但是迭代次數多、計算速度比較慢;中心點法精度最低。

基于可靠度指標的理論分析，本文提出并重點研究了可應用于于擋土墻穩定性分析的最優化可靠度計算方法，建立了求解可靠度指標的優化模型，在此基礎上使用

Matlab軟件編寫了計算程序，計算了相應的算例，并將其與常用的中心點法、JC法和蒙特卡羅法等計算方法進行了比較分析。算例比較分析后的結果表明，最優化可靠度計算方法計算精度高，計算效率優于這些算法，并且具有很好的通用性，在擋土墻穩定性的分析方面可以發揮其優勢，具有一定的工程實際意義。

1 可靠度指標理論

對擋土墻通常進行抗傾覆和抗滑移的穩定性驗算，判別指標分別是抗傾覆穩定性安全系數Kl和抗滑移穩定性安全系數KS，即：

在擋土墻設計過程中通常會遇到功能函數是線性函數的兩個基本變量的情況，用來表示擋土墻的承載力——抗力;用S來表示擋土墻所承受的各種內力——作用效應，此時，功能函數可表示為：

極限狀態方程為：

在以R和S為坐標的平面上，式（3）表示一條直線，稱之為極限狀態直線，這條直線把所在平面劃分為兩個區域：可靠區（>S）和失效區（2 優化思路及方法

如圖2所示為在二維坐標系下可靠度指標的幾何圖解，假設R和S兩個變量相互獨立且服從正態分布，其極限狀態方程為Z=R-S=0。

圖2（a）表示原坐標系，圖2（b）表示新坐標系（即對原坐標系標準化），兩者的轉換關系如下：

設計驗算點為點P*并滿足極限狀態方程：

在標準正態坐標系下，可靠度指標表示原點到極限狀態面的最小距離為：

可以看出，無論在變量處于何種分布或者功能函數處于何種情況下，用最優化方法求解可靠度指標的問題都可以轉換成求解從原點出發到極限狀態曲面的最短距離，而且這一過程可以方便快捷地在Matlab中實現。

所謂的最優化主要是通過尋求多變量函數的最大值和最小值來實現的，該方法是一種數值方法，通過數值計算來得到最優化問題的結果，可以解決兩大問題：

（1）將一般的可靠度分析問題轉換成最優化的數學模型。

（2）通過對數學模型的求解得出最小值。

本文主要介紹了約束優化法、無約束優化法及基于最優化原理的蒙特卡羅法三種優化方法。當極限狀態方程中某個變量可以用其他變量來表示時，則可用無約束優化法;若不能則采用約束優化法。基于最優化原理的蒙特卡羅法則主要是對隨機變量在極限狀態曲面上進行抽樣，各驗算點到原點的最小距離即為所求。

3 建立優化模型

先作基本假設：

假設擋土墻中有n個服從任意分布的獨立隨機變量X1，X2…，Xn，由其組成了以下表示擋土墻穩定性的結構極限狀態方程：

經過正態化處理后的當量正態分布應該滿足如下條件：在設計驗算點x*i的概率分布函數值、概率密度函數值，必須與原隨機變量x*i處所對應的概率分布函數值、概率密度函數值分別相等，如圖3所示。

運用拉克維茨-菲斯萊法（簡稱R-F法）將非正態變量進行當量正態化，可得到相應的等效正態分布的均值μ′xi和標準差σ′x，計算得到可靠度指標如下（也可根據變量特性確定的其他方法來進行當量正態化）：

驗算點在一開始時是未知的，通過對可靠度指標的優化處理后可以確定。先把β看作是極限狀態曲面上點P（X1，X2，…，Xn）的函數，通過優化求解，在該區域中找到β的最小值，即是可靠度指標β，也得到了相應的驗算點P*（X*1，X*2，…，X*n）。由此，可歸納出以下求解可靠度指標的約束優化模型：

min

通過拉克維茨-菲斯萊法當量正態化后得到的均值和標準差μ′xi、σ′xi，在正態分布和對數正態分布下的簡化形式如下：

（2）對數正態分布

式中：Vxi——Xi的變異系數。

由于在極限狀態函數中，可以用其他的變量組合來表示其中的某一個變量，故：

即可轉化為無約束模型：

建立了以上優化模型之后，可通過Matlab軟件語言來編制出求解可靠度指標的程序，程序實現過程如圖4所示。

以Z=18.46-7.48X1/X32為算例，在Matlab軟件下分別實現約束優化法、無約束優化法以及基于最優化原理的蒙特卡洛法的程序。

4.1 約束優化法

約束優化法的Matlab程序過程如下：

（1）定義全局變量并對其賦值，Mu為[10 2.5]，Sigama為[2 0.375]，表示均值和標準差;X0取均值Mu，為初始迭代點。

（2）Matlab調優工具箱里的fmincon函數可用來求解約束優化問題：[X，fval，exitflag，output]=fmincon（@bata2，X0，A，b，Aeq，beq，lb，ub，@st）。fval的返回值為X處的目標函數值，exitflag參數的返回值用來描述函數計算的有效性，輸出參數output返回值包含優化信息。其中b、beq、lb和ub為線性不等式約束的上、下界向量，A和Aeq此處都取空，表示線性不等式約束和等式約束的系數矩陣。bata2表示目標函數子函數，st表示可靠度約束條件子函數。

（3）定義目標函數子函數bata2（X）為（（X（1）-Mu（1））/Sigama（1））2+（（X（2）-Mu（2））/Sigama（2））2;定義可靠度約束條件子函數[c，ceq]= st（X），c為不等式約束條件，取空，等式約束條件ceq=為18.46- 7.48×X（1）/X（2）3。

