受軸向沖擊薄壁圓管的幾何畸變相似律研究*

楊磊峰，常新哲，徐 緋，王 帥，劉小川，惠旭龍，李肖成

（1. 西北工業大學航空學院計算力學與工程應用研究所，陜西 西安 710072；2. 中國飛機強度研究所結構沖擊動力學航空科技重點實驗室，陜西 西安 710065）

薄壁圓管憑借其自身結構簡單，變形、破壞模式穩定，軸壓峰值力與平均力的可設計性以及能量吸收可控等優點，被廣泛地應用于抗沖擊領域，如飛機墜撞防護、緩沖器以及其他的工程領域等。薄壁圓管在軸向沖擊壓縮載荷作用下的屈曲問題長期以來備受關注。Alexander 等針對理想剛塑性材料制成的薄壁圓管，應用具有塑性鉸的簡化軸對稱變形模式，推導出了軸對稱條件下的軸壓載荷下薄壁圓管的平均力。該變形模型獲得了學者的廣泛認可并得到了大量的推廣應用。Abramowicz 等基于Alexander等的研究結果，對薄壁圓管軸對稱變形時的折皺長度公式進行了修正，試驗結果表明，修正后的公式可以較好地預測軸對稱變形以及金剛石變形模式下的薄壁圓管的折皺長度。Karagiozova 等對受軸向沖擊的彈塑性材料薄壁圓管的峰值載荷進行了研究，分別獲得了Mises 屈服條件和Tresca 屈服條件下的峰值載荷。Lu 等在Alexander 等的基礎上，提出了一種新的運動位移場，求解了更加合理的薄壁圓管折皺長度公式，并改進了軸對稱變形下的載荷位移曲線。這些重要的研究為理解軸向沖擊圓管的變形行為奠定了理論基礎。

結構的沖擊承載安全性是結構設計的重要組成部分，但是大結構的全尺寸沖擊試驗極其耗時耗力，需要付出大量的人力物力和財力，因此一般使用比例模型試驗來替代結構全尺寸原型。Jones通過量綱分析，建立了結構沖擊問題的經典相似理論，由于該理論基于簡單的幾何相似關系，因而廣受重視。Oshiro 等采用新的量綱分析體系克服經典相似律解決材料相似時的理論困難，提出一種通過修正沖擊速度或密度的方式，來適應應變率敏感性以及比例模型與原型使用不同材料時的畸變問題的相似方案。王帥等通過建立應變率區間上比例模型預測的流動屈服應力與原型流動屈服應力的最佳逼近關系，獲得了速度比例因子的直接相似關系，從而擴展了相似律的應用技術。李肖成等通過調整薄板結構的厚度，修正了比例模型與原型采用不同材料時引起的畸變問題。秦健等基于VSG 量綱體系，研究得到了加筋板結構在水下爆炸沖擊波作用下模型和原型的動態響應相似關系。

然而，在實際工程應用中還存在加工制造等難題，通常，薄壁圓管的厚度不一定能夠和半徑以及長度按照相同的比例因子進行縮放，這就會產生畸變模型，從而導致原有的相似律失效。Alves 等提出單獨考慮幾何畸變以及應變率效應，并通過經驗方法不斷迭代幾何畸變對縮比相似影響所占的比重來修正速度比例因子。Mazzariol 等通過塑性彎矩的無量綱數改進了經驗法，提出了一種解決薄板和梁結構的幾何畸變問題的新方法。Wang 等基于定向量綱的分析方法，從理論上克服了幾何畸變的相似律難題，針對薄板沖擊模型系統表達了幾何畸變的相似體系。盡管這些研究在解決幾何畸變相似律的問題上取得了重要的理論進步，但是針對薄壁圓管的幾何畸變修正方法的研究分析并未開展，而且在實際的受軸向沖擊載荷作用的薄壁圓管縮比相似分析中厚度畸變幾乎不可避免。

本文中針對受軸向沖擊載荷作用的薄壁圓管，基于方程分析與量綱分析，以載荷、位移和能量為關鍵設計參數，推導薄壁圓管幾何畸變的動態響應相似律，此方法可推廣至考慮材料應變率以及應變硬化效應和幾何畸變問題耦合時的比例模型與原型物理量對應關系的描述。

