基于參數不確定性條件下的齒輪彎曲疲勞可靠性靈敏度分析＊

李明凱 康賀銘 李永平 楊溥 陳雨 于歡 鄧海龍②

（①內蒙古工業大學機械工程學院，內蒙古 呼和浩特 010051；②內蒙古自治區先進制造技術重點實驗室，內蒙古 呼和浩特 010051）

齒輪作為機械傳動中應用最廣泛的一種傳動形式[1]，在采礦工程、裝備制造、交通運輸以及航空航天等諸多領域占據著重要地位。然而，受重載、高溫等惡劣工況的影響，齒面點蝕、齒根斷裂等齒輪疲勞失效問題時有發生，從而導致整體傳動系統的精度波動、運行失穩以及可靠性降低，而在運行周期為高周乃至超高周等疲勞領域尤為顯著。實際工況中，齒輪齒根彎曲應力主要導致彎曲疲勞失效，較大的齒面接觸應力主要導致接觸疲勞失效[2-3]；齒輪彎曲疲勞失效約占齒輪疲勞失效的1/3[4-5]。為了更為全面地評估齒輪彎曲疲勞可靠度指標以及更好地把握不同參數對齒輪彎曲疲勞的影響規律，對齒輪彎曲疲勞開展基于不確定條件下的可靠性靈敏度分析具有重要意義。

目前，眾多國內外學者對齒輪彎曲疲勞可靠性進行了深入研究，并由此產生了一系列的相關理論和方法。趙永翔等[6]基于標準和可靠性曲線，分析并確定了HXDIC 大功率機車傳動齒輪的抗彎疲勞強度、壽命和可靠性水平；Zhang J等[7]通過穩健性理論和方法，建立了基于齒輪接觸壽命參數和彎曲強度的可靠性模型，并考慮了不可避免的強度退化因素；安宗文等[8]對風電齒輪箱中的某從動輪的接觸疲勞和彎曲疲勞失效分別進行了可靠性靈敏度分析，分別確定了影響齒輪接觸疲勞與彎曲疲勞可靠性的最大參數；候志林等[9]通過仿真手段，對CRHBX 型動車組體進行有限元分析，獲得了影響可靠性的隨機變量參數，并計算得出多失效模式下的各參數可靠性靈敏度；張艷林等[10]采用擬蒙特卡羅法(quasi-Monte Carlo，QMC)并引入Halton 序列對可靠性靈敏度進行計算，通過對齒輪接觸疲勞可靠性及其可靠性敏感性的分析，驗證了QMC 方法在計算效率方面的優越性。蘇長青等[11]通過對飛機單角拉伸接頭進行有限元分析，獲得影響可靠性的隨機變量參數，并計算得出在多失效模式下的各參數可靠性靈敏度。

由于加工精度、安裝誤差、溫度變化以及振動等各項不確定因素的存在[8]，齒輪彎曲疲勞計算中的各項參數會在符合既定分布的情況下產生隨機波動。盡管國內外對齒輪彎曲疲勞可靠性的研究眾多，但基于一系列參數于不確定條件下的可靠性靈敏度模型依然很少。本文以滲碳Cr-Ni 齒輪為研究對象，慮及參數不確定條件的影響，為齒輪彎曲疲勞可靠性計算及靈敏度分析方法提供一定的借鑒。

1 齒輪構件及試驗

1.1 齒輪構件特性

本文選用漸開線直齒圓柱齒輪作為齒輪彎曲試驗構件，其模數為4，齒數為21，齒形角為25°，齒寬為20 mm，表面精度等級為6 級。齒輪的化學成分如表1 所示。

表1 齒輪的化學成分表

對齒輪材料進行表面滲碳、淬火、回火等熱處理工藝，以提高齒輪的力學性能，具體流程如圖1 所示。

圖1 齒輪熱處理工藝流程

1.2 疲勞試驗

室溫條件下，采用LG-300C 高頻拉壓疲勞試驗機進行齒輪彎曲疲勞試驗，脈動加載頻率約為102 Hz，應力比為0.04。齒輪彎曲疲勞試驗機如圖2a所示，齒輪疲勞試件的夾緊方法如圖2b 所示；由圖可知，測試齒輪通過夾具固定在試驗機的底部，沖頭可以沖擊到單齒嚙合區域上邊界點。為保證試驗設備的精度和壽命的安全及穩定性，當載荷或頻率下降至5%或者齒根出現可見裂痕時，及時停止試驗。考慮到時間及成本條件限制，在706 MPa、744.8 MPa、784 MPa 以及823.2 MPa 這4 種應力水平下，分別記錄有效數據各3 組。

