基于分區域虛擬材料方法的軸承結合部精確建模方法研究＊

陳勇將 湯文成 郭魂 華洪良

（①常州工學院航空與機械工程學院，江蘇 常州 213032；②東南大學機械工程學院，江蘇 南京 211189）

滾珠軸承結合部是機床結構中最常用的一種可動結合部，主要起到承載支撐和導向定位的作用[1]。結合部模型誤差是機床結構動力學建模誤差的主要來源，結合部動態特性是機床動態特性的主要組成部分[2]。因此，要建立可用于機床靜、動態特性分析與優化設計的機床結構數字化模型，研究滾動軸承結合部等可動結合部模型的精確構建方法至關重要。

機床結合部的數字化建模方法大致可以為兩種：第一種是基于接觸單元的結合部建模方法。此建模方法在有限元軟件中直接通過定義接觸單元來直觀模擬結合部接觸情況，然而，高度非線性的接觸分析收斂困難，難以滿足復雜機械結構的工程應用[3]。第二種是基于等效單元的結合部建模方法。此建模方法使用等效單元來模擬結合部接觸情況，常用的等效單元有彈簧阻尼單元、多節點單元和虛擬材料單元。彈簧阻尼單元使用彈簧和阻尼器來等效結合部的剛度和阻尼特性，但基于此單元的建模方法仍存在彈簧單元的分布位置和數量尚無統一標準確定的問題[4-5]。多節點單元利用多節點六面體單元來等效結合部的力學特性，但此單元阻尼參數的識別尚未提出有效方法[6-7]。虛擬材料單元采用彈性模量、泊松比和密度等虛擬材料參數對結合部接觸情況進行等效模擬，基于此單元的建模方法具有較高的精確性、較廣的適用性和較強的實用性，近年來已廣泛應用在結合部的等效建模領域[8-9]。

相較于螺栓連接固定結合部模型的虛擬材料建模研究，可動結合部的虛擬材料建模研究還很少[10-12]。廖雯俊等采用虛擬材料層對滾動直線導軌中滾柱與滾道的接觸特性進行了等效模擬，將滾動直線導軌中全部滾珠簡化處理成截面為正方形的圓環體作為結合部虛擬材料幾何模型[13]。由此可知，已有的可動結合部虛擬材料建模方法并未考慮到滾動體與滾道接觸面壓力分布不均的特性，需要開展可動結合部虛擬材料模型精確建模研究，據此構建機床各類型結合部虛擬材料模型，才能建立準確的數控機床整機結構模型。

1 考慮非均勻接觸特性的滾珠軸承模型構建

考慮滾珠軸承滾珠與滾道接觸面間接觸應力分布不均勻的特性，其結合部分區域虛擬材料模型建立的基礎在于其接觸面間接觸應力連續變化規律的分析。滾珠軸承中不同滾珠相位角處滾珠與滾道接觸應力的分布情況較難通過實驗測量獲得。另外，采用有限元模型通過定義接觸單元來模擬滾珠與滾道接觸的計算收斂困難，難以滿足工程實際需要。故本文通過建立可考慮考慮非均勻接觸特性的滾珠軸承理論模型，用于分析接觸面間接觸應力連續變化的規律。滾珠軸承中滾珠與滾道的接觸，可以看作是2 個自由曲面彈性體在法向接觸載荷作用下的赫茲點接觸。基于赫茲接觸理論可知，滾珠與滾道接觸區域為橢圓形，接觸應力 σ的計算公式為[14]

式中：j代表第j個滾珠；a為接觸橢圓的長軸；b為接觸橢圓的矩軸；Q為滾珠與滾道接觸面間的法向接觸力，其計算公式見式（2）。

式中：λ為滾珠與滾道間的法向接觸變形判斷因子，當 δ ≤0時，λ 為0，當 δ ＞0，λ 為1；kcoe為滾珠與滾道間的接觸載荷變形系數；δ 為第j個滾珠與滾道間的法向接觸變形，可根據變形前后外圈滾道曲率中心Oo、滾珠球心O′和內圈滾道曲率中心Oi間幾何關系的變換，獲得其計算公式見式（3）。

式中：A為未變形時外圈滾道與內圈滾道曲率中心之間的距離；δp為預緊載荷作用下的接觸變形；αp為預緊載荷作用下的接觸角；δz′和δy′為內圈滾道曲率中心移動距離在局部坐標系z′和y′軸方向的投影（圖1），其值可通過絕對坐標系與局部坐標系間的微分變換式獲取。

圖1 滾珠軸承絕對坐標系與局部坐標系

式中：θ為滾珠相位角，Sθ和Cθ分別為 sinθ 和 cosθ的簡化表達式；zp和yp分別為內圈滾道幾何中心至滾道曲率中心的距離在z軸和y軸方向上的投影；x、y、z、φx和φy分別為內圈滾道幾何中心沿x軸、y軸和z軸方向的位移及繞x軸和y軸方向的旋轉位移。

