電磁軌道發射裝置動態電感梯度分析

翟小飛，李鑫航，劉 華，彭之然

(海軍工程大學 艦船綜合電力技術國防科技重點實驗室， 湖北 武漢 430033)

電磁軌道發射裝置是利用電磁力推動電樞在膛內高速運動的新型發射裝置，由于沒有傳統火藥武器的聲滯制約，可以突破傳統火藥武器的出口速度限制，實現超高速[1-2]。電感梯度是電磁軌道炮的重要參數之一，其大小直接影響電樞電磁推力的大小，并對電磁軌道發射裝置的發射效率和出口動能有著直接影響[3-5]。導軌中的電流分布以及導軌間的磁場分布是電感梯度直接決定因素，除了發射裝置的結構、導軌截面形狀、幾何尺寸、導軌間距和材料屬性等因素會影響電流密度分布，輸入電流波形、導軌電流擴散過程以及速度趨膚效應等因素也會對導軌電流密度和空間磁場分布產生直接的影響，進而影響電感梯度大小[6]。

Kerrisk提出的高頻電感梯度計算方法，以電流完全趨于表面為假設，而Grover提出的低頻電感梯度計算方法，假設電流均勻分布于整個導軌，因此這兩種方法計算出的電感梯度都不會隨電樞發射過程而變化[7-9]。但是，電樞發射過程中導軌中的電流密度分布和空間磁場不斷變化，導致裝置儲能電感和電感梯度是時變的，因此電樞發射過程中獲得準確電感梯度變化值是獲得推力變化過程的關鍵，也是提高系統仿真精度的關鍵。通過有限元軟件進行電磁場仿真從而獲得電感梯度等電磁參數，并將電感梯度等參數代入系統電氣仿真模型與實際發射試驗進行對比分析，是當前常用的一種做法。文獻[10]進行了二維模型仿真分析，將獲得的電感梯度用于電氣系統仿真模型中，電樞出口速度的仿真值高于試驗值。文獻[11]根據三維模型中電樞推力曲線獲得的電感梯度用于系統仿真，仿真結果與試驗誤差較大。

本文分別推導了導軌間磁場均勻分布和非均勻分布情況下電感梯度L′a數學計算模型。引入速度頻率fv，能夠在電樞靜止的有限元仿真模型中，對電樞運動產生的趨膚效應進行仿真，從而獲得動態電感梯度參數。建立了全系統仿真模型，將二維模型獲得的單位長度電感Lu用于系統電感參數計算。將三維模型獲得的電樞動態電感梯度L′a用于電樞推力計算。仿真結果與試驗結果吻合較好，提高了系統仿真精度，表明提出的電感梯度分析方法和參數提取方法的正確性。

1 工作原理

電磁軌道發射裝置工作原理是通電電樞在磁場中產生電磁推力從而推動電樞直線運動，電樞和導軌受力情況如圖1所示。通電導軌在導軌內側空間中形成了垂直紙面向里的磁感應強度B1，在導軌外側空間形成了垂直紙面向外的磁感應強度B2。電樞在B1磁場區域產生向前電磁推力Fa，導軌中電流水平分量產生導軌外擴力Fo。由于速度趨膚效應和鄰近效應，電流向導軌內側匯集，電流密度在導軌長度方向呈三角形分布，這種三角形分布所產生的垂直分量會在導軌上產生前向推力。與此同時，電流從導軌“拐彎”流向電樞處，除了產生外擴力也會產生向前的分力，上述兩部分前向分力之和構成了導軌總前向力Fr。

圖1 電樞和導軌受力示意圖Fig.1 Force diagram of the armature and the rail

電樞電磁推力大小的計算公式為：

Fa=L′ai2/2

(1)

根據式(1)給出的電樞推力與電流之間的關系，類似地設定導軌前向推力大小的計算公式為：

Fr=kri2/2

(2)

