六自由度機器人軌跡精度評定方法優化與補償實驗研究

尹宏杰，唐 堯

（1.杭州市質量技術監督檢測院，浙江 杭州 310019；2.聚光科技（杭州）股份有限公司，浙江 杭州 310052）

引言

隨著“中國制造2025”越來越多地實踐和應用，智能制造扮演著越來越重要的角色，并且從加工逐步延伸到工業各個領域，作為典型的智能裝備工業機器人的應用也更為廣泛。隨著工業機器人在市場應用中的難度和復雜程度逐漸的提升，對其末端運動軌跡精度提出了更高的要求[1]。

工業機器人重復定位精度較高，因此目前對提高工業機器人精度的研究主要集中在末端絕對定位精度[2-4]上，通過研究相關標定方法等建立誤差模型，辨識參數及補償修正；空間點位優化方法選取空間最優點位進行補償；神經網絡[5]預測補償點位誤差等提高機器人末端點位精度。而對機器人末端運動軌跡精度的研究方法大多停留在理論上，能夠有效應用到實際工業當中的卻很少，但也取得了相關的理論成果。Santolaria[6]等分析了溫度對模型參數及對末端位置造成的影響，補償誤差參數提高其運動精度。Chettibil[7]從機器人最小能耗軌跡規劃出發，約束機器人動力學中位移、速度、加速度、轉矩等參數，采用三次樣條曲線轉化非線性優化問題進行研究。文獻[8-9]采用遺傳算法、提出基于距離軌跡的規劃算法實現運動時間最優，精確運動到指定的空間軌跡。費家人[10]等考慮結構參數誤差及關節轉角偏差，基于ADAMS建立軌跡精度預測模型進行有效的軌跡精度預測。蔡錦達[11]等構建自適應模糊神經網絡軌跡控制器，對機器人軌跡誤差進行在線補償。以上研究對提高機器人末端軌跡精度都有一定的效果，但很少從軌跡靜態誤差源因素出發建立綜合軌跡精度模型，未對各誤差源與機器人軌跡誤差的關系作深入研究，且相關補償方式在實際環境中因其理論方案的理想性、復雜性而采用較少。本文從上述問題出發，通過高精度的激光跟蹤儀設備進行測量，構建機器人軌跡測量與補償系統，對其運動軌跡進行軌跡精度的評定，為提高工業機器人的軌跡精度提供理論與實際依據。

1 軌跡精度模型

1.1 誤差源分析

六自由工業機器人的軌跡誤差分為靜態誤差與動態誤差[12]，靜態誤差即為機器人進行軌跡運動時不隨時間發生變化，一般由加工制造、環境溫度、關節間隙、傳感器和控制系統等產生，其中主要體現為機器人結構參數a、d、α與機器人關節變量參數θ。結構參數中a、d的連桿長度誤差ΔL為主要誤差，關節扭角α為次要誤差。動態誤差即為機器人進行軌跡運動時隨時間時刻發生變化的誤差，一般由外力、慣性力及重力引起的振動與變形，其中主要體現為關節柔性誤差即關節角誤差和連桿柔性誤差，連桿柔性誤差由柔性變形、磨損等引起。綜上六自由度工業機器人的軌跡誤差中運動學誤差大約占95%，而非幾何誤差占5%左右。

將各誤差進行數學定義并將機器人的軌跡誤差進行數學關系表達，連桿長度誤差ΔL=ΔL1+ΔL2，ΔL2=LaiΔt，關節轉角誤差Δθ=Δθ1+Δθ2+Δθ3+Δθ4，，總誤差ΔR=Δξ+Δη+Δζ。

式中：ΔL1為加工誤差;ΔL1為溫度引起的桿長變化；ai為連桿材料的熱伸系數；Δt為溫度變化量。Φd為電機轉角誤差，μ為電機與連桿間的傳動比，Δθ1為電機控制誤差引起，Δθ2為傳動運動誤差引起；Δθ3為傳動機構間隙誤差引起；Δθ4為關節柔性誤差引起。Δξ為靜態誤差源引起的末端誤差；Δη+Δζ為動態誤差源引起的末端誤差。