滾珠與滾道接觸面間接觸橢圓的長半軸和短半軸的計算公式分別為

式中：a*和b*分別為接觸橢圓的長半軸和短半軸計算系數；ρ為接觸點處的各個主曲率。

至此，由式（2）可求解出滾珠軸承結合部里每個滾珠與滾道接觸面間法向接觸力，通過力微分變換式（4）便求出內圈滾道受到所有滾珠作用的法向接觸力與力矩，再利用最小二乘法來求解如式（7）所示的內圈滾道力和力矩的非線性平衡方程組，得到內圈滾道達到平衡狀態時，內圈滾道最終位移值及每個相位角處的接觸角和法向接觸力，最終由式（1）獲得所有滾珠與滾道接觸面間的接觸應力。

式中：a為滾珠與內圈滾道的接觸角，Cα和Sα分別為 cosa和s ina的簡化表達式。

式中：FX、FY和FZ分別為內圈滾道在x軸、y軸和z軸方向所受的外力，MX和MY分別為內圈滾道所受的繞x軸和y軸的力矩。

2 滾珠軸承結合部分區域虛擬材料模型建立

2.1 結合部分區域虛擬材料層幾何模型

滾珠軸承中滾珠與滾道接觸面間接觸應力，隨滾珠相位角的分布呈連續變化但規律較為復雜，采用傳統虛擬材料方法建立其結合部模型已不再適合。將滾珠軸承中滾珠與保持架簡化處理成截面為正方形的圓環體，在圓環體內側和外側即滾珠與內圈滾道接觸面和滾珠與外圈滾道接觸面，各取一層作為虛擬材料層，如圖2 所示。基于分形理論可知其厚度為滾珠與滾道兩工件微觀粗糙接觸表面峰底之間的距離，當表面粗糙度為0.8 μ m時，通常2 個工件微凸體層厚度值一般都在0.5 mm 上下浮動，故圓環體內、外兩側虛擬材料層的厚度h約為1 mm[10]。此幾何建模方法與已有滾動直線導軌結合部虛擬材料幾何建模方法相比，更全面地考慮了滾珠與內、外圈滾道的接觸特性。在此幾何模型基礎上，再根據滾珠與滾道接觸面間接觸區域隨滾珠相位角分布特性進行分區域，即將虛擬材料層按滾珠數量進行等分，并保證每個區域包含滾珠與滾道接觸橢圓區域，使此結構材料層宏觀材料特性在空間上呈現與接觸應力隨滾珠相位角分布相同的變化，據此能夠充分表征滾珠軸承中滾珠和滾道接觸面間接觸應力分布不均勻的特性。

圖2 含分區域虛擬材料層滾珠軸承示意模型

2.2 結合部分區域虛擬材料層參數構建

在滾珠軸承結合部分區域虛擬材料層幾何模型基礎上，還需構建能夠表征材料屬性連續不均勻分布的虛擬材料層參數。滾珠軸承結合部分區域虛擬材料層參數主要包括彈性模量、泊松比、密度和厚度。由上節可知，分區域虛擬材料層的厚度h為1 mm。為了不改變整體模型的質量分布情況，也不影響結構原有動力學特性，設置截面為正方形的圓環體質量等于滾珠與保持架質量之和。由此求出圓環體的密度，此密度值即為圓環體內、外兩側虛擬材料層的密度值。所以，還需識別的虛擬材料層參數為彈性模量和泊松比。基于已建立的可考慮非均勻接觸特性的滾珠軸承模型獲得的不同滾珠相位角處接觸應力變化規律，建立結合部虛擬材料層的彈性模量與滾珠所處位置 θ的關系式（8），使其結構材料層的彈性模量在空間上呈現與接觸應力隨滾珠相位角分布相同的變化。考慮各向同性材料剪切模量G、彈性模量E和泊松比 μ間的關系，據式（8）可知，先辨識出c和m獲得彈性模量，再辨識出泊松比 μ，便可唯一確定材料本構模型：

式中：c和m為待定參數；σ為滾珠與滾道接觸界面間的接觸應力；θ為滾珠相位角；h為虛擬材料層的厚度。

2.3 結合部分區域虛擬材料層參數獲取

滾珠軸承結合部虛擬材料模型參數的辨識是精確建模的關鍵。由式（8）可知，辨識出c、m和泊松比 μ便可確定滾珠軸承結合部分區域虛擬材料層參數。采用多目標優化算法獲得系統結合部虛擬材料模型的參數是一種有效的參數獲取方法[12-13]，設計變量為c、m和泊松比μ，目標函數為系統的仿真固有頻率和試驗固有頻率之間差值的最小化，如式（9）。其中，根據模態有效質量比計算結果決定試驗固有頻率參與到目標函數優化過程的階數，通過對比試驗模態振型與理論模態振型的相似性，確定試驗固有頻率具體選擇的階數。

