在模型建構中滲透多元策略

黃璜

【摘要】數學源于生活，任何數學工具及方法的學習與掌握，都是為了解決生活中的實際問題.新課程改革背景下，數學這門學科對學生的邏輯思維能力和空間想象力提出了更高的要求，數學建模也成為小學數學課堂上的重要教學內容.本文將以教學“小數的大小比較”一課為例，一一列舉部分教學片段，以強調設問在數學建模中的重要性.最后探討將可行有效的多元策略融入模型建構中，以期為數學建模教學的有效性提升提供理論借鑒.

【關鍵詞】數學建模;多元策略;問題情境

模型思想是解決生活實際問題和數學學科發展的重要思想.數學建模是通過數學知識運用數學思想方法解決生活實際問題的過程.數學學習的主要任務就是建立數學模型，而小學數學建模的課堂教學過程就是“情境引入、初步感知—引導發現、構建模型—運用模型、解決問題”循環往復的過程.

三年級下冊“小數的大小比較”這節課僅涉及一位小數的比較，是建立在初步認識小數的基礎之上的，并且學生已經學過整數的大小比較和小數的意義.學生已有的知識基礎是本堂課的知識鋪墊，更對本堂課學習起到一個正向遷移和反向驗證的作用.小數是十進制的特殊表現形式，其意義具有一定程度的抽象性，學生要深刻理解小數大小比較的方法和內涵有一定的困難.這節課需要以分數與小數的聯系、長度單位、人民幣單位等作為形象支撐，讓學生在理解小數意義的基礎上自主經歷比較的過程，并滲透轉化、數形結合思想，在多樣化的方法中交流、辨析，

最終提煉方法，驗證方法，擴展鞏固方法，提升能力.學生會發現小數比較大小的方法與整數比大小的方法是一致的，從而有效建構模型、穩固模型、應用模型.

本節課思想方法的推敲與提煉能有效引導學生構建模型思想.小數如何比大小，從知識層面看，學生是有起點的，大多數學生都會用“從高位比起，一位一位地比”這個方法去嘗試比較.據不完全統計，全班大約都有一半的學生掌握最基本的比較方法，但學生知其然不知其所以然.既然此課的知識難度低，教師就更需要深入解讀教材，在課前深挖掘，從而使課上有厚度.

一、問題情境是建構模型的紐帶

基于問題情境下的建模實踐是小學進行建模教學的主要途徑.對于小學生來說，情境化的問題更能激起其探究的興趣，對情境問題要素的有效選擇，也更能突顯建模中能力的培養.

【教學片段】

師：在上課前，我們先玩個游戲，老師手中有4張不同顏色的彩簽，你抽1張，我抽1張，誰抽的彩簽長誰就贏了，你想抽哪一張？請你說明理由.

學生抽簽，說理由.

師：請剛才選擇綠色的同學和選擇白色的同學上來抽簽，再比比哪張長？

師：怎么比？（重疊在一起）給同學看一下，哪張更長？

師：一樣長.可是為什么綠色剛才看起來更長，現在變成一樣長？

生：因為老師手里還抓著一部分呢.

小結：我把它們抓在手里的時候，你只看到彩簽的“尾巴”，而只看到彩簽的“尾巴”，你能確定它的長短嗎？（不確定）

師：其實老師剛才跟你們開了個玩笑，這4張彩簽都是一樣長的.

【設計意圖：游戲導入，激發學生的學習興趣.學生從游戲中發現比較物體的長度時不能只看一部分，為新課“小數的大小比較”做鋪墊.】

學生在課堂上如何建立模型思想要看老師的情境創設是否合理.課前，教師讓學生觀察記錄生活中的小數，且記錄在同一情境中的小數，旨在引導學生發現數學知識來源于生活，激發學生活動的積極性，然后結合現實背景和具體的量，抽象地討論小數，并結合分數、米尺、人民幣、長度單位來認識小數.學生建模的過程就是學生自主探究的過程，收集信息、整理信息、抽象概括、提煉方法、推敲與應用等，這些都要求學生以主體的身份與意識參與到數學探索與實踐活動中.

二、數學問題是建構模型的關鍵

建立模型是建模過程的核心內容.建立模型就是把情境中呈現或表述的內容用圖形、數學符號等表達出來，把實際問題或情境問題數學化，然后從中發現這些內容的內在關聯性，并抽象建構出數學模型.例如，本節課例題（表格）中三年級4個同學的跳高比賽成績，如何看出4人的名次排序？教師引導學生研究小數的大小比較，并通過這一問題引導學生思考如何解決生活中的數學問題.

