洞察內在聯系 發展空間觀念

章輝

【摘? ?要】研究幾何體與其展開圖、三視圖之間的相互轉化，有利于學生更全面地認識圖形的特征，更好地發展空間觀念?！墩襟w展開圖》一課依托“四種方式、六個環節”設計框架，遵循“直觀想象、邏輯推理有機結合”設計理念，重視“大膽猜想、操作驗證”教學環節，建立“幾何探究課”的基本模式，發展學生的空間觀念。

【關鍵詞】展開圖;想象;推理;空間觀念

“空間觀念”是《義務教育數學課程標準（2022年版）》中提到的核心素養的主要表現?？臻g觀念在小學階段主要是指“利用物體抽象出圖形、認識位置關系、探索變化規律”。[1]空間觀念的培養在目前的小學數學教學中還存在教師認識不深刻和引導不足等問題[2]，亟待從實踐層面提供新的教學思路。筆者以人教版教材五年級下冊《正方體展開圖》一課的教學實踐為例，分享培養學生空間觀念的想法和做法。

一、課前思考

培養和發展學生的空間觀念，需要幫助學生實現幾何體與其展開圖、三視圖之間的相互轉化。在研究正方體展開圖的過程中，不僅只是得出結論，還應以想象為基本活動，積累想象和推理的思維經驗，發展空間觀念。

現行人教版教材五年級下冊“長方體和正方體”單元沒有編排“正方體展開圖”的專題內容，而是編排了“做一做”的練習題（如圖1），引導學生辨

認正方體展開圖，理解正方體展開圖不是唯一的。這樣的編排方式，內容較為單薄，力度略顯不足。

為讓學生深刻地認識正方體展開圖，筆者進行了針對性的教學嘗試，將教材中的習題拓展為一個專題內容，以“一題一課”的形式，讓學生在觀察、操作、想象、推理的過程中經歷從二維空間到三維空間的轉換，洞察知識間的內在聯系，從而發展空間觀念。

二、課堂教學實踐

【教學目標】

（1）認識正方體展開圖，了解正方體展開圖有不同的類型，初步學會判斷一幅平面圖是否為正方體展開圖。

（2）經歷觀察、想象、操作、推理等學習活動，增強探究意識，發展空間觀念，提升提出問題、解決問題的能力。

（3）在合作學習、探究性學習的過程中，感受數學學習的美妙與樂趣。

【教學過程】

1.揭示新課，初步感知

（1）初識展開圖。

師（出示一個正方體）：同學們，今天我們一起來研究正方體展開圖。如果把正方體的6個面展開來，會得到怎樣的一個圖形呢？（播放動畫）這個平面圖形就是正方體展開圖（如圖1）。