1.2 軌跡誤差模型構造

從機器人位置誤差模型進一步分析機器人軌跡誤差模型，六自由度機器人通過建立各軸坐標系，以各桿之間的轉換矩陣進行誤差傳遞并表示出末端位置的矩陣形式即：

由于受到各誤差源的影響，無論機器人是運動PTP軌跡還是CM軌跡，其末端均產生由誤差影響的位姿變化量，即理論末端位置與實際末端位置的偏差即：

通過對機器人軌跡誤差源的分析，運動學參數誤差對機器人的位置精度影響最大，六自由度工業機器人通過建立常用DH模型引入連桿偏距a、連桿長度d、連桿扭角α和關節轉角θ等運動參數分析在機器人運動過程中對軌跡的影響機理。若運動過程中產生運動偏差：

其中a、d、α為理論固定值，不考慮由其他誤差源如環境溫度等對運動參數的改變量，而關節轉角θ為機器人正解過程的輸入量，即機器人運動軌跡時在各個時刻的關節轉角θ發生變化，對機器人設定軌跡在運動時間內受運動誤差的影響從而導致實際軌跡與理論軌跡有一定的偏差，各運動參數產生的誤差具體為：

機器人在笛卡爾空間坐標系下的理論軌跡函數，軌跡運動過程中受影響最大的運動參數誤差后的實際軌跡與軌跡偏差函數表示為：

當誤差較小時可對其進行微分線性化處理：

式中：?a=?ai，?d=di，?α=αi，?θ=θi。

求解的運動學參數誤差為：

因此得出六自由工業機器人軌跡精度模型的一般表示為：

式中：e為點位置誤差值，M為目標軌跡采樣前M個位置誤差較大的點數。

2 機器人軌跡精度評定方法及優化

目前評定工業機器人軌跡精度的方法主要是根據國標ISO9283中相關機器人性能檢測標準，其中對機器人軌跡精度評定主要是在機器人的工作空間內選取最大立方體，在立方體的對角線及其對角面上進行一定數量軌跡選取，依據指令軌跡上m個計算點的位置與n次測量的集群中心G間的距離最大值即：

已有的軌跡精度評定方法主要通過計算選取采樣點的原軌跡理論點與實際軌跡中做正交面得到的實際點計算距離作為軌跡最大偏差值ATP，現考慮從點與點的距離轉化為點到軌跡的距離偏差，計算各采樣點到軌跡距離偏差進行軌跡精度評定。假設任務軌跡為S時，必須保證機器人末端執行器位置與方向時刻沿著指定軌跡S，則表示為：

式中：t為時間變量t∈[0，T]，當t=0時對應軌跡S上的起點，t=T對應軌跡S上的終點。

指定軌跡為直線時，由于軌跡誤差，運動的實際點無法保證在指令軌跡上，因此必定存在實際點與理想軌跡之間有個距離偏差d。當指定軌跡為圓弧曲線時如圖所示，軌跡上的紅點為機器人軌跡插值點，P1為軌跡上的采樣點，P2為指令軌跡的理想點。當t足夠小時，相鄰軌跡插值點的圓弧段可近似為直線段，當前點到軌跡的距離可近似為到直線段的距離d。點p0（x0，y0，z0），p1（x1，y1，z1）為直線規劃的兩點，p2（x2，y2，z2）為某時刻機器人運動點，pc（xc，yc，zc）為垂足點。直線方程為

其中（m，n，p）為直線的方向向量，點xc在直線上，故

則xc=mt+x1，yc=nt+y1，zc=pt+z1，垂線向量為（x2-xc，y2-yc，z2-zc）；

由垂線向量與直線方向向量垂直得

則可求得：

由t、xc、yc、zc得點到直線的距離為：

設定進行運動N次該軌跡，則可通過指令理想軌跡上的具體點與實際軌跡之間的距離均方根RMS評定機器人軌跡精度。

3 補償算法及仿真

3.1 機器人軌跡補償算法

機器人運動軌跡誤差參數補償采用最為普遍的最小二乘算法，最小二乘法為目前最為常用的通過將誤差最小化，尋求誤差平方和最小與數據的最佳函數匹配的算法，又稱為最小平方法，是一種數學優化方法。在機器人軌跡誤差辨識當中可以簡便求得參數誤差數據，并使參數誤差導致的實際軌跡與理論軌跡之間誤差的平方和最小，引入軌跡精度目標函數以此求解在軌跡精度下的機器人最優幾何參數值。