其中，L′a=dLa/dx定義為電感梯度，kr為導軌推力系數，i為導軌電流。通電導軌和電樞均受到了向前的電磁力，且兩個電磁力均與電流平方i2成正比。

2 電感梯度理論分析

2.1 導軌間磁場均勻分布時電感梯度

電磁發射裝置主要關心電樞推力大小，因此主要研究電樞推力對應的電感梯度的影響因素。

圖2為兩根矩形導軌構成的發射裝置示意圖。假設穩定電流I在導軌內均勻分布，電流密度為J，且導軌間的磁感應強度B均勻分布，導軌位于空氣中。由于導軌沿y軸左右對稱，導軌間中線處的磁感應強度B在z軸方向相互抵消，因此只有y軸分量By。根據畢奧-薩法定律，可以求解出坐標原點O處的磁感應強度為：

By=fB(J,h,w,s)

(3)

圖2 矩形導軌結構形式Fig.2 Rectangle rail structure state

電樞電流為I，其推力大小的計算公式為：

Fa=ByI·s=L′aI2/2

(4)

推導出電感梯度表達式為：

(5)

由式(5)可以看出，電感梯度除了受到磁導率μ0影響外，只與導軌尺寸w、h以及導軌間距s相關。

式(5)表示了電流均勻分布條件下的電感梯度計算公式，這是一種電流擴散充分的“低頻”電感梯度。導軌間磁感應強度實際情況是，z軸方向呈中間小、兩邊大的分布規律，在y軸方向上呈中間大、兩邊小的分布規律，低頻時這種空間分布差異并不大可近似認為均勻分布，因此可以近似采用式(3)～(5)表示。

電樞發射過程中，由于電流擴散、鄰近效應以及速度趨膚效應，電流在矩形導軌截面近似呈回形分布，且電流更集中在導軌內表面，這種電流分布效果與高頻時電流分布效果類似。

根據上述特點，構建了電流回型分布模型，如圖3(a)所示，左右電流分布是相同的，而導軌內側比外側的電流密度集中區域厚度更大。根據電流密度回型分布特點，將導軌拆分為4組等效導軌[12]，每組導軌中的電流認為是均勻分布且相等的，其厚度由頻率引起趨膚深度決定，如圖3(b)所示。

圖3 高頻電流回型分布導軌模型Fig.3 Model of the high-frequency current rounding distribution

將4組導軌的幾何尺寸w、h和間距s以及各組導軌電流密度Jk代入式(3)，可以分別得到4組導軌在中心O點處產生的磁感應強度大小為Byk。根據圖3(b)所示的幾何關系，第1和第2組導軌可直接使用式(3)，而第3和第4組導軌則用α對式(3)進行修正：

(6)

其中，tanα=(s+w)/h。根據4組導軌電流密度相等的假設，且考慮到趨膚深度遠小于w、h和s，原點O處的合成磁感應強度近似為：

(7)

式中，Ax、Jx分別為4組導軌總面積和對應的電流密度，Kα為式(7)的中括號內容。按照軌道間磁場均勻分布的假設，根據式(4)可得高頻電樞推力大小為Fahf對應的電感梯度為：

(8)

2.2 導軌間磁場非均勻分布時電感梯度

式(3)是導軌間磁感應強度B均勻分布條件下得到的近似公式，但電樞運動過程中導軌間磁感應強度隨空間x-y-z位置和時間t不斷變化。為了獲得更加精確的磁感應強度分布情況，需要引入磁擴散方程。

忽略位移電流，根據麥克斯韋方程組得：

(9)

在空氣環境的線性系統中，可以得到導軌間磁擴散方程：

(10)

參考圖2所示的坐標軸，忽略x、z兩個方向分量，即磁感應強度只有y軸分量B=Byj，在x-z二維坐標系統中，導軌速度為零，電樞速度沿x軸方向大小為v，代入式(10)中得到磁感應強度的擴散方程式：

(11)

其中，σr為導軌電導率，σa為電樞電導率，Bry為導軌空間磁感應強度y軸分量，Bay為電樞磁感應強度y軸分量。根據式(11)以及相應的邊界條件，可以計算出Bry和Bay。電樞推力沿x軸方向，其體積力密度計算式[13]為：

