強時頻無碰撞區跳頻序列理論界

許成謙，邢方園，王曉紅

(燕山大學 信息科學與工程學院，河北 秦皇島 066004)

文章編號：1007-791X(2022)03-0257-07

0 引言

擴頻通信技術是基于香農公式以擴大帶寬的方式來增加信道的容量，其實現方式主要有三種，分別是直接序列擴頻、跳頻擴頻和跳時擴頻[1-2]。其中，跳頻技術通過一組偽隨機碼控制頻率跳變實現擴頻通信，具有低截獲概率、較強的抗干擾能力、多址組網能力、抗衰落能力、易于與傳統窄帶通信系統兼容的優點，因此廣泛應用于各種通信系統[3-4]。

跳頻通信系統的性能由跳頻序列決定，跳頻序列的性能用Hamming相關特性來衡量，跳頻序列集 ( Frequency Hopping Sequence Set,FHSS)的Hamming相關值受到頻隙大小、序列個數、序列長度等參數的限制，這種限制關系稱為FHSS的理論界[5]。目前為止，跳頻序列在一維無碰撞區(No Hit Zone,NHZ)、低碰撞區周期Hamming相關理論界的研究和序列集的構造已取得了很多成就[6-12]，二維無/低碰撞區周期Hamming相關理論界的研究和構造滿足該理論界的序列集也取得了不小的進展[13-15]。

跳頻序列的研究主要集中在無/低碰撞區內Hamming相關性分析和構造滿足該理論界的FHSS。在信息傳輸過程中，時延和頻移有可能超出無/低碰撞區，故無/低碰撞區外跳頻序列集Hamming相關性優化也是至關重要的。Zeng等人在文獻[16]中研究了強一維無碰撞區FHSS的構造和性能分析。本文導出了包含頻隙個數、序列長度、序列數目、時頻二維NHZ之外FHSS最大異相Hamming自相關函數值和最大互相關函數值的理論界。提出了強時頻二維無碰撞區FHSS的概念。對一類強時頻二維無碰撞區FHSS的Hamming相關性進行了分析。

1 符號和基本概念

(1)

0≤τ≤L-1,0≤υ≤q-1，

其中，i+τ≡(i+τ) modL,i=0,1,…,L-1。當xi=yi+τ+υ時，h(xi,yi+τ+υ)=1；當xi≠yi+τ+υ或yi+τ+υ?F時，h(xi,yi+τ+υ)=0。

Hxx(τ,υ)稱為x的頻域非周期移位的時頻二維周期Hamming自相關函數。當x≠y時，Hxy(τ,υ)稱為x和y的頻域非周期移位的時頻二維周期Hamming互相關函數。

定義2設頻率F={f0,f1,…,fq-1}是大小為q的頻率集合，S是F上含有M個周期長度為L的FHSS，TA、VA為非負整數，定義

Zat=max{TA|Hxx(τ,υ)=0，?x∈S，0≤τ≤TA，0≤υ≤VA，(τ,υ)≠(0,0)}，

Zaf=max{VA|Hxx(τ,υ)=0，?x∈S，0≤τ≤TA，0≤υ≤VA，(τ,υ)≠(0,0)}，

Zct=max{TA|Hxy(τ,υ)=0，?x≠y∈S，0≤τ≤TA，0≤υ≤VA}，

Zcf=max{VA|Hxy(τ,υ)=0，?x≠y∈S，0≤τ≤TA，0≤υ≤VA}，

Znt=min{Zat,Zct}，Znf=min{Zaf,Zcf}，

則[0,Znt]×[0,Znf]稱為S的頻域非周期移位的時頻二維NHZ，[0,Zat]×[0,Zaf]稱為S的頻域非周期移位的周期Hamming自相關時頻二維NHZ，[0,Zct]×[0,Zcf]稱為S的頻域非周期移位的周期Hamming互相關時頻二維NHZ，若S在區域[Znt+1,L-1]×[0,Znf]上進行了Hamming相關性優化，則稱S為強時頻二維無碰撞區FHSS。

2 強時頻二維無碰撞區跳頻序列集的理論界

設頻率F={f0,f1,…,fq-1}是大小為q的頻率集合，S是F上含有M個周期長度為L的跳頻序列的序列集，[0,Znt]×[0,Znf]為序列集的NHZ。文中采用以下表示：

Ha(S)=max{Hxx(τ,υ)|(τ,υ)∈[Znt+1,L-1]×[0,Znf]且(τ,υ)≠(0,0),x∈S}，

Hc(S)=max{Hxy(τ,υ)|(τ,υ)∈[Znt+1,L-1]×[0,Znf],x，y∈S,x≠y},

Hm(S)=max{Ha(S)，Hc(S)},

簡記Ha=Ha(S)，Hc=Hc(S)，Hm=Hm(S)。

Ha和Hc分別是序列集S在時頻二維無碰撞區[0,Znt]×[0,Znf]之外的最大異相周期Hamming自相關和最大周期Hamming互相關。下面導出有關Ha和Hc的理論界。