1 薄壁圓管相似律分析

在結構沖擊相似分析中，一般使用基于一組無量綱數的比例因子來預測比例模型的力學行為，如VSG 量綱體系或DLV 量綱體系，其比例因子如表1 所示。其中，比例模型和原型相關的物理量分別用下標m 和p 表示，β=/表示比例模型和原型相關物理量的比值，例如β=/表示比例模型和原型速度的比值，比例模型和原型的幾何比例因子β=/。

表1 純幾何相似律比例因子[10-11]Table 1 Scaling factors by pure geometric similarity[10-11]

基于表1 中的相似關系，目前針對受軸向沖擊載荷作用的薄壁圓管的相似律研究對象均為純幾何縮放的比例模型，也就是說薄壁圓管的厚度、長度和半徑服從同一個幾何比例因子，亦即β= β=β =β。

但對于薄壁圓管而言，由于其自身幾何尺寸的特性，厚度方向的尺寸與半徑和長度方向的尺寸完全不在一個量級，厚度方向若要按照長度和半徑的幾何比例因子進行縮放，會導致比例模型加工的成本遠遠超過加工一個原型試驗件的費用。并且，受到加工限制，其厚度方向的尺寸并不一定能夠與長度和半徑按照同一個幾何比例因子進行縮放，這時就會產生幾何畸變模型，這時，β= β= β =β 這一基礎條件會遭到破壞，將會導致表1 中的相似律不能全部滿足，這就需要重新推導薄壁圓管的相似律。

1.1 受軸向沖擊的薄壁圓管塑性響應相似律分析

考慮到薄壁圓管的結構響應特性，以薄壁圓管壓潰過程中的平均載荷、位移和能量這3 個響應變量作為相似設計的關鍵參數。影響薄壁圓管壓潰特性的參量有：厚度、半徑、長度、沖擊速度、沖擊質量、材料的密度ρ、流動屈服應力σ。

根據薄壁圓管理論，在推導過程中做如下假設：

（1）受軸向沖擊載荷作用的薄壁圓管的變形模式服從Alexander 所給出的軸對稱變形模式，如圖1 所示；

圖1 軸向受壓薄壁圓管的軸對稱壓潰模式Fig. 1 Axisymmetric crushing mode of the thin-walled cylindrical shell under axial compression

（2）薄壁圓管壁厚與半徑及長度相比為小量，服從薄殼理論；

（3）與彈性變形相比，塑性變形占據主導地位，彈性變形可以忽略不計；

（4）薄壁圓管使用理想彈塑性材料，材料的流動屈服應力為一定值；

（5）薄壁圓管受到重撞擊物的低速沖擊；

（6）定義基本幾何比例因子：β = β= β。

當薄壁圓管發生圖1 所示的準靜態壓潰模式時，Alexander給出了該模式下的薄壁圓管每產生一個完整折皺時的平均壓潰力和折皺長度的表達式：

式中：為沖擊塊的質量，為撞擊物的初始速度。

將式（2）代入式（3）可得：

對于遵循圖1 所示的壓潰模式的薄壁圓管來說，在折皺的軸對稱部分段，距離點徑向距離為的微元伸長量為：

對應該微元處的環向應變為：

不難發現，圖1 中段各點處的環向應變與成正比，那么對于一個完整折皺，∈[0,]，其平均環向應變為：

綜上所述，得到受軸向沖擊載荷的薄壁圓管的縮放比例因子，見表2，當比例模型與原型滿足表2 中的比例因子時，比例模型可以準確地預測原型的動態響應。

表2 受軸向沖擊的理想彈塑性薄壁圓管比例因子Table 2 Scaling factors of the elastic-ideal plastic thin-walled cylindrical shell under axial impact loading

1.2 考慮應變率效應和應變硬化效應的相似律分析

實際工程中，理想彈塑性的材料是幾乎不存在的，絕大多數金屬材料的塑性階段都存在著應變率效應和應變硬化效應，如圖2 所示，材料的流動屈服應力是應變和應變率的函數而非一固定值，即：

