提高高職學生數學建模能力的方法研究

劉雪梅

[摘? ? ? ? ? ?要]? 職業教育是全國教育系統非常重要的一環，因此提高高職學生面向未來的能力已迫在眉睫。從數學建模的意義與高職學生數學建模能力的現狀兩方面出發，分別從多層次進行高職數學教學、全過程引入數學建模優秀案例、全方位開展數學建?；顒尤矫鎭硌芯咳绾翁岣吒呗殞W生的數學建模能力。

[關? ? 鍵? ?詞]? 數學建模;高職教學;數模案例;實踐創新

[中圖分類號]? G645? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文章編號]? 2096-0603（2022）19-0088-03

一、提高數學建模能力的意義

（一）增強應用數學知識的能力

在數學建模過程中，要能把實際問題用數學語言表示為明確的數學問題，建立數學模型，運用所學的數學知識求解，還要用通俗的語言表達，從而轉化到實際中應用。數學建模的問題都是與生活息息相關的問題，學生解決問題后會提高學習高等數學的主動性和積極性。數學應用和翻譯能力對學生以后在工作崗位上的發展非常有幫助。

（二）增強自學、自辨能力

在信息快速更迭的現代社會，要提高學生對新知識、新技術的學習能力，更需要學生具有查找、篩選信息的能力，才能在面對復雜的信息時有自己獨立的見解，提高學生未來工作的發展潛力。數學建模的問題具有多樣性、復雜性、綜合性的特點，要求學生在掌握數學知識的基礎上繼續拓寬知識面，通過查找文獻，篩選到有用信息，在短時間內快速學習并應用。所以，數學建模是提高高職學生自學、自辨能力的重要途徑。

（三）增強數學軟件的應用能力

近年來，大數據分析、云計算、人工智能等技術發展迅猛，數學軟件使實際問題計算提高精確度，解決問題更高效。應用數學軟件能完成人工無法完成的任務，得到直觀的圖表，更有利于深入探究。這些益處促使數學軟件應用廣泛。而數學建模給了學生應用數學軟件的機會。學生在數學建模中會熟練使用Matlab、Lingo、Spss等軟件中的各項功能和命令，從而提高學生數學軟件的應用能力。

（四）培養團隊合作精神和堅強的意志力

數學建模需要三位隊員來參與，進行模型建立、模型求解和靈敏性分析等，三人全力以赴，分工合作，優勢互補，把建模、編程、論文三部分以一篇論文完成。在這個過程中可培養學生的交流溝通能力，學會互相尊重與鼓勵，培養學生迎戰困難的信心與耐心和堅持不懈的意志。這些品質在學生未來的工作中會大有裨益。

（五）提高創新能力

針對國家要求培養學生的創新能力，雖然高職學生對理論知識理解深度不夠，但本著對高職學生“夠用”為度，增加應用的要求，學生在技術應用性上有所創新未嘗不可，而數學建模是培養學生創新能力的有效途徑之一。數學建模的特征是解決方法不唯一，可以查閱網絡和參考書籍，可使用數學軟件編程解決，這就為學生的創造性提供了發揮空間。在尋求更獨特的創意、更好的解決方案的過程中，會大大激發學生的創新意識，培養學生的創新能力。

二、高職學生數學建模能力的現狀

（一）學生數學基礎差，對數學建模興趣淡漠

首先，隨著近幾年高職學生擴招，高職學生來源有高考、技校、中專、退伍軍人等渠道[1]，一般都是數學基礎差，數學建模能力更弱。表現為：數學理論知識基礎不扎實，計算能力較弱。學習新知識對教師的依賴過大，更沒有主動學習新知識的自覺性和積極性。并且有部分學生認為數學學習與專業課關系不大，數學無用;還存在少部分學生一直對數學學習有恐懼和排斥心理。這種種情況導致學生對數學建模的興趣不高。

（二）數學課程課時少、難度大，數學建模知識掌握不夠

目前，高職學生教學以夠用為度，應用型強為目標，高職高等數學課程的課時量壓縮，會導致教學內容精簡;考慮到學情，教學內容缺乏系統性與連續性，注重單個知識點的學習和計算;數學建模方面的知識只能拋磚引玉，無法深入地將內容講解透徹、拓展應用，數學軟件應用能力不足，不利于學生數學建模能力的培養。并且對類似全國大學生數學建模競賽賽題這樣復雜的實際問題，現有的數學知識對高職學生進行數學建模是遠遠不夠的。

（三）教師教學方法欠佳，影響學生數學建模能力培養

針對高等數學課程理論性強的特點，教師多強調理論上嚴謹的數學邏輯思維，注重運算技巧的訓練，一個知識點對高職學生的要求一般是直接套用數學公式做簡單計算，課堂信息量少，學生不能發揮主觀能動性。教師在教學過程中不能結合信息社會的需求，給學生講解涉及數學軟件應用的問題，使學生認為數學就是計算題，對學習數學的積極性降低;學生遇到稍微多變的實際問題會無從下手，從而影響學生數學建模能力的培養。