引理1設頻率F={f0,f1,…,fq-1}是大小為q的頻率集合，S是F上含有M個周期長度為L的FHSS，任意x,y∈S，對于任意的正整數0≤Znt≤L-1,0≤Znf≤q-1，令函數

(2)

則

(3)

證明對于任意x,y∈S，任意正整數0≤Znt≤L-1,0≤Znf≤q-1，有

Hxy(τ,υ)=

以下將對Znt=0和Znt≠0兩種情況分別作出討論。

情況一：當Znt=0時，即時域上不存在NHZ。

情況二：當Znt≠0時，即時域上存在NHZ。

M(L-Znt)(Znf+1)Ha+
M(M-1)(L-Znt)(Znf+1)Hc。

證畢。

引理2[10]對于任意正整數τ，τ=0,1,…,L-1有

(4)

引理3對于任意正整數Znt和Znf，0≤Znt≤L-1,0≤Znf≤q-1，有

(5)

證明對于任意正整數i=1,2,…,M,τ=1,2,…,L-1,υ=0,1,…,q-1，因為

所以

由于

因此

m(b(k+τ)+υ,fi)，

證畢。

令函數

m(b(k+τ)+υ,fi)，

(6)

引理4對于任意正整數i,0≤i≤q-1，令

其中k=0,1,…,L-1,則

(7)

證明由等式(6)得

(8)

引理5[11]設g1,g2,…,gq為滿足下列等式的正整數

則

(9)

引理6設頻率F={f0,f1,…,fq-1}是大小為q的頻率集合，S是F上含有M個周期長度為L的FHSS，任意x,y∈S，對于任意的正整數0≤Znt≤L-1,0≤Znf≤q-1，則

(10)

證明由引理4可知

由引理2可知

根據引理5得

證畢。

定理1設頻率F={f0,f1,…,fq-1}是大小為q的頻率集合，S是F上含有M個周期長度為L的FHSS，[0,Znt]×[0,Znf]是S的頻域非周期移位的時頻二維NHZ，時頻二維NHZ之外的最大異相周期Hamming自相關為Ha、最大周期Hamming互相關為Hc，對于任意的正整數0≤Znt≤L-1,0≤Znf≤q-1，有：

當Znt=0，即時域上不存在NHZ時，

q(L-1)(Znf+1)Ha+
q(M-1)(Znf+1)LHc≥

(Znf+1)L2M-qL。

當Znt≠0，即時域上存在NHZ時，

q(L-Znt)(Znf+1)Ha+
q(M-1)(L-Znt)·

(Znf+1)Hc≥(Znf+1)(L-Znt)LM。

證明由引理1和引理4得：

當Znt=0，即時域上不存在NHZ時，

ML+M(L-1)(Znf+1)Ha+M(M-1)·

q(L-1)(Znf+1)Ha+q(M-1)·

(Znf+1)LHc≥(Znf+1)L2M-qL。

當Znt≠0，即時域上存在NHZ時，

M(L-Znt)(Znf+1)Ha+M(M-1)(L-Znt)·

q(L-Znt)(Znf+1)Ha+q(M-1)·

(L-Znt)(Znf+1)Hc≥

(Znf+1)(L-Znt)LM。

證畢。

推論1設頻率F={f0,f1,…,fq-1}是大小為q的頻率集合，S是F上序列數目為M，長度為L的FHSS，[0,Znt]×[0,Znf]是S的頻域非周期移位的時頻二維NHZ，時頻二維NHZ之外的最大異相周期Hamming自相關為Ha、最大周期Hamming互相關為Hc，對于任意的正整數0≤Znt≤L-1,0≤Znf≤q-1，Hm=max{Ha,Hc}，則

當Znt=0，即時域上不存在NHZ時：

當Znt≠0，即時域上存在NHZ時：

證明由定理1得：

當Znt=0，即時域上不存在NHZ時，

q(L-1)(Znf+1)Ha+q(M-1)·

(Znf+1)LHc≥(Znf+1)L2M-qL，

q(L-1)(Znf+1)Hm+q(M-1)·

(Znf+1)LHm≥(Znf+1)L2M-qL，

當Znt≠0，即時域上存在NHZ時，

q(L-Znt)(Znf+1)Ha+q(M-1)(L-Znt)·

(Znf+1)Hc≥(Znf+1)(L-Znt)LM，

q(L-Znt)(Znf+1)Hm+q(M-1)(L-Znt)·

(Znf+1)Hm≥(Znf+1)(L-Znt)LM，

證畢。

令推論1情況一中Znf=0，那么得到FHSS周期Hamming相關理論界。

推論2設頻率F={f0,f1,…,fq-1}是頻隙大小為q的頻率集合，S是F上序列數目為M，長度為L的FHSS，則S的周期Hamming自相關最大旁瓣Ha、周期Hamming互相關峰值Hc和最大周期Hamming相關Hm滿足

q(L-1)Ha+q(M-1)LHc≥L2M-qL，

上述結論是Peng、Fan在2004年第一次推導得到的。

3 一類跳頻序列強相關性分析

(11)