圖2 應力比為0.04 的齒輪彎曲試驗

2 試驗結果與分析

2.1 齒輪彎曲疲勞S-N 曲線

在4 種應力水平下，對齒輪開展彎曲疲勞試驗，結果如圖3 所示。結果表明，疲勞失效循環數在104到108周次之間，且隨著彎曲疲勞壽命的增加，滲碳齒輪的彎曲疲勞強度呈連續下降趨勢。此外，彎曲疲勞試驗數據點在高應力區分散較小，而在低應力區分散較大?；谧畲笏迫粩M合方法和Basquin 模型對滲碳齒輪彎曲疲勞數據點進行擬合，得到滲碳齒輪的S-N擬合曲線，結果如圖3 實線所示。根據擬合曲線所示，滲碳齒輪在108循環下的彎曲疲勞極限值為666 MPa。

圖3 滲碳齒輪S-N 曲線

2.2 齒輪彎曲疲勞P-S-N 曲線

基于SPSS 軟件，檢驗在不同應力水平下的對數疲勞壽命是否服從正態分布，其概率分布如圖4所示。

圖4 各應力水平下對數疲勞壽命概率密度函數

由圖4 可知，各應力水平下對數壽命基本符合正態分布，其均值、標準差等量如表2 所示。

基于表2 中各應力水平下對數疲勞壽命概率密度函數，得到不同失效概率下的疲勞壽命，即P-S-N曲線，其擬合函數為

表2 各應力水平下對數疲勞壽命各項參數

結合式（1）及彎曲疲勞試驗數據，可得P-SN 曲線如圖5 所示；由圖5 可知，滲碳齒輪彎曲疲勞試驗數據點在所擬合的P-S-N 曲線之內，效果良好。

圖5 滲碳齒輪彎曲疲勞P-S-N 曲線

3 彎曲疲勞可靠度模擬

3.1 應力-強度干涉模型

機械產品若要正常使用，在一定的可靠度前提下，危險部位的許用強度S應大于或等于此處的最大應力 σ；否則，認為處于失效狀態。一般地，可設零件的強度、應力分布是相互獨立的，強度與應力隨機變量的概率密度函數可分別設為f(S)、g(σ)，模型如圖6 所示。

圖6 應力-強度干涉模型

則彎曲疲勞可靠度R為

式（2）所對應的計算式為[12]

3.2 慮及參數不確定性因素的彎曲疲勞可靠度模擬

單齒嚙合區上界點所在的圓直徑可以通過式（4）計算。

式中：de為嚙合上界點所在圓直徑；da為齒頂圓直徑；db為基圓直徑；m為模數；α為嚙合角；εα為重合度。重合度εα可通過式（5）計算得出

式中：αa為齒頂壓力角；αw為嚙合角（分度圓壓力角）。齒頂壓力角的計算公式為

依據齒輪相關參數，結合式（4）～（6），即可得到單齒嚙合區上界點所在圓直徑。

根據GB/T 14230-93，當脈沖載荷加載在單對齒嚙合區上界點時，直齒圓柱齒輪齒根彎曲應力計算公式為[13]

式中：T為對單個輪齒所施加的名義轉矩；YF為載荷作用于單齒嚙合區上界點時齒形系數；YS為載荷作用于單齒嚙合區上界點時的應力修正系數(可視為常數)；b為齒寬；m為齒輪模數；z為齒輪齒數；YST為齒輪的應力修正系數；YδrelT為相對齒根圓角敏感系數；YRrelT為相對齒根表面狀況系數；YX為計算彎曲強度的尺寸系數。慮及參數不確定性條件，將參數b、m、YST、YδrelT、YF、YRrelT、YX均視為服從正態分布的隨機變量[14-15]。

考慮到式（2）中各個參數的不確定性以及其他計算方法的繁瑣性，故根據應力-強度干涉模型，采用蒙特卡羅法進行可靠度求解計算：蒙特卡羅法以樣本均值代替總體均值，以足夠多的樣本可靠度代替總體可靠度計算，計算結果與實際可靠度極其相近，用其進行可靠度計算也是較為廣泛的數值模擬方法，且其對于功能函數的維數和分布形式均沒有特殊的要求。本文中蒙特卡羅法分析流程如圖7 所示。

圖7 蒙特卡羅法流程圖

結合MATLAB 軟件，確定抽樣次數為5 000 次，以保證較高的精度。慮及不確定性因素，使應力與強度在符合正態分布的條件下隨機產生，由此得到的滲碳齒輪彎曲疲勞極限應力為668 MPa，與圖3 中由試驗數據擬合得到的疲勞極限值吻合良好。彎曲疲勞極限應力于不同可靠度下的分析結果如表3 所示。