（4）用函數sqrt（fval）對fval開平方，計算得到可靠指標;失效概率由累積分布函數cdf（′norm，-bata，0，1）計算得到。

4.2 無約束優化法

極限狀態函數中的一個變量可以由其他變量來組合表示，基于此，可得到相應的無約束模型，此處用X1= 18.46/（7.48X3）代替等式約束條件。其Matlab程序過程與約束優化的類似，只是去除了約束條件，其過程如下：

（1）全局變量的定義和賦值和約束優化方法相同。

（2）用調優工具箱里的fminsearch函數，求解非約束優化問題：[X，fval，exitflag，output]=fminsearch（@ bata2w，X0）。返回值和fmincon函數相同。其中bata2w為目標函數子函數。

（3）定義目標函數子函數bata2w（X）為（（X1-Mu（1））/Sigama（1））2+（（X-Mu（2））/Sigama（2））2，其中X1= 18.46×X3/7.48。

（4）采用與約束優化法相同的方法，計算得到可靠度指標和失效概率。

4.3 基于最優化原理的蒙特卡羅法

（1）設定抽樣次數N為10 000，定義全局變量并對其賦值，MuX為[10 2.5]，Sigama X為[2 0.375]。

（2）函數normrnd可用來產生正態分布隨機數，由此可產生隨機變量X2的1行N個正態分布樣本：X2=normrnd（MuX（2），SigamaX（2），1，N）。根據極限狀態方程得到X1=18.46×X23/7.48。

（3）正態分布在X1處的累積概率值由累積正態分布函數normcdf得到：fX1=normcdf（X1，MuX（1），SigamaX（1））。用逆累計分布函數norminv得到的累計概率值的臨界值：Y1=norminv（fX1，0，1）。同樣的方法，得到fX2和Y2。

（4）取B1=[Y12，Y22]，取B1里最小的值給B，取B1的升序給BB。用函數sqrt（B1）對B1開平方，計算得到可靠指標。用sqrt（BB（2））-sqrt（BB（1））計算得到精度。用C=find（B1==B）找出B1=B時的C，則X1（C）和X2（C）即是驗算點。

5 算例計算及比較

如圖5所示的重力式擋土墻，墻高4.604 m，基礎埋深1.2 m，填土面水平，墻背傾角α=-14.03°，基底傾斜α0=10°，混凝土擋土墻材料容重γ=25 kN/m3。填土的物理力學指標γ=19 kN/m3，墻后填土內摩擦角φ=30°、墻背摩擦角δ=10°、基底摩擦系數μ=0.5，持力層土抗剪強度指標c=11 kPa、φ′=24°，地基承載力設計值f=175 kPa。各隨機變量的統計參數如表1所示。

由式（1）～（3）可計算出重力式擋土墻的抗滑移、抗傾覆極限狀態方程：

（1）抗傾覆的極限狀態方程：

（2）抗滑移的極限狀態方程：

根據以上建立的極限狀態方程，運用Matlab優化工具箱計算重力式擋土墻抗傾覆、抗滑移可靠度指標和失效概率，并與中心點法、JC法、蒙特卡羅法的計算結果進行對比分析，如表2和表3所示。

從表2和表3的計算結果可以看出：

（1）中心點法對于可靠度指標值的計算結果較之其他方法來說，偏差較大，尤其是對于抗傾覆可靠度指標。這是因為中心點法在平均值處對功能函數進行線性化，對于非線性功能函數只取其一階矩，故將隨著驗算點到失效邊界之間的距離增大而增大，而中心點法所選取的驗算點并不一定是在失效邊界上，結果往往帶來相當大的誤差。

（2）如果以JC法的計算結果作為精確值，由表2、表3可知最優化方法的計算結果較好，能滿足工程要求的精度。其計算結果與蒙特卡羅法十分接近，但蒙特卡羅法所采取的抽樣計算需要很大的樣本數量來支撐其準確性，計算時間長，當樣本數增加、函數結構繁雜時，計算時間更長，甚至整個計算無法完成，并且蒙特卡羅法得不到驗算點的值。0243C083-CB5E-4409-B186-257C240FA51E

6 結語

本文對基于可靠度指標優化模型的擋土墻穩定性進行分析得出以下結論：

（1）在擋土墻穩定性分析過程中引入可靠度理論，充分考慮了相關土工計算參數的不確定性，相比傳統意義上的安全系數法更合理，相比其他的計算方法更快捷準確，在工程實際應用中可發揮更有效的作用。

（2）最優化可靠度計算方法并不需要對功能函數進行求導就可以直接求出可靠度指標，該方法對抗滑移計算的結果精度比中心點法高7%，抗傾覆計算的結果精度比中心點法高26%，并且相對JC法和蒙特卡羅法更易于編程，具有很強的通用性，適用于擋土墻穩定性問題的分析。

（3）采用Matlab軟件語言能夠充分運用矩陣運算和優化工具箱的強大功能來進行數值計算，因此在很大程度上提高了計算和編程的效率。

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作者簡介：

湯彬彬（1993—），碩士，工程師，主要從事道路工程研究工作;

陳 東（1992—），碩士，工程師，主要從事道路工程研究工作;

趙紫紅（1992—），碩士，工程師，主要從事道路工程研究工作;

方雪朋（1990—），碩士，工程師，主要從事道路工程研究工作。0243C083-CB5E-4409-B186-257C240FA51E