(12)

對電樞的體積力密度fa進行體積分可以得電樞推力和對應的電感梯度。

(13)

電樞發射過程中，電流密度J和磁感應強度B均隨時間和空間不斷變化，因此要獲得精準的磁感應強度分布和電磁推力數值，需要引入有限元模型進行數值仿真[14-15]。

3 電感梯度仿真分析

3.1 二維模型有限元仿真

3.1.1 速度引起的趨膚效應分析

設定軌道厚度w=10 mm，軌道高度h=30 mm，軌道間距s=20 mm，導軌二維有限元仿真模型如圖4所示。

(a) 導軌尺寸(a) Dimension of the rails (b) 網格剖分圖(b) Meshing graph圖4 二維軌道模型Fig.4 Model of 2D rails model

根據文獻[16]可知，電流頻率和電樞速度所產生的趨膚效應可以在模型中采用掃頻的方式進行渦流場分析，從而獲得單位長度電感值。在ANSYS電磁場仿真軟件系統中進行渦流場分析，首先需要確定電流頻率范圍。電樞在導軌高速運動過程中，不斷將導軌新部分接入導電回路中，因此新接入的導軌就需要采用階躍電流在導軌中擴散的模式進行分析，將階躍擴散過程用穩態正弦電流所引起的頻率趨膚效應來等效。式(14)給出了正弦電流趨膚深度δsin以及階躍電流在導體中的擴散深度δstep的表達式[16-17]。

(14)

令δstep=δsin，可以得到電樞運動過程中速度趨膚效應所對應的頻率fv(稱為速度頻率)的計算公式。

(15)

式中，v為電樞速度，λ為電樞與導軌接觸的長度,fe為交流電流頻率。當v=2 000 m/s、λ=20 mm時，對應的速度頻率fv=10.13 kHz。

3.1.2 單位長度電感值

由于ANSYS電磁場仿真軟件的二維渦流場采用模型空間磁場儲能W來計算模型單位長度的電感值Lu=2W/I2，簡稱電感系數。根據輸入電流頻率(電流基波頻率約為200 Hz)和速度頻率(2 000 m/s對應速度頻率為10 kHz)，二維渦流場掃描頻率范圍定為100 Hz～10 kHz。導軌電流密度分布隨頻率fv變化的二維電磁場仿真結果如圖5所示。

(a) fv=100 Hz

(b) fv=500 Hz

(c) fv=4 kHz

(d) fv=10 kHz圖5 導軌的電流密度分布云圖Fig.5 Cloud chart of the rail current

從圖5可以看出，由于趨膚效應和鄰近效應電流主要分布在導軌四個邊且更集中在導軌內側，頻率越高電流越趨于導軌表面，也更集中在導軌內表面[18-19]。電流密度在導軌中的空間分布直接影響了導軌間的磁感應強度B的大小和分布情況，從而影響了空間磁場儲能以及對應的電感系數Lu。圖6給出了不同頻率導軌中軸線上的磁場變化曲線圖，圖7給出了電感系數隨頻率變化曲線。

(a) 導軌中軸線(a) Middle line between rails

(b) 磁感應強度曲線(b) Curve of magnetic flux density圖6 導軌中軸線磁感應強度隨位置變化曲線Fig.6 The curve of B in rail middle line

圖7 電感系數隨頻率變化曲線Fig.7 Inductance coefficient varied with frequency

從圖6可以看出，導軌間磁感應強度遠高于導軌外空間，且無論是在導軌之間的內側空間還是外側空間，100 Hz條件下的磁感應強度大于1 kHz和5 kHz工況，同時1 kHz工況與5 kHz磁感應強度分布情況非常接近。可見fv較小時，導軌中電流擴散充分，導軌間磁感應強度越高，相應的電感梯度越高，即低頻電感梯度(擴散充分程度)要大于高頻電感梯度(趨膚明顯)，這種規律和Kerrisk高頻電感梯度以及Grover低頻電感梯度的規律是一致的。從圖7可以看出，電感系數隨著頻率(即電樞速度)增加而逐步減小并趨于穩定，從式(14)、式(15)可以看出，v越高，fv越大，δsin越小，表明發射過程中，電流越來越集中在導軌內表面且趨膚深度逐步穩定，所以電感系數Lu逐步趨于穩定。分析可知，二維模型獲得的電感系數反映了裝置儲能大小，因此根據電感系數和電樞位移可以計算出系統動態電感數值。

