初中數學習題變式處理藝術

福建福安城北中學（355000） 肖 莉

初中數學教材中有很多經典習題，這些習題在訓練學生數學思維以及提高學生解題能力方面具有較大的教育價值。教師如果只是單純利用這些經典習題進行理論知識講解或者解題技巧和方法訓練，那么習題的價值就被削弱了。教師如果講一道習題或者讓學生解答一道習題，眼光只放在此題上，不進行任何拓展與延伸，那么學生的思維就會變得越來越“單線條”，不懂靈活變通，一旦練習和考試題型稍有變化，學生就不知道如何解答。教師如果對習題進行拓展與延伸，挖掘習題的內在規律，合理開展習題變式教學，對習題進行變式處理，將會取得舉一反三、觸類旁通的效果，學生的思維也將更靈活，解題效率會更高。

一、初中數學“一題多變”的意義

有研究表明，中學階段是學生智力和思維發展最關鍵的階段。這一階段的學生學習能力強，思維靈活，個性獨特，在這一階段加強對學生思維能力的培養，往往能事半功倍。新課改后，不少數學教師越來越重視對學生思維能力的培養，開始從傳統的灌輸式教學中走出來，不斷進行教學方法、教學活動、習題設計的創新和改革。“一題多變”是廣大數學教師為培養學生思維能力進行的一項重要舉措，將經典習題進行變式處理，可以提高學生的自主能力，訓練學生思維，啟發學生智力，挖掘學生潛能。將初中數學經典習題進行變式處理有如下意義。

（一）有利于提高學生的自主學習能力

提高自主學習能力是新課改對學生提出的要求，也是學生自我發展的關鍵。建構主義理論認為，學生是學習的主體，應該具備主動建構知識的能力。學生只有主動學習、自主學習，才能真正將獲取的知識轉化為個人能力?！耙活}多變”這一習題處理策略，通過對典型習題進行題干、問題、題型等多變處理，能夠讓學生從單一習題解答向多元習題探究過渡，逐漸走向深度學習。這無疑可以增強學生自主探究的意識，不斷提高學生的學習能力。

（二）有利于促進學生思維發展

“一題多變”對學生最主要的影響就體現在思維方面。將一道看似簡單的習題逐步進行變式處理，由易到難、層層遞進，這有利于學生深入思考問題。同時，“一題多變”既可以改變例題的題干，又可以改變問題，還可以從題型和解題方法上進行變式處理。其中解題方法的變式處理主要包括“一題多解”。在教學實踐中，教師適當增加“一題多解”類題型，能夠促使學生探索多種思考問題和解決問題的方法，從而打開學生思維，達到促進學生思維向靈活性和多變性發展的目的。

（三）有利于提高學生分析和解決問題的能力

分析和解決問題的能力是學生學習一門課程后應該具備的核心能力，學生的思維也是通過解決問題來體現的，具備良好思維的學生通常分析和解決問題的能力較強。增設習題不僅是為了幫助學生鞏固知識，而且是為了促進學生分析和解決問題能力的發展。將習題進行變式處理是對傳統習題的創新，將更有利于鍛煉學生分析和解決問題的能力。

（四）有利于提高學生學習的積極性

新課改后，“減負提質”成為教師的重任，而“雙減”政策出臺后，如何減掉學生課后作業負擔又不降低教學質量，是廣大教師需要研究的重要課題。習題作為培養學生思維、提高學生能力的重要內容，用得好就是給課堂教學“助力”，用得不好就是“阻力”，更是學生的負擔，既降低學生數學學習效率，又影響學生數學學習熱情。教師倘若可以對習題進行變式處理，則能夠有效避免習題量大、單一、枯燥等傳統“題海戰術”的弊端，不至于讓學生對習題產生厭倦心理和排斥情緒，極大地提高了學生學習的積極性。

二、初中數學習題變式處理策略

（一）題干變化

許多數學習題看似孤立，實際上都是對數學知識的應用，不同習題間也存在內在邏輯聯系，比如解題思路、方法的一致性和相似性。鑒于此，教師在指導學生練習時，不妨嘗試引導學生收集、比較、探究不同習題，尋求解答習題的通法，從而發現數學知識的本質和內在聯系，提高數學學習效率。

［例1］某二次函數圖像經過A（-3，0）、B（1，0）、C（0，-3）三點，求該函數的解析式。

變式1：某二次函數圖像經過一次函數y=-x-3 的圖像與x軸、y軸的交點A、C，同時也經過點B（1，0），求該二次函數的解析式。

變式2：某拋物線經過B（1，0）、C（0，-3）兩點，直線x=-1是其對稱軸，求該拋物線的解析式。

變式3：一次函數的圖像經過點（1，0），在y軸上的截距是-1，二次函數圖像與其相交于A（1，m）、B（n，4）兩點，直線x=2是二次函數的對稱軸，求這兩個函數的解析式。

該組變式習題在原習題的基礎上難度逐漸增大，符合學生的認知水平和思維發展規律，幫助學生實現對數學知識的鞏固、內化和吸收，有利于提高學生歸納和整合知識、解題方法的能力。

（二）題型變化

在原習題基礎上進行題型變化是習題變式的經典手法，這種變式處理是一個“大手術”，對原來的習題做了“整容式處理”。習題的類型發生了變化，但習題的解題依據和核心思想是不變的。習題變式的目的在于幫助學生拓展與延伸，將單一習題轉變為多種題型，激發學生的解題興趣，訓練學生的解題能力。