三、提高高職學生數學建模能力的途徑

（一）加強高等數學基礎知識的應用能力

1.教師應遵照學校培養應用型人才的定位，以學以致用的原則進行理論教學，減少理論推導內容的講解，淡化證明步驟，強調幾何直觀理解，注重應用性舉例，讓學生將知識能夠應用到實際問題中[2]。例如：由曲邊梯形的面積引入定積分的概念，最后給出如何計算面包的體積與重量的問題讓學生深入思考，既是生活中的常見問題，引發學生學習數學的興趣，又能鞏固積分知識，并且可以拓展到其他物體的體積與質量的求解問題等，加強數學概念的理解與應用意識，增強學生數學建模的意識。C679D08B-9B19-43B1-A5E2-1749701DE2C6

2.教師應在課堂教授數學軟件，提高學生的數學應用能力[3]。鑒于課時量少，教師可根據課程內容在一章結束時，給學生展示學習內容如何在數學軟件中實現。例如：演示Matlab中的畫圖命令plot，將函數用數學軟件畫出直觀、形象的圖表;演示Matlab中定義符號變量的命令“syms x y z”和計算積分精確值命令“int（ ）”和近似值命令“quad（ ）”等，提高學生學習積分學的興趣，體會到數學軟件的快速、高效和準確。增強學生學習數學軟件的主動性與積極性，提高學生數學軟件的應用能力，進而提升應用數學知識的能力。

（二）引入數學建模案例，增強數學建模知識與

能力

1.課前引入，激發學習興趣

在課堂引入典型的數學建模例子可激發學生學習當堂數學知識和數學建模的興趣，潛移默化中了解數學建模過程[4]。例如：在講《概率論與數理統計》中“事件的獨立性”一節時，教師提出一個問題：“設有100人參加核酸檢測，假設陽性率為0.0001，有兩種方案：方案一：逐一檢測。方案二：十人混檢，哪種方案好，為什么？”結合時代現實問題，學生興趣濃厚，在此基礎上講解本節課的內容。

學完后回歸課前導入問題，方案一逐一檢測需要100次。對于方案二，算出每組檢測次數X的分布律為? ? 1? ? ? ? ? ? 110.999910? ? 1-0.999910 ，每組平均檢測次數E（X）=1×

0.999910+11×（1-0.999910）≈1，共平均檢測次數約10次，工作量減少約90%，所以方案二好。

拓展延伸：若陽性率p=3，這時選方案一還是方案二好？引發學生討論與思考。應用上述方法得出此時十人混檢的平均檢測次數為107，比方案一的100次多，反而增加了工作量，此時方案一更適合。

思考題：近期全國疫情時有發生，應用所學知識，請學生思考并提供給相關部門合理的核酸檢測方案，可圍繞不同人群的陽性發生率不同、怎樣最優檢測等提出不同的方案。

思考題引發學生為國分憂的愛國意識，激發其精益求精的科學精神，了解分類討論的數學思想，進而對數學建模解決實際問題增添更多的興趣。

2.課堂講解，傳授數學模型知識

學習了“微分方程”后，結合疫情背景，講解傳染病模型，學生會深入了解疫情防控政策，從微分方程的角度分析傳染病的傳播規律，探究制止疫情發生或蔓延的手段，激發學生的成就感。

首先，假設某地區發生傳染病，設t時刻的患者數是x（t），每天每個患者有效接觸的人數為λ（λ為常數），設0時刻的患者數為x0，寫出患者數隨時間的變化規律。

考慮從t到t+Δt時間內患者數的變化，可知x（t+Δt）-x（t）=λx（t）Δt

兩邊除以Δt，由導數與微分定義得：

=λx，x（0）=x0。

由可分離變量的微分方程的求解方法得出特解

x（t）=x0eλt。當t→∞，患者數將越來越多，不符合實際，因此需改進。

模型改進：在患者有效接觸的人中，沒有區分健康者與患者，改進中應區別。

設某地區總人數N不變，s（t）是t時刻的健康者比例，i（t）是患者比例，s（t）+i（t）=1，設0時刻的患者數為i0。類似考查從t到t+Δt時間內患者數的變化知：N=λNsi，化簡得：=λi（1-i），i（t）=i0。

啟發學生通過變量代換，把未知通過學過的一階線性非齊次微分方程的通解公式最后求解得出i（t）=

。分析知當患者比例為0.5時，患者的增長速度最快，標志著傳染病高潮的到來。而新冠疫情傳播速度快，國家動態清零的政策就是阻止其到來。此模型是在人口預測、可持續發展等問題中應用廣泛的Logistic模型。

而此時當t→∞，患者數將無限多，也與實際不符?？蓪δＰ瓦M一步優化，啟迪學生思考人群中沒有考慮治愈者，以及治愈者是否具有免疫性兩種情況，作為思考題分小組課后完成。