（2）辨析展開圖。

①指定其中一個正方形為“后面”，請學生觀察、想象另外幾個正方形是原來正方體的哪個面（如圖2）。

②學生觀察、想象之后，進行指認。

師：剛才我們把一個正方體展開，變成這幅正方體展開圖。現在你能倒過來想象，這6個正方形分別是正方體的哪6個面嗎？（學生上臺指認其他5個面）

③課件演示折疊，驗證學生觀察、想象的結論。

師：通過想象，我們知道這個面是上面，這個面是下面、左面、右面、前面。

（課件動態呈現：二維正方體展開圖→三維正方體，如圖3）

2.深入探究，逐步建構

（1）研究“一四一”型展開圖。

①再次感知。

教師呈現兩幅圖（如圖4），請學生判斷是否為正方體展開圖。

師：這兩幅圖是不是正方體展開圖？請你仔細觀察、想象。

（學生思考）

師：如果它們是正方體展開圖，那這6個正方形分別是正方體的哪個面？

（學生表達各自想法）

師：這兩幅都是正方體展開圖，請仔細觀察，你有什么發現？

小結：有一些正方體展開圖雖然樣子不一樣，但是通過旋轉、翻轉，我們會發現它們其實是同一幅圖。

②觀察歸納。

根據已確認的正方體展開圖，歸納得出“一四一”型展開圖的特征。

師：請仔細觀察這兩幅正方體展開圖，除了都是由6個正方形組成，你還看出它們有什么共同之處？

小結：像這樣中間有4個正方形，上下各1個正方形組成的正方體展開圖，我們把它們叫作“一四一”型展開圖。（板書：“一四一”型）

③拓展提升。

師：我們從一個正方體展開，認識了兩種正方體展開圖，知道了它們的名字叫“一四一”型展開圖。學到這里，對于正方體展開圖你有沒有什么想問的？

生：“一四一”型展開圖除了這兩種，還有其他的嗎？（板書：其他？）

生：正方體展開圖除了“一四一”型，還有別的類型嗎？（板書：類型？）

生：為什么“一四一”型展開圖都能圍成正方體？（板書：為什么？）

師：同學們真會思考，提出了很多有思考深度的問題。

④深入研究。

◆學生探究，在練習紙（如圖5）上畫出其他的“一四一”型正方體展開圖。

◆展示交流，逐步完善“一四一”型的6種展開圖。

師：老師收集了一些作品，請看大屏幕。

a.出示不同的兩幅圖（如圖6）。

師：請大家仔細地想一想：這兩幅圖是不是正方體展開圖？

b.在不同展開圖中找相同。

師：我們給前面的正方體展開圖標上序號。這些展開圖有什么共同點？同桌討論交流。

學生交流后反饋。圍繞“它們都由4個連著的正方形圍成一圈，還有2個正方形上下各1個”這個結論進行深度交流。

c.想象、推理其他的“一四一”型展開圖。

師：像這樣固定中間4個和上面1個，移動底下這個小正方形（如圖7）的“一四一”型展開圖，你還能想到哪些？

◆借助推理，洞察“一四一”型展開圖的本質。FE42E2FE-9E46-4D91-A198-BE7641C5A304

師：請你仔細觀察這6幅正方體展開圖（如圖8），它們有什么相同和不同之處？

不同點：上、下正方形位置都不同。

相同點：中間都由4個正方形圍成，上下各1個正方形，都能圍成正方體。

學生操作。同桌兩人合作，拿出信封里的學具（兩個單個的小正方形和4個連在一起的長方形）擺一擺、議一議。

課堂小結：我們不僅找到了6種“一四一”型展開圖，而且明白了為什么“一四一”型展開圖都能圍成正方體，原來中間4個圍成一圈，上面這個不管和哪個面相連，翻下來剛好蓋上，下面這個也是一樣。（板書：6種）

