探析極值點(diǎn)偏移證明問題的解決方法

山東濱州市無棣縣第二高級中學(xué)（251900） 徐景超

所謂極值點(diǎn)偏移，指的是連續(xù)函數(shù)f(x) 在(x1,x2)(f(x1)=f(x2)為前提)上的極值點(diǎn)左右增減速度不同導(dǎo)致極值點(diǎn)x0≠的情況出現(xiàn)。與其有關(guān)的問題主要有，一是與極值點(diǎn)偏移的不等式證明問題，二是極值點(diǎn)偏移對應(yīng)的極值差范圍的求解。這些問題與函數(shù)單調(diào)性、極值和最值等知識點(diǎn)都有密切的聯(lián)系。其中，有關(guān)極值點(diǎn)偏移證明問題更為常見。掌握這類問題的解決方法，有助于學(xué)生開拓思路，有效破解難度較大的函數(shù)問題。

一、對稱變換

采用對稱變換方法解決有關(guān)極值點(diǎn)偏移證明問題，關(guān)鍵在于把問題中的兩個變量對稱分布在不等號的兩邊，進(jìn)一步構(gòu)造函數(shù)把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題。如求證x1+x2＞2x0，可構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x0+x)-f(x0-x) 或g(x)=f(x)-f(2x0-x) 等 對稱形式，探究g(x) 的單調(diào)性，進(jìn)而把問題轉(zhuǎn)化為極值點(diǎn)之間的關(guān)系。具體解題步驟如例1所示。

［例1］已知函數(shù)f(x)=-x+(x+2)lnx(x∈R)，且函數(shù)f(x)圖像在A(x1,f(x1))、B(x2,f(x2)) (x1＜x2)兩個不同點(diǎn)處的切線互相平行，求證x1+x2＞4。

分析：對問題中所給“不同點(diǎn)處切線互相平行”進(jìn)行分析可得，該兩點(diǎn)處對應(yīng)導(dǎo)數(shù)相等。問題所求證的不等式中含有兩個變量，即x1、x2，因此需要對不等式進(jìn)行變形，使兩個變量對稱分布在不等號的兩邊，即x1＞4-x2，構(gòu)造函數(shù)g(x1)-g(4-x2)，并探究其單調(diào)性，從而證明x1+x2＞4成立。

證明：∵f(x)=-x+(x+2)lnx(x∈R)，

由題意“函數(shù)f(x) 的圖像在A(x1，f(x1))、B(x2，f(x2)) (x1＜x2)兩個不同點(diǎn)處切線互相平行”可得，f′(x1)=f′(x2)，即g(x1)=g(x2)，

∵g′(x)=-∴g(x)在(0,2) 上單調(diào)遞減，在(2,+∞)上單調(diào)遞增，

∵g(x1)=g(x2)，∴必 有0 ＜x1＜x2＜2，4-x1＞2，

∴h(x)在(0,2)上為減函數(shù)，h(x)＞0，

∴g(x1)-g(4-x1)＞0，即g(x1)＞g(4-x1)，g(x2)＞g(4-x1)，

∵g(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增，∴x2＞4-x1，即x1+x2＞4。

評析：對稱變換是解決極值點(diǎn)偏移證明問題的常見方法之一。不同的不等式證明有著不同的變換形式，類似x1±x2＞2x0形式的證明，可通過加減使其對稱，而類似x1·x2＞2x0形式的證明，往往通過乘除變換得到對稱形式。

二、消參減元

消參減元主要是建立參數(shù)和極值點(diǎn)的聯(lián)系等式，通過消去參數(shù)或減少變量個數(shù)對問題進(jìn)行求解。解決極值點(diǎn)偏移證明問題時，首先令函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′(x0)=0，根據(jù)f′(x0)=0 找到并建立極值點(diǎn)與方程系數(shù)的關(guān)系，再利用作差的形式消去參數(shù)或減少變量個數(shù)，如f(x)=axb+m（a、b為常數(shù)，m為參數(shù)）可以轉(zhuǎn)化為f(x1)-f(x2)消去參數(shù)m再求解；其次根據(jù)消參后的式子構(gòu)造對應(yīng)的函數(shù)；最后探究所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等，從而解決問題。具體解題步驟如例2所示。

［例2］已知函數(shù)f(x)=x2+2x-2 lnx，若方程f(x)=x2+2m有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍并證明：x1x2＜1。

證明：由題意可得方程f(x)=x2+2m等價于x-lnx-m=0，

令g(x)=x-lnx-m(x＞0)，則g′(x)=1-當(dāng)x∈(0,1) 時，g′(x)＜0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1,+∞)時，g′(x) ＞0，g(x)單調(diào)遞增，所以g(x)min=g(1)=1-m。

若方程f(x)=x2+2m有兩個不相等的實(shí)根，則有g(shù)(x)min＜0，即m＞1，

當(dāng)m＞1 時，0 ＜e-m＜1 ＜em，g(e-m)=e-m＞0，g(em)=em-2m，

令h(x)=ex-2x(x) ＞1，則h′(x)=ex-2 ＞0，h(x)在(1,+∞)上是增函數(shù)，h(x) ＞e-2 ＞0，∴g(em)=em-2m＞0，即m的取值范圍為(1,+∞)，