［例2］在△ADE中，∠DAE=120°，點B和C在DE上，△ABC是等邊三角形，求證：BC2=BD·CE。

此題是一道探究性極強的證明題，學生解答原習題后，教師可引導學生進行如下變式探究。

變式1：變“證明題”為“填空題”。題干保持不變，問題變為：線段BC、BD、CE滿足的數量關系有哪些？

習題經過變式處理后，學生需要在原題基礎上將BC分別代換為AB、AC，將問題轉為找△ABD與△ECA的關系問題，增強了原習題的探究性，突出考查學生的探究能力和綜合分析能力。

變式2：變“證明題”為“計算題”。題干增設條件：三角形邊長為4，BD=2。求CE的長。

將原習題題型轉化，學生需要探究出線段BC、BD、CE的數量關系，將問題轉化為“知二求一”的題型，突出考查了學生的計算能力。

變式3：變“證明題”為“自主探究題”。題干保持不變，將問題改為：圖中有哪些線段是另外兩條線段的比例中項？

將原本固定的習題類型變得更加開放，有利于拓寬學生的思維空間，鍛煉學生的開放性思維。

以上習題變式處理，都融合了轉化思想，在原習題基礎上適當進行變式處理，從一道常規習題延伸拓展出多種題型，不僅增加了習題的多樣性，而且加深了學生對數學知識的理解，提高了學生運用數學知識解決實際問題的能力，間接增強了學生知識歸納和整理的意識，促使學生從多角度思考問題，更深入地探究問題。

（三）解法變化

培養學生的思維能力是數學教學的基本要求，也是新課改對廣大數學教師提出的根本要求。“思維高度決定行為高度”，思維是行為的導向，只有學生真正具備數學思維，才能靈活解答各類復雜的數學問題。因此，在習題教學中，教師要有意識地培養學生的數學思維，通過習題變式處理，讓學生感知習題的變化，在變化和解題過程中逐步形成變式思維，靈活地運用數學知識高效解決數學問題。“一題多解”習題變式法，能有效增強學生思維的深刻性、靈活性和發散性，促使學生舉一反三、觸類旁通，激發學生潛能。

［例3］如圖1 所示，P是△ABC邊BC上的一動點，過點P作PD⊥AB，PE⊥AC，CF是AB邊上的高線，證明：PD+PE=CF。

證法1（截長法）：過點P作PH⊥FC于點H，輔助線如圖1所示，先證明四邊形DPHF是矩形，從而推導出PD=FH，然后再證明△PEC≌△CHP，進一步推導出PE=CH，最終證明結論成立。

圖1 截長法輔助線圖

證法2（補短法）：過點C作CG⊥DP，交DP的延長線于點G，輔助線如圖2所示。觀察圖形，分析已知條件可證得四邊形DGCF是矩形，從而推導出FC=DG=PD+PG，CG∥AB，∠PCG=∠B=∠ACP，Rt△PGC≌Rt△PEC，PG=PE，結論同樣成立。

圖2 補短法輔助線圖

此題是一道“一題多解”題，在指導學生解答這道習題時，教師要有意識地引導學生探索多種解題方法，巧妙應用“截長法”“補短法”解題，通過作輔助線、畫圖將題干已知信息清晰呈現，快速找到解題思路和解題突破口，在提高學生解題效率的同時達到訓練學生變式思維的目的。

（四）變中生變

習題變式教學并非單純為了解決一個問題，而是解決一類問題，傳統的“題海戰術”雖能起到鞏固復習的作用，但卻無法開拓學生解題思路，也不利于學生創新思維的發展。要真正發揮習題的價值，就需要數學教師對習題進行創新變式處理，達到“以少勝多”的目的，給學生拓展出更多具備相關性、相反性、相似性的新習題，讓數學課堂常新、善變。

在原有習題的基礎上不斷加條件，逐步提高問題難度，這種習題變式是變中生變，以變應變，開放性強、趣味性強、探究性強，用以鍛煉學生變通思維、發散性思維最好不過。這種變式處理符合學生的思維發展規律，循序漸進且層層深入，讓學生的思考更有深度，對知識的理解更透徹，掌握更扎實，有利于培養學生的應用能力。

三、初中數學習題變式處理注意事項

不可否認，對習題進行變式處理是對傳統習題設計的創新，是為了促進學生思維能力的發展。但在實踐中，教師首先應該本著“真實育人”的原則，在追求“變化”的同時也要尊重學生的主體性和客觀性，結合學生思維、能力等實際情況對習題進行變式處理，甚至可以鼓勵學生自己對習題進行創新和改編，將習題變式的權力讓給學生，讓學生享受探究多變習題的樂趣，喚醒學生的主動意識，培養學生的探究意識，提高學生解決問題的能力。其次，對習題進行變式處理要盡可能朝多元化發展，不僅可從題干變化著手，還要充分關注題型、方法的變化。教師在指導學生解答多變習題時，要盡可能啟發學生找出原題和變式題的共同點，找出問題的核心和解決問題的關鍵思路，促使學生做到以不變應萬變，觸類旁通。最后，教師在增設變式習題時，應做好備課工作，充分研究經典習題，力爭設計出真正有利于學生思維能力發展的習題，而不是為了“變”而“變”，始終遵循“變”是為了學生發展，為了課堂增效的原則，不過分追求“量”的變化，著重突出“質”的變化，確保做好習題變式處理的同時不影響習題的價值。

綜上所述，習題變式的處理，將看似孤立的數學問題從不同角度和方向進行延伸，形成了有規律可循的數學系列習題，真正幫助學生在解題過程中找到更多解題思路、方法，充分展現數學知識形成過程，激發學生的數學學習興趣，達到培養學生數學思維和解題能力的教學目的。作為新時代的數學教師，我們應積極創新、勇于探索，對習題進行變式處理，幫助學生舉一反三，完善學生認知結構，拓展學生思維，促使學生主動建構知識體系，讓數學教學實現“輕負高質”，讓學生快樂、輕松、高效地學習數學。