三次構圖 明晰概念

徐夢瑤 郭俏婷

【摘? ?要】通過概念構圖教學，可以實現思維可視化、知識結構化、理解深刻化。以《周長與面積的關系》拓展課教學為例，教師可通過三次構圖促使學生對“周長”與“面積”概念進行有效區分，以實現教學從“傳授知識點”向“培養理解力”的轉變，實現理解從“多點結構水平”向“拓展抽象水平”的發展。

【關鍵詞】概念構圖;理解;周長;面積

在小學數學概念教學中，“周長”和“面積”是與平面圖形有關的兩個概念。這兩個概念分別安排在人教版教材三年級上、下兩冊中。上冊教材在呈現“周長”概念后，安排了矩形（長方形、正方形）周長計算的相關內容。下冊教材在呈現“面積”概念后，安排了矩形面積計算的相關內容。圖形的周長和面積是兩種不同的度量問題，周長是關于圖形邊長的度量（矩形中，是邊長之和），面積是關于圖形大小的度量。這兩種度量的計算都關系到圖形的邊（矩形中的邊長），學生若不能深刻理解這兩個概念的內涵，就非常容易將它們混淆。

為解決概念混淆的問題，我們借助概念構圖設計了一節探究拓展課，通過三次構圖促使學生對周長與面積進行有效區分，即初學構圖，探究周長與面積的關系;二次構圖，梳理周長與面積的關系;修正構圖，完善周長與面積的關系。在這個過程中，學生將知識點串成線，連成網，進一步提高了抽象水平，實現從“點狀”到“網狀”的結構化建構。

一、初學構圖，探究周長與面積的關系

我們知道，理解是建立在學生已有的知識經驗基礎上的，教師只有充分把握學生的認知起點，才能精準、有效地開展課堂教學。于是，我們讓學生在學習周長與面積的基礎上，進行自主構圖。從學生的課前構圖（如圖1）中可以看出，學生的理解表現出這樣兩個特點：（1）頭腦中有很多知識點（如周長與面積的概念、單位、相關的計算公式等），但這些知識點是分散零碎的。（2）“周長”與“面積”是兩個獨立的教學內容，它們的學習有半年的間隔時間，因此有的學生在“關系”這里打了問號，提出“周長與面積之間是否存在一定的關系”“當周長一定或面積一定時，周長與面積存在怎樣的關系”等問題。

由于尋找“周長”與“面積”間的關系需要用到較多的知識點，學生在關系理解中往往會表現出混亂、模糊的狀態。讓學生課前把自己的認識用概念構圖呈現出來，不僅有利于喚醒學生已有的知識經驗，而且能暴露學生存在的疑惑和學習需求，為深入學習奠定基礎。

二、二次構圖，梳理周長與面積的關系

從學生的課前構圖可知，學生對“周長”與“面積”這兩個獨立概念已經有深刻的認識。因此教師可以從問題引入，激發學生思考。教師鼓勵學生先利用表格和圖式深入分析、探尋本質屬性，再利用變式拓展，讓學生在變與不變中體會兩者的關聯，最后利用概念構圖把自己的發現串聯成線，初步歸納周長與面積的關系，生發新的理解。

【核心活動一】

師：從大家的課前構圖中看出，同學們對“周長與面積有什么關系”非常感興趣，接下來我們一起來研究。先思考這樣一個問題：用16厘米長的鐵絲圍長方形，長方形的面積情況是怎樣的？

（學生獨立思考后，教師呈現學生不同的作品，如圖2）

師：觀察思考這三個作品，你贊同誰的？說說你的理由。

生：作品①肯定是錯的。題目的意思是周長是16厘米，他理解成了面積是16平方厘米。

生：作品②也錯了。因為長方形的周長=（長+寬）×2，所以長+寬=16÷2=8（厘米），而這里長加寬的和變成了16厘米，所以肯定錯了。

生：我認為作品③是對的。我還發現這些長方形的周長都是16厘米，長和寬的長度越接近，面積就越大，圍成正方形時面積最大。

師：為什么當周長一定時，長和寬越接近，面積就越大？誰有辦法說清楚嗎？

生：我用的是數格子的方法。我發現當邊長是4格長的時候，面積的格子數是最多的（如圖3）。

生：長方形的長少了1格，寬多了1格，周長不變。格子數從1行變成2行，數量變多了（如圖4）。

生：長方形的寬多了1格，就增加了1行;長少了1格，就減少了1列，格子總數就是加6減1。周長沒有變，面積增加5格。（學生手指圖4進行講解）

通過錯例分析，尋找理解上的“模糊點”，是推動學生深化理解的有效途徑。教師以“數形結合”為理解手段，借助格子圖上的演示和比較，幫助學生明晰規律及其背后的原理。在這樣的過程中，學生自然而然地感悟到兩個概念的本質區別，同時建立起“長方形的周長相等時，長度和寬度越接近，面積越大”的規律。