（2）研究其他類型的正方體展開圖。

①引發思考。

師：現在我們來解決第二個問題：除了“一四一”型，正方體展開圖還有其他類型嗎？

（學生猜測）

師：如果有，你覺得會叫什么名字？

生：“三三”型、“二二二”型、“二四”型……

②主動探索。

學生獨立思考，借助前面研究“一四一”型的方法，移動某1個或某2個小正方形，得到其他類型的展開圖，觀察、想象、討論能否圍成正方體。

③深入研究“一三二”型展開圖。

a.借助“一四一”型中T字形這個模型進行推理，引出“一三二”型展開圖。

師：剛才我們移動的是上下2個正方形，得到新的正方體展開圖，那現在移動中間4個最右邊一個小正方形，想象可以移到哪里去（如圖9）。

b.學生思考，這幅圖（如圖10）能不能圍成正方體？

先讓學生觀察、想象、說理，然后課件動態演示，驗證它能否圍成正方體。

c.引導推理，得出其他三種“一三二”型展開圖（如圖11）。

d.錯例思辨，引出“田字格”型展開圖。

師：剛才我們通過移動底下的小正方形，可以得到其他三種“一三二”型展開圖，那如果現在移動上面的小正方形（如圖12），還能得到新的展開圖嗎？

（學生想象、交流）

師：為什么形成田字格就不可以圍成正方體？

引導學生體會正方體的一個頂點最多連接3個面，而田字格的一個頂點連接了4個面，所以它不能圍成正方體。

課堂小結：我們找到“一三二”型也是正方體展開圖，而且有3種。

④借助推理，進行“二二二”型和“三三”型展開圖的研究。

a.借助“一三二”型進行推理，引出“三三”型和“二二二”型展開圖。

師：剛才我們移動的是上下2個正方形，得到新的正方體展開圖，那現在繼續移動其他位置的小正方形（如圖13），想象可以移到哪里去？

b.學生思考，這兩幅圖（如圖14）能不能圍成正方體？

先讓學生觀察、想象、說理，然后課件動態演示，驗證它能否圍成正方體。

c.引導推理，得出 “三三”型和“二二二”型展開圖各只有1種。

（3）洞察內在聯系，凸顯變與不變。

師：仔細觀察“一四一”型、“二三一”型、“三三”型和“二二二”型展開圖，這些圖形形狀不同，為什么都能圍成正方體？

引導學生說出都能先找到圍成一周的側面，然后加上一個上面和下面。

①“一四一”型展開圖的側面可以直觀看到。

②“二三一”型展開圖的側面在“一四一”型展開圖的基礎上移動1個小正方形，以“操作+想象”來完成。

③“三三”型和“二二二”型展開圖的側面在“二三一”型展開圖的基礎上，通過移動1個小正方形，以“想象+推理”來完成（如圖15）。

3.課堂總結，再度激疑

師：回顧一下這節課的學習，我們發現正方體展開圖一共有11種。你能猜猜，正方體展開圖除了這11種還有別的類型嗎？正方體有展開圖，別的圖形也有嗎？你們可以嘗試去畫一畫，想一想，用我們今天學到的本領繼續進行研究。

三、課后思考

基于上述教學實踐，筆者認為本節課的核心目標應該側重讓學生通過數學推理，探索平面圖形和立體圖形之間轉化的規律，具體方法有以下幾種。

（一）依托“四種方式、六個環節”設計框架，發展學生的空間觀念

首先將發展空間觀念作為本課的核心目標。數學教學理論指出，要發展空間觀念，有效的方式是充分開展觀察、操作、想象、推理等學習活動。觀察是直觀感知，操作是實際體驗，想象是深度把握，推理是洞察本質。所以，在教學中，有層次、有目的地引導學生采用以上四種方式開展學習，如觀察活動貫穿始終，需操作時及時動手，該想象時留出想象空間，推理驗證凸顯思維。

本節課通過以下六個核心環節“想、擺、畫、展、評、疑”，讓學生經歷正方體展開圖的形成、發展的過程，空間觀念得到有效發展。

（二）遵循“直觀想象、邏輯推理有機結合”設計理念，完善學生認知

“正方體展開圖共有11種，可分為四個大類”“記住正方體展開圖的口訣和竅門”等類似純結論的灌輸，并不是本課學習最重要的任務。為此，讓學生經歷觀察、操作、想象、推理等學習活動，把抽象數學思維轉化為直觀形象思維，將原本枯燥、抽象的內容變得生動、簡單，啟發學生拓寬思路，多樣化獲取知識，建立完善的認知結構。本節課的核心環節可以分為三個層次。

層次一：通過畫一畫正方體展開圖，發現多個類似的結果。

層次二：對多個類似結果進行驗證說理，洞察內在聯系，凸顯知識的本質。

層次三：對歸納得出的規律進行猜想、推理，從而發現新的相類似的結果。

（三）重視“大膽猜想、操作驗證”教學環節，引導學生主動提問和探究

開展數學拓展課教學，不僅要重視引導學生大膽猜測、發現問題、提出問題，還要讓學生經歷問題分析、比較、評價等高階思維活動;學生基于自己提出的問題，充滿熱情地去思考和探究，數學課堂更能顯現生機與活力，更符合“以生為本”的理念，從學生的視角出發開展課堂教學。為此，本課有意在學習進程的幾處關鍵點上，引導學生自己提出問題，以問題點燃學生思維的火花，激發學生主動、深入地開展探究。

例如：在學生探究了2種“一四一”型正方體展開圖后，引導學生對“正方體展開圖還有什么想問的”進行交流，從而引出本節課的核心問題，引領整節課的推進。

問題1：“一四一”型正方體展開圖還有其他的嗎？

問題2：正方體展開圖除了“一四一”型，還有其他類型嗎？

問題3：為什么“一四一”型展開圖都能圍成正方體？

教師應設計有效的教學環節，使每一位學生在輕松愉快的學習環境中掌握新知，發展空間觀念。同時教師也應清楚地認識到，學生空間觀念的培養并不是靠一節課就能有翻天覆地的變化的。一節課猶如“一滴水”，堅持幾年，就能“水滴石穿”，讓我們向著這一方向不斷前行……

參考文獻：

[1]史寧中.通過度量，巧用技術，發展空間觀念：評析“讓畫出的圖形轉起來”一課[J].小學數學教師，2019（9）：42-43.

[2]趙娜.數學教學中小學生空間觀念培養的策略[J].讀寫算，2021（28）：43-44.

（浙江省杭州市濱江實驗小學? ?310053）FE42E2FE-9E46-4D91-A198-BE7641C5A304