師：請你拿出學習單，你能把這4個小數排排隊嗎？動筆寫一寫.

師：誰來說說怎么排序？

生：0.8<0.9<1.1<1.2.

師：這樣排序對嗎？

師：剛才你們憑著直覺對它們進行了排序，接下來我們來驗證你們的直覺是否正確.請同學們拿出學習單看第二題，選擇你喜歡的方式說明你排序的道理，看是不是和你想的一樣，用一種方法驗證后，可以再試試別的方法.

師：寫好的同學可以和同桌說說你排序的道理.

【設計意圖：在教學新課前，先了解學生的已有知識基礎，學生會小數的大小比較，但是知其然不知其所以然，這里通過說明排序的道理，引導學生動腦思考排序的理由.】

本節課教師準備的學具有軟尺、幾張正方形紙，同桌合作時，可選擇學具也可以不選擇，然后探究用什么辦法可以讓別人清楚地知道為什么你是這樣排序的，引導學生學會用數學語言表述心里的想法.建模是學生自我認知結構調整與完善的過程.學生要形成良好的建模能力，自我探究不可少.自我探究能促進學生內部思維的發展，使其從具體的問題抽象出模型.小組合作為學生相互學習交流提供了平臺，這樣可促進學生在建模的思路及策略上相互影響、相互促進.

三、多元策略是建構模型的手段

（一）畫圖策略，形象直觀

畫圖策略是多元策略中最基本的一種.畫圖能夠把一些抽象的數學問題具體化，把一些復雜的問題簡單化，而且圖形較為直觀，更合適小學生的學習過程，對學生的解題思路有很大的促進作用.所以對于小學生，培養他們畫圖的習慣和能力尤其重要.特別是數軸，它是非常重要的數學工具，它使數和直線上的點建立了對應關系，揭示了數與形之間的內在聯系.DF90715C-4917-477B-81EF-EC0E148B587D

小學生的思維以具體形象思維為主，正逐步向抽象思維過渡.而模型具有相當的抽象性，本節課學生通過卷尺找到4個學生跳高成績的對應點，直觀發現誰跳得高、誰名次靠前.這是以長度單位為例的小數比大小，如果是以元、角、分為單位，還能用卷尺比較嗎？那就可以改成不帶單位的數軸進行直觀比大小，離0點越遠這個數就越大.數軸能引導學生對問題進行分析、表達，進而抽象出模型，抓住事物特征進行語言表達，抓住事物本質進行符號表達，抓住事物關聯進行模型表達，讓學生的模型學習過程既有具象的支持，又有抽象概括的架構.4個小數比大小，如果不看單位，還可以利用分數與小數的關系進行比較，用幾張正方形紙的涂色部分來表示，直觀發現1.2和1.1都比1大，而0.9和0.8都比1小，也就是說，小數的大小比較：先比較整數部分，整數部分大的就大，整數部分相同時，再比小數部分，小數部分大的就大.

（二）轉化策略，化繁為簡

轉化策略也是數學學習中常用的策略方法.轉化策略涉及的領域非常廣泛，利用它能夠將新知化為舊知，將復雜的問題化為簡單的問題，將未知的知識變成已知的知識，從而使學生體會知識之間的內在聯系，有效幫助學生在解決問題時找到突破口.轉化就是把要解決的問題變換成另一個與此有關系的問題去解答，從而達到化未知為已知、化難為易、化繁為簡的目的.

轉化的手段和具體方法是靈活多樣的，不僅和實際問題的特點有關，也和學生已有的知識結構有關.掌握轉化策略能夠幫助學生解決數學問題，更有利于學生發展數學思維.例如本節課“小數的大小比較”，學生可以把小數的大小比較轉化成整數來比較.學生進行單位換算，1.2米=12分米，1.1米=11分米，0.9米=9分米，0.8米=8分米，而12分米>11分米>9分米>8分米，所以1.2米>1.1米>0.9米>0.8米，原來是比較四個小數的大小，現在轉化成整數的大小比較，就簡單多了.在小學數學教學的過程中，教師要不斷引導學生思考轉化策略，讓數學更貼近生活，變得更加熟悉、簡單.

（三）結構策略，推進建模

數學知識之間是有相互聯系且富有結構的，教師應努力讓學生把所學知識形成一個有機的整體，即有組織的結構.學生數學模型的建構實質上也是學生知識結構化不斷推進的過程，數學模型本身就是一種結構化的知識.