3.2 三維模型有限元仿真

采用ANSYS電磁場仿真軟件對三維模型進行渦流場(eddy field)仿真，并根據電樞和導軌的電磁推力反推出對應的電感梯度。裝置三維模型結構如圖8所示。

圖8 裝置三維模型結構Fig.8 3D structure of the launcher

渦流場掃描頻率同樣采用二維場的頻率范圍100 Hz～10 kHz。導軌和電樞上的電流密度J隨頻率的分布情況如圖9所示。

推力隨頻率變化曲線如圖10所示。從圖10可以看出，電樞推力Fa和兩根導軌前向推力Fr均隨著輸入電流頻率增加而不斷減小并趨于穩定。根據電樞推力Fr和輸入電流i可以反推出電感梯度L′a。

(a) fv=100 Hz

(b) fv=500 Hz

(c) fv=4 kHz

(d) fv=10 kHz圖9 三維渦流場電流密度云圖Fig.9 Cloud chart of the eddy 3D simulation

(a) 電樞推力曲線(a) Curve of armature thrust

(b) 導軌前向推力曲線(b) Curve of forward thrust of rail圖10 推力隨頻率變化曲線Fig.10 Curve of the thrust versus frequency

4 系統仿真和試驗

發射過程中，由于電樞運動將導軌不斷接入電氣回路中，發射裝置可以等效為電阻、電感隨電樞位移不斷增加的動態阻感性負載。Ra為電樞加樞軌接觸電阻，其數值曲線是采用裝置口部電壓與電流實測波形計算擬合得到。發射過程中動態電感梯度L′a采用了三維模型仿真獲得隨速度頻率fv變化的電感梯度，而系統儲能所對應的電感Lm=L0+Lux，其中L0為電樞起點位置對應的初始電感，Lu為隨速度頻率變化的裝置電感系數。根據裝置動態阻感電氣模型，構建如圖11所示全系統電氣仿真框圖。

圖11 電磁發射裝置電氣仿真系統框圖Fig.11 Diagram of the electrical system simulation

從圖11中可以看出，根據仿真得到的Lu曲線和L′a曲線，以速度頻率fv為輸入可以得到發射過程中實時的電感系數Lu以及電感梯度L′a，代入裝置電感和電樞推力計算模型中，分別進行電氣和運動模型仿真計算。根據電樞推力和運動方程得到電樞位移x，微分后得到電樞速度v，并代入式(15)得到速度頻率fv，如此循環可以得到電樞運動過程中各物理量的變化曲線。利用Simplorer軟件構建了電磁發射裝置電氣仿真模型并與發射試驗結果進行對比。圖12所示為電磁發射試驗裝置，圖13為仿真和試驗對比波形。

圖12 電磁發射試驗裝置Fig.12 Electromagnetic launcher

(a) 電流曲線(a) Electric current curve

(b) 速度曲線(b) Velocity curve圖13 發射試驗與仿真對比Fig.13 Comparison of test and simulation

本次試驗電樞質量為23 g左右，電樞出口速度為773 m/s，仿真出口速度為763 m/s。從試驗和仿真對比可以看出，仿真和試驗的電流峰值誤差為0.8%，出口速度誤差為1.29%。

5 結論

由于電樞發射過程中導軌電流密度和磁感應強度是動態變化的，引入速度頻率fv參數，在有限元電磁仿真模型通過時諧分析提取了發射過程中動態變化的電感系數Lu和動態變化的電感梯度L′a。將Lu和L′a分別應用于電氣仿真模型的電感和推力計算，極大提高了全系統的仿真精度。