內嚙合齒輪泵齒輪端面平面度對出口壓力脈動的影響

袁海輝周 華顧建軍14趙明國

(1.之江實驗室 智能機器人研究中心，浙江 杭州 311121； 2.清華大學 自動化系，北京 100084；3.浙江大學 流體動力與機電系統國家重點實驗室，浙江 杭州 310027； 4. Dalhousie University, Department of Electrical Engineering, Nova Scotia, Canada)

引言

內嚙合齒輪泵由于結構緊湊、噪聲低、脈動小等顯著優點，在注塑機械、機器人以及航空航天等領域均具有廣闊的應用前景。如圖1所示，齒輪端面與浮動側板組成內嚙合泵的一對關鍵摩擦副，兩者之間形成軸向間隙。泵內高壓腔(HP)及過渡腔(TP)油液通過該間隙往低壓腔(LP)泄漏，該泄漏會對泵的出口壓力脈動產生較大影響[1]。

國內外學者圍繞齒輪泵的出口壓力脈動，通過齒廓建模[2-3]、集中參數法建模[4-5]、摩擦副的潤滑膜建模[6-7]等多種建模方法開展了研究。相關研究結果指出，泵的出口壓力脈動頻譜主要集中在齒輪軸的齒數與轉速乘積的倍頻處。然而，上述研究通常將齒輪端面視作一個平面，沒有考慮端面平面度誤差。

由于加工問題，齒輪端面不可避免存在平面度誤差，輪齒的齒寬存在輕微的差異。在泵的運行過程，隨著齒輪的轉動，輪齒交替進入低壓腔、過渡腔及高壓腔。因此，當不同的輪齒處于過渡腔及高壓腔時，端面與浮動側板之間的軸向間隙將發生改變，進而對泄漏量以及出口壓力脈動產生影響。

本研究基于集中參數法對內嚙合泵出口壓力脈動建模，著重關注由于齒輪端面非平面度導致的軸向間隙的變化，進而討論其對出口壓力脈動的影響。此外，還對泵出口壓力脈動進行了測試，以驗證齒輪端面非平面度對出口壓力影響的分析。

1 泵出口壓力建模

如圖2所示，內嚙合泵內部容腔被齒輪軸、齒圈以及月牙塊劃分成高壓腔(HP)、過渡腔(TP)以及低壓腔(LP)3部分。齒輪軸有13個齒，齒圈有19個齒，齒輪軸帶動齒圈嚙合轉動，油液被吸進低壓腔，通過過渡

腔運送到高壓腔后排出。

圖3為泵出口壓力建模的液壓系統原理圖。為減少系統對泵出口壓力脈動的影響，采用節流閥口的加載方式。泵出口連接直徑不變的硬管，硬管另一端連接節流閥口對泵進行加載。泵內每一個容腔的壓力可用流量連續性方程表征，如式(1)所示；泵出口壓力視為高壓腔壓力。

(1)

式中，p—— 容腔壓力

t—— 時間

β—— 油液彈性模量

V—— 容腔壓力

qin,qout—— 流入及流出容腔的流量

dV/dt—— 容腔容積隨時間變化

流入及流出容腔的流量包括通過浮動側板上孔槽結構的流量、泄漏量等多項，具體的表述與求解見本課題前期工作[2]。在此，側重關注齒輪端面與浮動側板之間的軸向泄漏，如圖4所示。1個齒的軸向泄漏量可表示如下：

(2)

式中，qj—— 1個齒的軸向泄漏量

b—— 1個齒的節圓長度

μ—— 油液黏度

rp,rfp—— 齒輪端面密封帶半徑

δj—— 1個齒的端面與浮動側板之間的軸向間隙

需要指出的是，由于齒輪端面平面度誤差，每個齒的端面與浮動側板之間所對應的軸向間隙δj均不一樣。

從文獻[2]可知，式(1)等號右邊均為關于容腔壓力p及時間t的關系式，因此，式(1)可寫為：

(3)

利用龍格庫塔法(RK4)對式(3)進行數值求解，進而可求得泵的出口壓力。需要指出的是，由于齒輪軸有13個齒，齒圈有19個齒，且每個齒對應的軸向間隙不一樣，因此，當1對齒嚙合分離后，下一次重新嚙合需經過247個嚙合周期(13×19)。在此，定義1個數值計算周期為247個嚙合周期，每完成1個計算周期，將該計算周期的出口壓力來判斷數值計算是否收斂，如式(4)所示:

(4)

式中，pnew,pold—— 當前計算周期及上一個計算周期的出口壓力

perr—— 連續2個計算周期的出口壓力誤差，收斂到10-8

2 仿真結果分析

為了對比分析齒輪端面平面度對出口壓力脈動的影響，在此設定了兩種情況：一種為不考慮齒輪端面的平面度誤差(齒輪端面視為一個平面)，每個齒對應的軸向間隙均為同一數值，設定為20 μm；另一種為考慮齒輪端面的平面度誤差，對于齒輪軸上的齒，軸向間隙在20～30 μm之間變化；對于齒圈上的齒，軸向間隙在20～35 μm之間變化；軸向間隙的變化規律服從高斯分布。

如圖5所示，為是否考慮齒輪端面的平面度誤差所對應的出口壓力仿真曲線，泵轉速為3000 r/min，出口壓力為7 MPa。如圖5a所示，測試時長為0.2 s，相當于齒輪軸轉過10轉，經過了130個嚙合周期。可見，出口壓力呈現周期性變化規律，當不考慮平面度時，出口壓力的重復周期為1個嚙合周期；當考慮平面度時，出口壓力的重復周期為247個嚙合周期。因此，當考慮平面度時，出口壓力呈現了更長的重復周期，更為復雜的變化規律。