由此例知，學會分析變化率關系建立微分方程數學模型是首要的。其次學會運用所學知識求解實際問題。最后發現與實際不符，要學會改變假設，優化模型。

3.課后拓展，數學建模應用實際

在學習多元函數微分學內容后，可將“空調銷售量的預測”問題[5]作為小組實踐題進行考查。

內容為：某家店商場經營兩種品牌的空調，當A品牌空調每臺定價為x（千元），B品牌空調每臺定價為y（千元），空調的銷售量為Q（x，y）=120-22x2+16y（臺）。

假設現在是二月份，在未來幾個月內，隨著氣溫逐漸升高，兩種空調的銷售價格都呈上升趨勢，預測從現在起的第t個月，A品牌空調的銷售價格為x=1.8+0.05t（千元/臺）（t=0，1，2，…，6）;B品牌的銷售價格為y=

1.75+0.1（千元/臺）（t=0，1，2，…，6）。

問題：利用邊際函數幫助商場預測七月份A品牌空調的銷售量是增加還是減少。

首先要學會查找資料，邊際指經濟學中的函數，因變量對自變量的導數的統稱。空調銷售量Q（x，y）的邊際函數在t=t0（月）處的導數值Q′（t0）近似表示第t0+1（月）增加的銷售量。由題意知，現在是二月份，七月份是從現在起的第5個月，因此，只要求出Q′（4）即可。

將Q（x，y）轉化成關于t的關系式

Q（x，y）=120-22（1.8+0.05t）2+16（1.75+0.1）

邊際函數=-44（1.8+0.05t）·0.05+16，C679D08B-9B19-43B1-A5E2-1749701DE2C6

將t=4代入，得出|t=4=-4

結果表明，七月份A品牌空調的銷售量比六月份大約減少4臺，造成A品牌銷售量不增反減的原因，主要是B品牌價格上調的幅度相對偏小。到了七月份，A品牌空調的銷售價格為x（5）=1.8+0.05×5=2.05（千元），B品牌銷售價格為y（5）=1.75+0.1≈1.974（千元）。

一般來說，在品牌知名度、質量以及售后服務水平幾乎相同的情況下，較高的價格難以激起消費者的購買欲望。

在此例中，遇到不懂的名詞要學會查閱文獻資料;建立邊際函數得出結論后，要分析原因，拓展思維，給出可能的因素，并運用控制變量法的思路定量分析。這兩點在數學建模中非常重要。

（三）開展多樣的數學建模活動，提高學生應用數學建模的能力

提高高職學生的數學建模能力不僅需要利用課堂教學，還需要利用課外實踐活動，讓學生動手去做，感受數學建模的魅力。

1.建立數學建模Club

為了提高學生對數學建模的參與程度，學校2012年成立了數學建模Club，主要對全校的數學建模活動進行宣傳，做到不落一個班級、不丟一位學生。數學建模Club是一條紐帶，起到了全校宣傳、教師幫生、老生帶新生的“傳幫帶”作用，讓更多學生了解并參與數學

建模。

2.開展數學建模選修課

每年春季學期，學校組織開設數學建模選修課，通過不同教師結合自己研究的方向講授不同的數學模型，資料查閱，論文寫作，Matlab、Lingo、Spss等軟件操作不同內容，全方位增加學生的數學建?；A知識。

3.開展全校數學建模競賽活動

春季學期由數學教研室教師主持，數學建模Club協助完成一次校賽。Club成員負責賽前宣傳，教研室教師共同商討選題、出題、負責比賽指導、賽后評分并給出獎項，最后總結收獲與不足。

4.開展數學建模專題講座活動

賽前邀請指導數學建模競賽經驗豐富的教授進行不同專題的講座;賽后成績出來后進行全國大學生數學建模競賽頒獎會暨參賽經驗分享會，一方面是對于沒參加過數學建模競賽的學生來說，學長的分享是非常大的鼓舞與激勵。另一方面大力宣傳數學建模取得的成績，為后續數學建模工作的順利開展奠定基礎。

四、結論

提高高職學生的數學建模能力，不僅需要教師在課堂教學中抓住教學重點、注重知識應用，還需多引入與生活相關的例子，激發學生興趣，鍛煉學生的數學建模思維。學校需要開展多樣的數學建?；顒?，使學生有參與實踐的平臺，在實踐中真正提高數學建模能力。

參考文獻：

[1]高翔.數學建模思想在高職數學教學改革中的應用初探[J].現代職業教育，2021（47）：172-173.

[2]王小琴.提高高職學生數學建模能力的方法探討[J].科技資訊，2020，18（17）：116-117.

[3]王海龍，徐愛華，賈敬堂，等.淺談MATLAB在高職數學教學中的應用[J].邯鄲職業技術學院學報，2021，34（3）：37-40.

[4]李薇.數學建模融入高職數學課程的探索與實踐[J].廣東職業技術教育與研究，2021（2）：35-37.

[5]曹西林，吉耀武.高等數學[M].北京：北京理工大學出版社，2019.

◎編輯 馬燕萍C679D08B-9B19-43B1-A5E2-1749701DE2C6