表3 不同可靠度下的齒輪彎曲疲勞極限應力

4 彎曲疲勞可靠性靈敏度分析

4.1 可靠性靈敏度分析理論方法

然而，齒輪彎曲疲勞可靠度對各項參數隨機性的響應程度不一；在不同可靠度下，研究齒輪彎曲疲勞對各項參數隨機性的響應情況，即可靠性靈敏度分析?？煽啃造`敏度的基本定義為失效概率Pf對隨機參數xi的數學期望μxi、標準差σxi的偏導

將式(8)轉為數學期望的表達式，得

采用蒙特卡羅法計算齒輪彎曲疲勞可靠性靈敏度，總期望由樣本期望代替，則均值靈敏度為

同理，總標準差由樣本標準差代替，則標準差靈敏度為

式中：L為蒙特卡羅法樣本數，E[ ]為樣本的數學期望，fx(x)為隨機參數的聯合概率密度函數IF(x)=為齒根失效區域F的表達函數。

由于影響齒輪彎曲疲勞可靠性靈敏度的各項隨機參數具有不同的量綱，只有消除量綱對失效概率的影響，才能使各項參數對失效概率的影響程度更好地表達。因此，無量綱的均值靈敏度由式（12）可得。

由于各項隨機參數均服從正態分布，則

式中：μi為對隨即參數x=(x1,x2,···,xn)T中第i個分量xi引入的標準正態變量。

因此，去除量綱影響后的均值失效靈敏度為

式中：μji為第j個樣本xj=(x1,x2,···,xn)的第i個分量xji所對應的標準正態化樣本。

由式（15）、（16）可得到不同可靠度下去量綱參數的均值靈敏度和方差靈敏度。

4.2 基于參數不確定性的彎曲疲勞可靠性靈敏度分析

根據表3 中齒輪彎曲疲勞可靠度分別為99%、90%、50%、10%、1%時所對應的各個齒輪彎曲應力，分析各個參數對齒輪彎曲疲勞可靠性的影響狀況?；谑?15)、(16)，并結合蒙特卡羅法，可以得到去除量綱后各項隨機參數于不同可靠度下的均值靈敏度和方差靈敏度，如圖8 所示。

圖8 不同可靠度下齒輪彎曲疲勞可靠性靈敏度

結合圖8 可知，本試驗中影響齒輪彎曲疲勞可靠性的7 個參數的均值靈敏度在各個可靠度下的變化均有正有負，且絕對值較小，表明它們的均值變化對可靠性的影響存在正相關和負相關，且影響較為平緩；而包括b、YST、YδrelT、YRrelT、YX及m在內的共6 個參數的方差靈敏度在各可靠度下均為正值，且絕對值較大，表明隨著這些隨機參數的方差增大，齒輪彎曲疲勞可靠度會劇烈地增大，其影響是積極的；而齒形系數YF的方差靈敏度在各可靠度下均為負值，且絕對值極小，表明隨著此隨機參數的方差增大，齒輪彎曲疲勞可靠度就會極緩地減小，其影響是消極的。

5 結語

需要注意的是，本文研究內容針對于文中所述的試驗材料及相關條件下，對于其是否適用于其他材料仍需進一步研究。故基于本文試驗數據及相關分析，本文所得結論如下：

（1）基于4 種應力水平下的疲勞試驗，擬合得到了滲碳齒輪的S-N 曲線，滲碳齒輪在108循環下的彎曲疲勞極限值為666 MPa。

（2）基于SPSS 軟件，分析并檢驗了各應力水平下對數壽命基本符合正態分布，且滲碳齒輪彎曲疲勞試驗數據點均在所擬合的P-S-N 曲線之內，效果良好且符合實際。

（3）基于應力-強度干涉模型，慮及不確定性因素影響，采用蒙特卡羅法對齒輪彎曲疲勞可靠度進行模擬計算，所得彎曲疲勞極限值為668 MPa，與S-N 曲線基本相符；并進一步分析了不同可靠度下的彎曲疲勞極限應力。

（4）結合蒙特卡羅法以及均值與方差靈敏度計算模型，得到了去除量綱后各項隨機參數于不同可靠度下的均值靈敏度和方差靈敏度結果：各均值靈敏度在不同可靠度下的正、負相關性并存在且影響平緩；而在方差靈敏度中，除參數YF在各可靠度均為負值且影響平緩以外，其余6 參數在各可靠度下均為正值，且影響劇烈。