將實際軌跡與理論軌跡在一定參數值下的軌跡誤差函數設定為S（δ），將S（δ）=0改寫為δ=φ（δ），φ（δ）為迭代函數，理論的幾何參數值若為δ0，代入φ（δ）中，則δ1=φ（δ0），得到迭代一次后的結果δ1，返回上述過程得到δ2=φ（δ1），迭代k次后結果為：

得到的序列為δ0，δ1，δ2，…δk，…，若迭代序列{δ}收斂到δ*，則能夠使得：

則δ*=φ（δ*），即δ*為函數S（δ）的最優解，若序列{δ}發散則迭代不收斂。

將最小二乘算法應用于機器人軌跡誤差參數辨識當中辨識，由機器人軌跡誤差模型ΔS=Jδ·δ轉換成δ=φ（δ）的形式，當誤差系數矩陣Jδ因奇異性無法求逆時，采用軌跡誤差參數迭代模型為：由于雅可比矩陣Jδ奇異性問題，則需對軌跡誤差影響較大的冗余參數進行去除，即去除冗余參數δi對應的雅可比陣列，從而避免雅可比矩陣Jδ產生奇異值，保證辨識的運動參數與理想值接近，其中δi為冗余參數，i∈(1，24)。

基于軌跡誤差參數迭代模型進行運動學參數辨識，在六自由度機器人工作空間選取任意點或指定軌跡上的點進行激光跟蹤儀測量，得到各點的實際位置以及機器人的實際軌跡，經坐標系轉化后計算軌跡偏差值ΔATk，軌跡誤差參數辨識為：

以此得到滿足機器人在所需軌跡精度要求運行運動軌跡下的運動參數最優值。

3.2 機器人軌跡補償仿真

機器人在運動過程中的位移、速度和加速度形成機器人的運動軌跡，運動軌跡的形成可分為關節空間運動軌跡與笛卡爾空間運動軌跡，即直接確定軌跡目標點所對應的機器人的關節角θ或直接給定目標點在機器人坐標系下的空間位置坐標進行軌跡規劃。對機器人常用的直線、圓弧軌跡進行軌跡偏差分析，即在機器人連續運動過程中考慮運動學誤差因素使得所走點位產生偏差最終引起軌跡的整體偏差ΔS。

在機器人最大工作空間范圍內或在指定運動軌跡上選取一定量的測量點，在軌跡精度模型的基礎上通過軌跡辨識補償算法確定在軌跡精度范圍內的最優運動學參數值并修正，使得機器人在補償后的運行軌跡更接近于理論軌跡（如下頁圖3，圖4所示）。

4 實驗過程及分析

4.1 機器人軌跡補償結果驗證

通過加工的連接板將靶球安裝在機器人末端，放入1號位置靶球，使用激光跟蹤儀進行測量。工具坐標系標定示意如圖5所示：

在機器人工作空間選取點C1（500，100，625），立方體棱長為200 mm的立方體，在跟蹤儀RPM中輸入C1與棱長值，由其計算C2~C8，P1~P5的坐標值并記錄;可在示教模式下繞工具坐標系的X，Y，Z旋轉各3個點，三個圓確定其Z軸方向;沿著X，Y軸方向走直線確定X，Y軸方向，計算靶球與機器人末端的偏距值并記錄;在機器人控制軟件中建立新工具坐標系Tool，輸入偏距值并調用該工具坐標系。

50個點的測量結果表明靜態誤差源經標定后位置誤差由平均誤差的16 mm提高到0.4 mm，機器人在標定后的位置運動明顯提高，除個別點位誤差值較大以外，機器人運動精度在標定后的總體性能保持良好，能夠進行下一步的機器人軌跡精度的測量實驗（如圖6所示）。

選定機器人工作空間里指定軌跡上的理論點，使用激光跟蹤儀測得機器人的軌跡上的一系列散點，得到其在測量坐標系下的坐標值；通過最小二乘軌跡辨識算法進行計算可以得到機械臂的最優DH參數值見表1。