在自主探究過程中，學生還通過卷尺、畫數軸、單位換算、化分數等方法來直觀理解小數如何比大小，為后面的模型建構提供了幫助.在自主探究中，學生學習身份的主體性、學習的探究性、思維的獨立性都在不斷體現，他們也不斷抽象出數學模型：小數比大小與整數比大小是一致的，都是從最高位比起，先比整數部分，整數部分相同再比小數部分.

（四）關聯策略，激活模型

通過關聯策略創設情境，能激活學生原來的思想模型，并在問題的沖突中發現原有的模型無法解決新的問題，自然就會產生思想沖突，產生要解決問題的欲望，這樣情境就達到引發學生研究問題的目的.如在“小數的大小比較”的例1中探究4個學生跳高成績的名次，剛開始時有個別學生懂得通過先觀察整數部分，再觀察小數部分，如果換成其他單位的小數，人民幣單位、重量單位等的小數大小比較，還可以這樣觀察比較嗎？本節課前教師讓每人收集同一情境下的四位小數，每人舉一個例子，這就有了多元的問題情境，可以讓學生進行關聯分析.

（五）例舉策略，突出模型

模型建立之后，學生要對模型進行求解、檢驗及運用，且要不斷改進模型.如果研究的問題現象單一且數量少，學生是無法發現其中規律的，只有足夠數量的現象才能引起學生合理的猜測，例舉法就是通過例舉多種相同或相似的例子，讓學生從中找到共同的特點，進而發現數學模型.例如這節課教師通過大量數據進行研究，紅色小數卡片是整數部分都不一樣的小數，黃色小數卡片是整數部分一樣的小數，藍色小數卡片是整數和小數部分都不同的小數.通過這樣的相同和不同，讓學生發現小數比較大小的方法，突出數學模型的作用.

【教學片段】

1.紅色小數卡片：（整數部分不一樣）

4.7? 2.7? 8.7? 10.7

師：同桌2人為一組，拿出4張紅色小數卡片，并按從小到大的順序排列.

師：請你跟大家說說排序的道理.

生：比較整數部分.

2.黃色小數卡片：（整數部分一樣的）

12.4? 12.6? 12.9? 12.1

師：我們再取另一組4張黃色卡片，同樣按從小到大的順序排序，你會怎樣排序？再說說理由.

生：比較小數部分.

師：為什么剛才比較整數部分，現在比較小數部分呢？

生：因為整數部分一樣時，就要比較小數部分.

師：第一組小數部分一樣，就比整數部分，第二組整數部分一樣，就比小數部分，是這樣嗎？那如果整數部分和小數部分各不相同，怎么辦？

3.藍色小數卡片：（整數和小數部分都不同）

34.5? 34.8? 55.5? 55.8

師：拿出4張藍色卡片，同樣按從小到大的順序進行排列.排序后，同桌相互說說排序的理由.

生：我是先比較整數部分，再比較小數部分.

4.結論：小數比較大小，先比較整數部分，整數部分大的就大，當整數部分相同時，再比較小數部分.

【設計意圖：在大量數據的選擇下，采用：①整數部分都不相同，②整數部分相同，小數部分不相同，③整數和小數部分都不相同三步，由淺入深地探究，通過大量數據引出比較小數大小的結論.】

（六）游戲策略，鞏固模型

【教學片段】

老師這里有一些卡片，每張卡片背后都有數字.如果不翻開卡片，你能比較大小嗎？同桌輕聲討論.

第一題：5.□ （? ）6.4.

師：為什么不翻卡片，能比較大小？

第二題：□.3 （? ）□.4.

師：為什么這道題不能確定呢？

師：整數部分不知道，就無法確定了，說明整數部分很重要，那小數部分一點用處都沒有嗎？小數部分什么時候有用？

本課通過翻牌游戲強化了學生主動參與學習的熱情和自覺性，使其主動學習、樂于學習、善于學習.而這些良好的情感與自覺不是外在壓力能促成的，只能通過學生的內在感受與體驗才能產生.而產生感受與體驗的前提就是學生以主體身份參與學習，在學習中有發現思路的興奮，有冥思苦想的頓悟，經過“產生問題—思考問題—解決問題”的過程，學生這種良好的情感才能產生和積累.

三年級下冊“小數的大小比較”這節課中，學生通過經歷活動，動手動腦探究了數學模型的建構，理解了小數如何比大小，將小數比大小的方法和意義深刻大腦，并做到心中有數學，腦子思數學，手中玩數學.整節課的重點是建模的過程，教師通過多元策略開展建模活動，是為了讓學生更好地培養思維意識，提升思維能力，引導學生在數學學習的過程中主動思考，靈活運用知識，循序漸進地培養學生建模的意識和能力，真正讓數學學習活起來.

【參考文獻】

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