三、比值換元

運(yùn)用比值換元法解決極值點(diǎn)偏移證明問題，關(guān)鍵在于用兩極值點(diǎn)之比替換問題中的變量x1，x2。解題時通常把極值點(diǎn)之比看作新變量t，把問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的函數(shù)問題，進(jìn)而對有關(guān)t的函數(shù)進(jìn)行分析，解決問題。具體解題步驟如例3所示。

［例3］已知函數(shù)f(x)=ex-ax有兩個零點(diǎn)分別為x1，x2，若a∈(e,+∞)，求證：x1+x2＞2。

分析：首先作差把函數(shù)f(x)=ex-ax兩個零點(diǎn)對應(yīng)等式中的參數(shù)消去，可得=ax2；其次根據(jù)得到的式子找到x1與x2之間的聯(lián)系，不難得到x2-x1=lnx2-lnx1；最后引入新變量t=，把證明x1+x2＞2 轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)問題，對函數(shù)h(t)=lnt-進(jìn)行探究。

證明：由f(x)=ex-ax，得f′(x)=ex-a，

∵a∈(e,+∞)，∴f(x)在(0,1)和(1,3a)上各有一個零點(diǎn)，

設(shè)0 ＜x1＜x2，

∴h(t) ＞h(1)=0，即lnt-

∴x1+x2＞2。

評析：通過上述問題及解題過程，不難發(fā)現(xiàn)通過x2-x1=lnx2-lnx1引入變量t=是解題的關(guān)鍵，也是解題的難點(diǎn)所在。運(yùn)用比值換元法解題，最終也是消去參數(shù)，減少變量個數(shù)，與其他方法殊途同歸，都使問題更加直觀簡潔。

四、利用單調(diào)性

利用單調(diào)性解決極值點(diǎn)偏移證明問題，著重于用“當(dāng)導(dǎo)函數(shù)f′(x) ＞0 時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增”和“當(dāng)f′(x) ＜0 時函數(shù)f(x)單調(diào)遞減”來將自變量的大小關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)的大小關(guān)系。解題時通常利用上述轉(zhuǎn)化而來的函數(shù)大小關(guān)系構(gòu)造新的函數(shù)，進(jìn)而求解新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，確定新函數(shù)的單調(diào)性及其在取值范圍內(nèi)的最大值或最小值。具體解題步驟如例4所示。

［例4］已知函數(shù)f(x)=xe-x（x∈R），如果x1≠x2，且有f(x1)=f(x2)，證明：x1+x2＞2。

分析：因?yàn)閒′(x)=所以當(dāng)x＜1 時有f′(x) ＞0，函數(shù)f(x)=xe-x單調(diào)遞增；當(dāng)x＞1 時有f′(x) ＜0，函數(shù)f(x)=xe-x單調(diào)遞減。要證明x1+x2＞2，即證明x2＜2-x1，直接令x1＜1 ＜x2，得到2-x1＞1，此時x2和2-x1都在函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間中，因此只需要證明f(x2)＜f(2-x1)即可。根據(jù)已知條件f(x1)=f(x2)可知，只需要證明f(x1)＜f(2-x1)，通過構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-f(2-x)(x＜1)，F(xiàn)′(x)=f′(x)-f′(2-x)=(1-e2x-2)，再分析當(dāng)x＜1時對應(yīng)的F(x)的導(dǎo)函數(shù)F′(x)的情況，即可得到f(x1)＜f(2-x1)，由此證明x1+x2＞2。

證明：已知函數(shù)f(x)=xe-x，則其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=當(dāng)x＜1 時有f′(x) ＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x＞1 時有f′(x) ＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減。要想證明x1+x2＞2，即證明x2＜2-x1，所以直接假設(shè)x1＜1 ＜x2，即2-x1＞1，此時x2和2-x1都在函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間中，所以只需要證明f(x2)＜f(2-x1)。

∵f(x1)=f(x2)，

∴只需證明f(x1)＜f(2-x1)即可，

令F(x)=f(x)-f(2-x)(x＜1)，

則F′(x)=f′(x)-f′(2-x)=

∵x＜1，

∴2x-2 ＜0，等價于e2x-2＜1，

∴F′(x) ＞0，

因此，當(dāng)x＜1時，函數(shù)F(x)單調(diào)遞增，

又∵F(1)=0，

∴f(x) ＜f(2-x)(x＜1)，即f(x1)＜f(2-x1)，

即證x1+x2＞2成立。

評析：求解這類問題，首先分析原函數(shù)的單調(diào)性，然后進(jìn)行合理分析并反推，將自變量的大小關(guān)系用函數(shù)的大小關(guān)系表示出來，再根據(jù)得到的函數(shù)大小關(guān)系構(gòu)造新的函數(shù)，最后對新函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用新函數(shù)的單調(diào)性及其在取值范圍內(nèi)的最大值或最小值求證即可。

綜上可知，對稱變換、消參減元、比值換元以及利用單調(diào)性等方法都能夠有效解決極值點(diǎn)偏移證明問題。在教學(xué)中，教學(xué)應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)試題的命題規(guī)律，熟悉并掌握解答問題的方法，從而提升學(xué)生的解題效率和解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。