圖2 金屬材料應力-應變曲線Fig. 2 Stress-strain curves of metal materials

至此，我們將理想彈塑性假設下的薄壁圓管縮比相似分析拓展到了同時伴有應變率效應和應變硬化效應的一般材料薄壁圓管縮比相似分析的應用中。

2 數值驗證

2.1 有限元模型

為了驗證本文所推導的相似律對于結構縮比相似分析中的應變率和應變硬化效應畸變問題以及幾何畸變問題的修正能力，在ABAQUS中建立了如圖3 所示的薄壁圓管模型進行驗證分析。薄壁圓管原型的長度=240 mm，中性面半徑=60 mm，壁厚=1.8 mm。薄壁圓管材料選取應變率較為敏感的1006 鋼，采用Johnson-Cook 本構模型進行數值模擬，材料參數見表3。

圖3 受軸向沖擊的薄壁圓管示意圖Fig. 3 Schematic diagram of a thin-walled cylindrical shell under axial impact

表3 1 006 鋼的材料參數[24]Table 3 Material parameters of 1 006 steel[24]

薄壁圓管采用CAX4R 軸對稱單元進行仿真，錘頭和地面則使用剛體單元。薄壁圓管自由放置于剛性地面上，頂部受到質量=128 kg、速度=12 m/s 的質量塊沖擊。薄壁圓管與地面之間的摩擦因數為0.2，圓管內壁、外壁之間設置為無摩擦。

分別建立了基本幾何比例因子β=1/10，厚度方向的比例因子β分別為 0.12、0.15、0.18 和0.20 的比例模型。并按照表2 所給出的相似律獲得速度修正比例因子，定義幾何畸變度η = β/β。由表2 可得理想彈塑性材料的薄壁圓管幾何畸變比例模型的各動態變量的比例因子，見表4。同時為了驗證本文對于應變率和應變硬化效應與幾何畸變效應耦合后的修正方法，建立了考慮應變率效應和應變硬化效應后的薄壁圓管幾何畸變比例模型，并按照式(18)所給出的方法獲得應變率區間和應變硬化區間上的最佳速度比例因子，通過表2 即可獲得比例模型與原型各動態變量的比例因子，見表5。其中，應變率區間和應變區間在大量數值模擬經驗的基礎上分別選取為[0, 500]和[0, 0.6]。

表4 理想彈塑性模型幾何畸變比例因子Table 4 Scaling factors of geometrically-distorted models of elastic-ideal plastic material

表5 考慮應變率效應和應變硬化效應幾何畸變模型比例因子Table 5 Scaling factors of geometrically-distorted models considering strain-rate sensitivity and strain hardening

2.2 結果分析

2.2.1 理想彈塑性幾何畸變模型結果分析

圖4 為使用本文提出的受軸向沖擊的薄壁圓管幾何畸變修正方法后，獲得的修正后理想彈塑性薄壁圓管的幾何畸變比例模型與原型結構動態響應時間曲線的對比。圖4(a)為錘頭的速度-時間響應曲線，圖4(b)為薄壁圓管首個折皺處塑性鉸位置的等效塑性應變-時間響應，圖4(c)、(d)分別為錘頭的位移和能量-時間響應曲線，圖4(e)為薄壁圓管幾何畸變比例模型與原型載荷時間-曲線的對比。表6 為修正后的薄壁圓管幾何畸變模型所預測原型的峰值位移和平均載荷與原型響應之間的相對誤差。

表6 比例模型與原型的峰值位移和平均載荷相對誤差Table 6 Relative errors in the peak displacement and average force between the scale models and prototype

圖4 原型與比例模型的動態響應-時間曲線Fig. 4 Dynamic response-time curves of the scale models and the prototype

從圖4 可以看出，修正前的不同幾何畸變度的理想彈塑性薄壁圓管比例模型的響應曲線基本無法重合，各條曲線上的相應點所對應的時間與值均不相等，而修正后的理想彈塑性薄壁圓管幾何畸變比例模型與原型的速度、能量、位移、等效塑性應變和載荷-時間曲線重合性明顯改善，修正后的比例模型的速度和應變-時間曲線與原型的響應曲線完全重合。對于本文推導過程中的3 個關鍵設計參數：能量、位移δ 和平均載荷，修正后的比例模型的位移和能量曲線與原型的響應曲線重合性也非常好，但是修正后的比例模型與原型的載荷-時間曲線重合度不是很高。這是因為本文推導的相似律以能量、位移δ 和平均載荷作為關鍵相似設計參數，薄壁圓管的折皺長度與位移δ 并不服從同一個比例因子，因此幾何畸變比例模型與原型的折皺數量并不一致，導致修正后的比例模型和原型的載荷-時間曲線無法完全重合，但是相較修正前，其誤差已經大大減小，且其整體的時間趨勢一致性比較良好。因此我們又分析了比例模型與原型的峰值位移和平均載荷的誤差，從表6 可以看到，即使幾何畸變度達到2，比例模型所預測的結果與原型的峰值位移和平均載荷的相對誤差均不超過6%。