其中，k=0,1,…,q-1,i=0,1,…,Z。

2) 對于k=0,1,…,q-1，m=0,1,…,L(Z+1)-1取

(12)

其中m=0,1,…,L(Z+1)-1，〈x〉n=xmodn。

定理2上述得到的跳頻序列集S具有如下性質：

1) 時頻二維NHZ為[0,Z]×[0,N]。

2) 序列長度為(Z+1)L，序列個數為q，時域NHZ邊界為Z，頻域NHZ邊界為N。

3) 時頻二維NHZ最大異相自相關值為(Z+1)Ha，最大互相關值為(Z+1)Hc。

證明跳頻序列集C={C(i)|i=0,1,…,Z}是不同頻率集{F(i)|i=0,1,…,Z}上的FHSS，基于等式(12)可得到序列集S的序列長度為L(Z+1)，序列個數為q。接下來進一步證明序列集S的時頻二維NHZ為[0,Z]×[0,N]，基于等式(11)與函數h[x,y]得

(13)

跳頻序列集C={C(i)|i=0,1,…,Z}，任意C(i)是滿足Peng-Fan界的FHSS，故C(i)最大周期Hamming相關Hm滿足Peng-Fan理論界，即

對于(τ,υ)∈[Znt+1,L-1]×[0,Znf]上，接下來分別討論序列集S的最大異相自相關值和最大互相關值。

1) 最大異相自相關值

考慮Hamming相關函數Hs(k)s(k)(τ,υ)，基于提出的構造方法可得到：

因為跳頻序列集C最大異相Hamming自相關為Ha， 對于i=0,1,…,Z有

由此可得序列集S的最大異相自相關為(Z+1)Ha。

2) 最大互相關值

因為跳頻序列集C最大Hamming互相關為Hc，對于i=0,1,…,Z有

由此可得序列集S的最大異相自相關為(Z+1)Hc。

跳頻序列集C最大Hamming相關Hm=max{Ha,Hc}，通過上述討論可得出序列集S的最大Hamming相關為(Z+1)Hm，即

實例：

令Z=2，N=2，F={0，1,2，…，44}，從F中選取F(0)={0，3,6,9,12}共5個頻隙，其中任意兩個頻隙間隔大于等于3，同理得到頻率集F(1)={15，18,21,24,27}，F(2)={30，33,36,39,42}。跳頻序列集C={C(0),C(1),C(2)}分別從F(0)，F(1)，F(2)上得到的，序列集C具體如下所示：

C(0)={(3,3,6,12,6)；(6,6,9,0,9)；(9,9,12,3,12);

(12,12,0,6,0);(0,0,3,9,3)}，

C(1)={(18,18,21,27,21);(21,21,24,15,24);

(24,24,27,18,27);(27,27,15,21,15)；

(15,15,18,24,18)}，

C(2)={(33,33,36,42,36);(36,36,39,30,39);

(39,39,42,33,42);(42,42,30，36,30)；

(30,30,33,39,33)}，

由等式(12)，得到跳頻序列如下所示:

s(0)=(3,18,33,3,18,33,6,21,

36,12,27,42,6,21,36),

s(1)=(6,21,36,6,21,36,9,24,39,

0,15,30,9,24,39)，

s(2)=(9,24,39,9,24,39,12,27,

42,3,18,33,12,27,42)，

s(3)=(12,27,42,12,27,42,0,15，

30,6,21,36,0,15,30)，

s(4)=(0,15,30,0,15,30，3,18,

33,9,24,39,3,18,33)，

令S={s(0),s(1),s(2),s(3),s(4)}，時頻二維NHZ為[0,2]×[0,2]，時頻二維NHZ外最大周期Hamming自相關Ha(S)=3、互相關Hc(S)=3，最大周期Hamming相關Hm(S)=3。

將涉及的參數代入推導的強時頻二維無碰撞區FHSS的頻域非周期的時頻二維周期Hamming相關理論界中，可知滿足該理論界，但不能使等號成立，即不能達到最優，但仍具有很好的相關性能。

4 結論

文中建立了包含頻隙個數、序列長度、序列數目、時頻二維NHZ之外FHSS最大異相Hamming自相關函值和最大互相關函數值的理論界，給FHSS在時頻二維NHZ之外Hamming相關性優化提供標準。提出了強時頻二維無碰撞區FHSS的概念。對一類強時頻二維無碰撞區FHSS的Hamming相關性進行了分析，該類強時頻二維無碰撞區FHSS不是最優的。構造具有最優強時頻二維無碰撞區FHSS是進一步需要做的工作。