表1 實際與理論運動學參數值

得到在該軌跡精度模型下的最優運動學參數后替代機器人控制器中的理論運動學參數值，進行機器人軌跡精度測量實驗，所選軌跡為機器人工作空間最大立方體內的直線與圓弧軌跡，機器人的理論軌跡可由示教器中末端笛卡爾坐標系給出，根據兩點確定一條直線，三點確定一圓弧，故可編程使機器人按設定的點位進行軌跡插補，使用激光跟蹤儀測量機器人的理論軌跡，設定采樣頻率為100點/s。首先在機器人最大立方體的對角面上的一條直線與圓弧為例進行誤差補償后的軌跡準確度測量分析（如圖7和圖8所示）。

SR4C型機器人直線準確度由補償前的0.414 mm經軌跡靜態誤差補償后提高到了0.310 mm，圓弧準確度由補償前的3.204 mm提高到了2.522 mm，可知經機器人位置誤差補償提高后進行機器人運動軌跡精度仍有一定程度的提高。

4.2 精度評判方法結果驗證

按國標上規定進行機器人軌跡補償前后的實驗；即在機器人工作空間最大立方體內任意軌跡上選取一定量測量點進行軌跡誤差參數辨識，后使用實際運動學參數值進行機器人軌跡運動測量，通過國家標準中軌跡精度評定方法對其進行軌跡精度評定，得到機器人在該軌跡下的軌跡準確度；對機器人進行軌跡擬合，利用本文提出的軌跡精度評定方法進行評定，得到軌跡準確度值（如圖9所示）。

對機器人進行直線軌跡規劃運動時，確定機器人最大試驗立方體對角面上的直線軌跡，規劃點為P2（480，80，655）、P4（320，-80，495），模擬出機器人運動的實際軌跡，運動過程中按采用周期間隔選取點擬合除實際直線軌跡，計算各采樣點與直線的距離偏差即擬合度。

在采樣的124個點位中，最大偏差點（-668.517，3 213.240，-589.659）的距離誤差為0.372 mm，最小偏差點（-468.896，3 102.201，-426.276）距離誤差為0.011 mm，與國標的0.391較為接近（如圖10所示）。

對機器人進行圓弧軌跡規劃運動時，圓弧軌跡規劃點為LGC2（456.568 5，0，631.568 5）、LGC3（400，-80，575），LGC4(343.431 5，0，518.431 5）模擬出機器人運動的實際軌跡，運動過程中按采用周期間隔選取點擬合除實際圓弧軌跡，計算各采樣點與圓弧的距離偏差即擬合度。

在采樣的124個點位中，最大偏差點（-668.517，3 213.240，-589.659）的距離誤差為1.27 mm最小偏差點（-468.896，3 102.201，-426.276）距離誤差為0.011 mm，與國標的2.731較為接近。

5 結論

本文分析了影響六自由度工業機器人運動軌跡偏差的主要誤差源，建立綜合軌跡精度誤差模型，在對機器人進行預標定的基礎上進行基于軌跡精度誤差模型的誤差參數辨識修正，并對軌跡精度評定方法進行優化和改進，對SR4C型機器人進行軌跡補償實驗及軌跡精度評定的優化方法進行驗證，得到以下結論，對機器人在動態誤差源影響下的實時補償修正提供軌跡精度評定的參考依據與理論支持。

1）對機器人運動軌跡誤差來源進行分析，得出六自由度工業機器人受到靜態誤差源與動態誤差源，鑒于靜態誤差源中的主要運動學誤差建立較為準確的軌跡精度誤差模型經仿真驗證了模型的準確性。

2）在進行機器人預標定的基礎上進行機器人軌跡補償精度提高實驗，得出直線軌跡準確度比圓弧軌跡準確度更高，直線與圓弧軌跡精度經補償后都有一定的提高，且提高幅度要比預補償所提高的幅度低。

3）在機器人試驗的最大立方體上進行軌跡精度評定優化方法驗證實驗，得直線軌跡精度經評定后準確度為0.372與國標評定的0.391相接近，圓弧軌跡精度經評定后準確度為0.408與國標評定的0.391相接近。