當不考慮平面度時，出口壓力在7.26～7.45 MPa之間變化；當考慮平面度時，出口壓力在6.45～7.51 MPa之間變化。可見，當考慮平面度時，出口壓力呈現了幅值更大的脈動。這是由于當考慮平面度時，軸向間隙相對更大，造成了更大的軸向泄漏量，從而導致幅值更大的壓力脈動，這與先前工作中得到的結論一致。

如圖5b所示，截取了圖5a中時長為0.02 s的一段，相當于齒輪軸轉過1轉，經過13個嚙合周期。從圖中可見，當考慮平面度時，這一段的出口壓力整體呈現一個大波動，在此稱為“大波”，如圖中虛線所示；沿著虛線，可以看到13個小波動，在此稱為“小波”，如圖中實線所示，這與齒輪軸的齒數(13個)一致。

當不考慮平面度時，只有13個重復的“小波”。可見，當考慮平面度時，出口壓力脈動包括了“小波”和“大波”兩種脈動成分；當不考慮平面度時，出口壓力脈動只有“小波”一種脈動成分。從圖中可以看出，“大波”脈動成分大大增加了泵的出口壓力脈動，不應忽視齒輪端面平面度誤差對出口壓力脈動的影響。

如圖6所示，為考慮與不考慮齒輪端面的平面度誤差所對應的出口壓力脈動頻譜，泵轉速為3000 r/min，出口壓力為7 MPa。當不考慮平面度時，脈動頻譜的基頻為650 Hz (f0)，幅值為0.008 MPa。這與小波的頻率一致，由泵的轉速以及齒輪軸的齒數所決定，如式(5)所示。由于通常泵的轉速較高，因此小波的頻譜也通常處于高頻段。

f0=z1n/60

(5)

式中，z1—— 齒輪軸的齒數

n—— 泵的轉速,r/min

當考慮平面度時，在以f0為基頻的頻段存在幅值，幅值比不考慮平面度時更大。這表明當考慮平面度時，小波的波動幅值變大。此外，除了以f0為基頻的頻段，可以看到在低頻段存在較大的幅值，主要分布在以33.8 Hz (fr)和49.4 Hz (fs)為基頻的頻段。這兩個頻段的基頻對應圖5中的大波，幅值較大，且主要分布在低頻段。其中fr主要由泵轉速以及齒輪副的齒數決定，如式(6)所示；fs主要由泵轉速決定，如式(7)所示:

fr=z1n/(60·z2)

(6)

fs=n/60

(7)

式中，z2—— 齒圈的齒數

3 出口壓力脈動試驗

如圖7所示，為內嚙合泵出口壓力脈動試驗過程。試驗設置與圖3所示系統原理圖一致，內嚙合泵出口連接1根不變直徑的硬管，硬管另一端連接節流閥進行加載，硬管上安裝100 kHz的高頻壓力傳感器，用于采集泵出口壓力脈動。傳感器量程為0～35 MPa，精度及非線性為0.5%。

如圖8所示，為所測試的內嚙合泵的齒輪副的齒寬。可見，齒輪軸的齒寬在15.505～15.535 mm之間變化，齒圈的齒寬在15.480～15.505 mm之間變化。由于泵在運行過程，浮動側板壓緊在齒輪副的端面上，因此，齒圈所對應的軸向間隙比齒輪軸所對應的軸向間隙更大。

圖9為測得的泵出口壓力脈動頻譜，泵轉速為3000 r/min，壓力為7 MPa。從圖9a可見，在基頻為642 Hz (f0)的頻段存在較大幅值，這是對應于小波成分的頻譜，與式(5)一致。

圖9b為截取的圖9a中的低頻段。可見在低頻段，以基頻為34 Hz (fr)和49 Hz (fs)的頻段存在較大幅值，這是對應于大波成分的頻譜，與式(6)和式(7)一致。

圖9b中還可以看到fr對應的幅值比fs對應的幅值更大。從圖8的測量數據可知，齒圈所對應的軸向間隙比齒輪軸所對應的軸向間隙更大，從式(2)可知，通過齒圈端面的軸向泄漏比通過齒輪軸端面的軸向泄漏更大。從文獻[1]可知，泄漏增大會導致脈動的增大，結合圖9b中fr與fs對應的幅值，可知齒輪軸與齒圈兩者的齒寬的差異，也會導致fr或fs的幅值增大，導致出口脈動增大。

可見，齒輪軸或齒圈自身齒寬的不一致會導致“大波”脈動成分，進而增大脈動；齒輪軸與齒圈之間齒寬的不一致也會導致脈動的增大。因此，在齒輪副加工過程，一方面應注意降低齒輪端面的平面度誤差，另一方面應注意保持齒輪軸的齒寬與齒圈的齒寬的一致性。

4 結論

本研究討論了內嚙合泵齒輪端面平面度對出口壓力脈動的影響，并對出口壓力脈動進行了試驗驗證，可得到以下幾個結論：

(1) 當不考慮端面平面度時，泵出口壓力脈動只有小波成分，小波成分通常處于高頻段，幅值較小，基頻由泵轉速及齒輪軸的齒數決定；

(2) 當考慮平面度時，泵出口壓力脈動包括了小波及大波2種成分，大波成分通常處于低頻段，幅值較大，有2個基頻，1個基頻由泵轉速及齒輪副的齒數決定，1個基頻由泵轉速決定；

(3) 齒輪端面的不平面度誤差會造成泵出口壓力脈動的大波成分，會大大增加泵的出口壓力脈動。在齒輪副加工過程，一方面應注意降低齒輪端面的平面度誤差，另一方面應注意保持齒輪軸齒寬與齒圈齒寬的一致性。