【核心活動二】

師：如果用12厘米長的鐵絲一面靠墻圍長方形，怎么圍面積最大？

生：當邊長是4厘米時正方形面積最大，最大面積是16平方厘米。

生：當長是6厘米、寬是3厘米的時候，面積有18平方厘米，更大。

師：不是說當周長一定時，正方形的面積最大嗎？這里為什么不對了？

生：這里是靠墻圍長方形，12厘米是鐵絲的長度，不是周長。

師：那是不是我們前面發現的規律不對呢？為什么面積為18平方厘米一定是最大值？誰有辦法說清楚？

生：如果我們在墻的另一邊也畫一個同樣的長方形，就變成了正方形。這個時候周長是24厘米，邊長是6厘米。這時靠墻圍成的長方形的長是寬的2倍，這時的面積最大。（學生手指圖5進行講解）

師：通過剛才的活動，你有什么發現？

生：一面靠墻圍長方形，當長是寬的2倍時，面積最大。

生：解決一邊靠墻圍長方形問題的辦法是將周長×2，也就是使長方形的2倍成為正方形的時候，面積最大。

生：周長相等，面積不一定相等，圍成正方形時面積最大。

學生習慣用遷移的方法把對一個問題的理解轉化到另一個問題的解決上，這樣的思考有時有助于學生理解，有時也會導致學生出現錯誤認知。教學中，教師要有效利用學生的主張進行思辨、探究，以推動學生形成更高級的認知。由此可見，受“核心活動一”的遷移，學生很容易認為當圍成正方形時面積最大。而事實并不是這樣，學生發生了認知沖突，很自然地會去追尋原因，從不同的角度進行延伸性思考。根據周長的本質意義，并借助圖式進行理解，同樣能運用之前發現的規律來解釋“一面靠墻圍長方形，當長是寬的2倍時，面積最大”。學生在主動思考與交流的過程中會加深理解，提升數學思維能力。9BA11DD7-ECD9-40AD-8B7E-DA23BDE4241B

【核心活動三】

師：有同學在課前構圖中提出“當周長一定或面積一定時，周長與面積存在怎樣的關系”，現在你能將概念構圖補充得更完整嗎？

（學生獨立思考后呈現各自的想法）

師（出示圖6～圖8）：這是幾位同學的概念圖，你看懂了嗎？

生：我看懂了圖6。周長一定時，長與寬越接近面積越大，正方形的面積最大;當一面靠墻時，可以把墻看成對稱軸，變成正方形，當圖形的長是寬的2倍時，面積最大。

生：圖7指出了周長是邊線長度的總和，面積是邊線圍成區域的大小。它們的關系和圖6表示的是一樣的。

生：圖8比圖7更完善，它指出了“正方形的面積最大”是屬于“長與寬越接近，面積越大”的一種特殊情況。

學生的深度理解需要思維的積極參與，讓思維可見對于促進學生深度理解有著重要的作用。教師利用直觀的概念圖，把不可見的思維過程和結構直觀地呈現出來，能讓學生精準地把握重點，理解知識點之間的關聯。

三、修正構圖，完善周長與面積的關系

通過以上構圖過程，學生可以在一個輕松自由的對話環境中相互補充、完善理解。這個過程能夠促使學生進行主動思辨，在與同伴的對話中不斷地修正、拓展和超越原始理解。

師：根據剛才幾位同學表示出的周長與面積的關系，你們有新的想法或補充嗎？可以四人小組相互討論完成。

（小組討論重新構圖，如圖9、圖10）

師：誰能來介紹一下你們組的想法？

生：圖9是我們組修正后的概念圖。它表示的規律和圖8是一樣的，我們還表示出了“一面靠墻時把墻看成對稱軸變成軸對稱圖形”這一規律。

生：圖10是我們組修正后的概念圖。我們認為要厘清周長與面積的關系，首先要明確這兩個概念的本質區別。因此我們把兩者的意義放在前面，由此形成了一定的關系。

師（小結）：現在你對周長與面積的關系有了什么新的理解？請修正你的構圖。

（學生修正構圖，完成后在教室里展出）

學生通過不斷補充、修正概念圖來建立知識間的關聯。隨著構圖、展圖、論圖、正圖活動的層層推進，學生對周長與面積的關系有了結構化、整體性的認知，學生的理解得到了深化，思維能力得到了發展。

總之，利用概念構圖可以幫助學生厘清概念之間的關系，實現橫向關聯和縱向融通。在這個過程中，學生會自主思考、相互傾聽、充分討論、積極反思，并形成關系結構，實現理解進階和知識遷移。

參考文獻：

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