綜上所述，使用本文所推導的相似律，修正后的理想彈塑性薄壁圓管幾何畸變比例模型的動態響應可以準確地預測原型的動態響應。

2.2.2 考慮應變率效應和應變硬化效應幾何畸變模型結果分析

使用本文提出的受軸向沖擊的一般材料薄壁圓管幾何畸變修正方法，同時考慮應變率效應和應變硬化效應與幾何畸變問題，獲得的修正后比例模型預測結果與原型動態響應時間曲線的對比如圖5 所示。圖5(a)為錘頭的速度-時間響應曲線，圖5(b)為薄壁圓管首個折皺處塑性鉸位置的等效塑性應變-時間響應，圖5(c)、(d)分別為錘頭的位移和能量-時間響應曲線，圖5(e)為修正前后的薄壁圓管幾何畸變比例模型與原型載荷時間-曲線的對比。表7 為考慮應變率效應和應變硬化效應，修正后的薄壁圓管幾何畸變模型所預測原型的峰值位移與平均載荷與原型響應之間的相對誤差。

圖5 修正后的比例模型與原型的動態響應-時間曲線Fig. 5 Dynamic response-time curves of the modified scaled models and the prototype

從圖5 可以看出，修正前的不同幾何畸變度的一般材料薄壁圓管比例模型的響應曲線基本無法重合，各條曲線上的相應點所對應的時間與值均不相等，而修正后的一般材料薄壁圓管幾何畸變比例模型與原型的速度、能量、位移、等效塑性應變和載荷-時間曲線重合度明顯提高。修正后的比例模型的速度和應變-時間曲線與原型的響應曲線基本完全重合。對于本文推導過程中的3 個關鍵設計參數：能量、位移δ 和平均載荷，修正后的比例模型的位移和能量曲線與原型的響應曲線重合度非常高，但修正后的幾何畸變比例模型的載荷-時間曲線與原型重合度不是很高，原因如2.2.1 節所述。然而隨著幾何畸變度的增大，修正后的比例模型的動態響應變量曲線與原型的動態變量響應曲線的重合程度逐漸降低。對比修正后的比例模型與原型的峰值位移和平均載荷，從表7 中可以看到，即便幾何畸變度增大至2，比例模型所預測的結果與原型的峰值位移相對誤差依然不超過6%，平均載荷的誤差亦不超過8%。

表7 考慮應變率與應變硬化效應的比例模型位移與平均載荷相對誤差Table 7 Relative errors in the peak displacement and average force of the scaled models considering strain-rate sensitivity and strain hardening

可見，通過使用本文所推導出的薄壁圓管相似律，對考慮應變率效應和應變硬化效應的一般材料薄壁圓管幾何畸變比例模型進行修正后，比例模型可以準確地預測原型的動態響應。

3 結 論

以受軸向沖擊載荷的薄壁圓管為研究對象，基于量綱分析與方程分析，推導了薄壁圓管結構的幾何畸變相似律。

（1）通過能量守恒定律，直接建立了結構幾何特征與沖擊速度和沖擊質量的關系，解決了理想彈塑性材料薄壁圓管的壁厚、半徑和長度非等比例縮放的不相似問題。

（2）建立應變區間和應變率區間上比例模型預測的流動屈服應力與原型流動屈服應力的最佳逼近關系，解決了考慮材料應變率和應變硬化效應與薄壁圓管幾何畸變問題耦合時的不相似問題。

（3）通過數值模擬驗證了該方法的有效性，研究表明，使用該方法可大幅降低幾何畸變模型預測結果與原結構實際響應的誤差，特別是軸向沖擊問題備受關注的載荷和能量，相似誤差最大不超過8%。

但該相似律只適用于幾何畸變比例模型滿足薄殼假設且彈性變形能占比可忽略時的薄壁圓管幾何畸變相似性分析，對于不滿足該條件的薄壁圓管相似性分析還需進一步研究。