在確定了待辨識參數的優化規劃區間和優化目標函數后，需要選擇合適的多目標優化算法，多目標遺傳算法是常用的支持多個目標優化的方法。多目標遺傳算法的核心是協調各個目標函數之間的關系，尋找出各個目標函數都盡可能達到較大或較小的函數值的最優解。在眾多多目標優化的遺傳算法中，帶精英策略的非支配排序遺傳算法（NSGA-II）是目前影響較大及應用范圍較廣的一種多目標優化遺傳算法。

3 應用案例

3.1 應用對象及含虛擬材料結合部的滾珠軸承動力學模型建立流程

選取試件尺寸和滾珠數量均不同的2 個角接觸球軸承，據此可同時對2 個不同的軸承結合部進行研究，驗證建模方法的通用性，滾珠軸承主要結構參數及虛擬材料層密度值見表1。基于多目標優化方法獲得結合部虛擬材料層的參數，從而建立含虛擬材料結合部的滾珠軸承動力學模型，其主要流程如圖3 所示，具體過程為：首先，通過式（1）獲取滾珠與滾道間接觸應力隨滾珠相位角的分布規律，根據滾珠數量將軸承虛擬材料層劃分成相應層數，每層泊松比取常數，而彈性模量結合式（8）得到相應層數其值與滾珠相位角的定量關系，從而獲得待辨識參數c和m所屬滾珠位置的關系式；其次，將含待辨識參數c和m的彈性模量表達式及泊松比 μ代入到含虛擬材料結合部的滾珠軸承數值模型計算得到相應的理論固有頻率與振型，并通過實驗采集到滾珠絲杠副的實驗固有頻率與振型；最后，以式（9）作為目標函數，并采用非支配排序遺傳算法（NSGA-II）獲取到待辨識參數最佳值，并進行實驗驗證，最終建立精確的含虛擬材料結合部的滾珠軸承動力學模型。

表1 滾珠軸承主要結構參數及虛擬材料層密度值

圖3 含虛擬材料結合部的滾珠軸承動力學模型建立流程

3.2 實驗系統設計及實驗模態分析

為了驗證基于虛擬材料方法建立的滾動軸承結合部動力學模型，搭建了如圖4 所示的滾動軸承模態測試平臺：將2 個不同尺寸的角接觸軸承安裝至簡易主軸箱上，作為主軸的支承部件，使軸承結合部成為被測試系統的唯一結合部；測試系統主要由力錘（PBC 086C03）、加速度傳感器（PCB 352C33）、數據采集裝置（LMS SCM202）、實時動態分析模塊（LMS TestLab 14A）以及計算機組成，其中力錘的靈敏度為2.25 mv/N、加速度計的靈敏度為99.7 mv/g。

圖4 滾珠軸承模態測試平臺

模態實驗采用移動力錘法，傳感器安裝在主軸箱上，通過鋼絲繩懸掛主軸箱試件來模擬自由邊界條件，在試件上布置了40 個激勵點。根據模態有效質量比計算結果可知，需取6 階試驗固有頻率參與到目標函數的優化過程。通過對比試驗模態振型與理論模態振型的相似性，確定此6 階試驗固有頻率具體選擇的階數。由獲得的實驗振型即表2 可知：第一階振型主要為箱體前后板異步Z方向平動；第二階振型主要為箱體左右側板同步Y方向平動；第三階振型主要為箱體左右側板同步Y方向彎曲擺動；第四階振型主要為箱體前后板異步X方向彎曲擺動與左右兩側板同步Y方向彎曲擺動；第五階振型主要為箱體前后板異步X方向彎曲擺動；第六階振型主要為主軸隨箱體前后板同步X向彎曲擺動。

表2 試驗振型與仿真振型對比

3.3 結果與討論

3.3.1 結合部虛擬材料模型有效性驗證

由設計的實驗系統可知，裝配在主軸箱的2 個軸承主要在徑向承受主軸的重量，軸向并未受預緊載荷作用。根據軸承結合部虛擬材料模型參數獲取流程得到虛擬材料層不同區域的彈性模量與泊松比的優化值，將此參數代入含分區域虛擬材料結合部的軸承模型，可得到主軸箱系統的仿真頻率。由圖5 可知，基于含分區域虛擬材料結合部的軸承模型獲得的仿真固有頻率與實驗固有頻率間最小誤差出現在第五階，僅為3%；最大誤差出現在第六階，為14.78%。由此可知，基于含分區域虛擬材料結合部的軸承模型獲得的仿真固有頻率與實驗固有頻率基本吻合，仿真固有振型與實驗固有振型基本一致。

圖5 實驗固有頻率與仿真固有頻率對比

3.3.2 接觸應力影響因素及其分布規律分析

由于不同預緊載荷作用下，7012C 型與7014C型角接觸軸承的接觸角與接觸應力隨滾珠相位角的分布情況相似，所以只對7012C 型角接觸軸承的接觸應力影響因素及其分布規律進行分析。圖6 至圖9為預緊載荷分別為0 N、900 N、1 200 N、1 500 N與1 800 N 時，接觸角、接觸載荷、接觸橢圓長短軸及接觸應力隨滾珠相位角的分布情況。滾珠與滾道接觸面上接觸角的變化直接影響著兩接觸面幾何關系，它是影響接觸應力的重要幾何參數，故首先對其進行分析。由圖6 可知，所有相位角處滾珠與滾道的接觸角隨著預緊載荷的變大而減小，接觸角最大與最小值分別出現在相位角80°和260°左右，相位角180°處的接觸角變化最小，滾珠相位角如圖1 所示參照軸為X軸。由式（1）可知，滾珠與滾道間接觸載荷值直接決定了法向接觸應力的大小。如圖7 所示，不同滾珠相位角處接觸載荷隨預緊載荷增大而變大，其分布情況與接觸角的分布情況有所區別。

圖6 接觸角隨滾珠相位角分布規律

圖7 接觸載荷隨滾珠相位角分布規律

圖8 接觸區域長短軸隨滾珠相位角分布規律

圖9 接觸應力隨滾珠相位角分布規律

由式（1）可知，滾珠與滾道間接觸橢圓的長短軸是直接決定法向接觸應力大小的另一個重要參數。圖8 為不同滾珠相位角處滾珠與滾道間接觸橢圓的長短軸隨預緊載荷改變而變化的情況，滾珠與滾道接觸面上接觸橢圓的短軸與長軸有類似的分布情況與變化規律，其值隨預緊載荷增大而變大，其分布情況與接觸載荷分布情況類似，接觸橢圓長短軸大小的差異隨預緊載荷增大而變小。由圖9 可知，所有相位角處滾珠與滾道的接觸應力隨著預緊載荷的變大而增大，接觸應力最大與最小值同樣分別出現在相位角80°和260°左右。無論接觸角、接觸載荷還是接觸應力的分布不均勻性趨勢，都會隨著預緊載荷的變大而逐漸減小。

3.3.3 虛擬材料參數對系統動態特性的影響分析

含分區域虛擬材料層的滾珠軸承模型的虛擬材料層厚度和密度值皆已確定，而彈性模量和泊松比是通過多目標優化方法獲取，故主要討論彈性模量和泊松比的改變對主軸箱系統固有頻率的影響。分別取優化后彈性模量的最大值442.6 MPa 和最小值14.3 MPa，作為軸承虛擬材料層所有區域的彈性模型，獲得相應的主軸系統固有頻率，并與基于多目標優化獲取參數的仿真固有頻率進行對比。如圖10所示，隨著彈性模量的增大，主軸箱系統的固有頻率隨之變大，并從第三階開始，它們間差異隨之增大。分別取優化后泊松比的最大值0.45 和最小值0.16，作為軸承虛擬材料層所有區域的泊松比，獲得相應的主軸系統固有頻率，并與基于多目標優化獲取參數的仿真固有頻率進行對比，如圖11 所示，隨著泊松比的增大，主軸箱系統的固有頻率也隨之變大，并從第三階開始，它們間差異也隨之增大。但相較于彈性模量對主軸系統固有頻率而言，泊松比的影響較小。

圖10 彈性模量對系統固有頻率的影響

圖11 泊松比對系統固有頻率的影響

4 結語

（1）針對滾珠軸承中滾動體與滾道接觸面壓力分布不均的問題，由實驗與仿真結果對比可知：提出的分區域虛擬材料結合部建模方法是一種表征滾珠與滾道接觸應力分布不均特性的有效方法。該方法不會改變模型原有質量與尺寸，故應用于復雜結構時，可有效避免增加結合部模型求解的自由度數。

（2）基于建立的滾珠軸承理論模型可知：滾珠與滾道接觸面上接觸角的變化直接影響著兩接觸面幾何關系，它是影響接觸應力的重要幾何參數；滾珠與滾道間的接觸應力分布情況受接觸載荷與接觸區域長短軸的分布情況影響；無論接觸角、接觸載荷還是接觸應力的分布不均勻性趨勢，都會隨著預緊載荷的變大而逐漸減小。

（3）含分區域虛擬材料層的滾珠軸承模型的虛擬材料層厚度和密度值皆已確定，而彈性模量和泊松比是通過多目標優化方法獲取，故結合部的建模精度主要由彈性模量和泊松比這2 個參數所決定；相較于彈性模量對主軸系統固有頻率而言，泊松比的影響較小。