含濕相變粗糙多孔材質的熱質耦合分形研究*

高偉業，張 賽，張 杰，胡世旺，汪振毅

（昆明理工大學 機電工程學院，昆明 650500）

引言

多孔材質內部復雜的傳熱傳質過程對于能源開發和工程隔熱等領域至關重要[1-2]，因此研究多孔材質的熱質耦合傳遞具有重要的工程應用價值.馮守玲等[3]假定多孔材質為均勻連續結構，構建了不同粒徑和不同流速下的多孔介質固定床模型，根據連續性方程對溫度場分布進行了數值模擬研究.何增等[4]運用數值離散方法，對氣體在低含水率介質中的遷徙進行了數值模擬，得出了估算氣體遷徙距離的半經驗公式.石金誠等[5]運用能量分析的方法和微分不等式技術，構建了雙擴散擾動模型，分析了流體在多孔介質中的流動情況.實際上，多孔材質的內部是非均勻連續的，其內部的結構參數對傳熱傳質過程有著重要意義.徐鵬等[6]和Li 等[7]根據多尺度多孔介質的分形標度特征，建立了光滑單相毛細管道模型，分析了多孔材質內部參數對氣體的滲流和擴散機制的影響.張賽等[8]運用分形理論建立了具有隨機性的氣體擴散模型，分析了氣體的不同擴散機制與結構參數之間的關系.陳家豪等[9]根據改進的偽勢格子Boltzmann(LB)兩相模型，結合幾何潤濕邊界條件，分析了多孔介質內接觸角滯后性對非混相驅替效率的影響.Wu 等[10]建立了多尺度的球狀模型，將孔隙通道描述為不規則半徑毛細管道，推導出不規則半徑毛細管道內的滲流系數和導熱系數.這些研究只分析了多孔材質的孔道表面為光滑條件下的傳熱和傳質特性.實際工程中，孔道表面一般為粗糙表面，并且多孔材質中的傳熱傳質過程有耦合作用.鄭川等[11]基于多孔介質傳熱和地下水流動理論，建立了一維滲流-傳熱模型，分析了滲流速度、方向對管道傳熱特性的影響.張春平[12]建立了粗糙表面管道模型，對粗糙微細通道內的流動和換熱特性進行了研究，發現孔道尺度越小，粗糙表面對流動和換熱特性的影響越大.盛漢乾[13]建立了微波加熱多孔瀝青路面耦合模型，分析了含濕狀態下孔隙率等結構參數對微波加熱效果的影響.可以看出，多孔材質的內部結構、含濕狀態和相變都對熱質耦合傳遞過程有著重要影響.

為了準確體現內部結構、含濕狀態和相變對熱質耦合傳遞過程的影響，本文運用分形理論構建了含濕相變粗糙表面孔道模型，推導出了含有明確物理參數的滲流系數和耦合等效導熱系數的表達式，分析了多孔材質的結構參數、含濕飽和度和相變對熱質耦合傳遞的影響.

1 多孔材質的分形特征

2 含濕相變粗糙表面孔道模型

2.1 Gauss 函數粗糙表面模擬

對于多孔材質孔道粗糙表面的粗糙度的定義大致分為兩類：一類為粗糙元的高度與其底部等效半徑的比值，稱為絕對粗糙度；另一類為粗糙元的高度與孔道半徑的比值，稱為相對粗糙度.因為相對粗糙度與孔道之間的聯系更加明顯，本文選取相對粗糙度對孔道粗糙表面進行描述：

式中，?為相對粗糙度；h為粗糙元的高度，m.

在直角坐標系下，假設m個點Pi(xi,yi,zi)，其中i的取值區間為[1，m]，x和y方向為固定間距取值，z方向為粗糙元的隨機高度，xi，yi，zi的表達式為

式中，Δx=0.1，Δy=0.1 分別為x和y方向的增量，?為滿足要求的Gauss 函數隨機生成的相對粗糙度.

粗糙表面的粗糙元為隨機分布并且相對粗糙度?的取值區間一般為0.05～0.1，為了保證99.7%相對粗糙度?的取值分布在此區間，取Gauss 函數置信區間為

可求出函數均值u=0.075，函數標準差n=0.008.

故可構建出符合相對粗糙度?取值區間的Gauss 函數為

式中，函數方差σ=n2.

圖1 為孔道粗糙表面的三維仿真圖，其中孔道半徑r=20 μm，并展開x和y方向長度為20 μm 的粗糙平面.將其劃分為200 個網格點，并進行矩陣排列，每一個(xi，yi)點對應一個隨機高度zi=?r.可以看出粗糙元的高度分布符合隨機分布并且符合上述相對粗糙度?的取值區間.

圖1 Gauss 函數三維粗糙表面模型Fig.1 The Gauss function 3D rough surface model

2.2 孔道有效半徑

根據上述可知，粗糙元的存在對多孔材質孔道半徑的影響不可忽略.此外，當孔道內存在濕相并且發生相變時，孔道半徑會隨著飽和度s的變化而變化，進而影響其內部的熱質耦合傳遞過程，使其耦合傳遞過程更加復雜.所以當粗糙表面孔道存在含濕相變問題時，其非濕相孔道有效半徑可以表示為與相對粗糙度?和飽和度s有關的函數：

從式(13)可以看出相對粗糙度?和飽和度s都是其重要的影響因素.

3 含濕相變粗糙表面多孔材質滲流系數

3.1 滲流量

3.2 滲流系數

4 含濕相變粗糙表面多孔材質耦合等效導熱系數

含濕相變粗糙表面多孔材質內部的傳熱過程十分復雜.其內部包括固相、濕相、氣相各自和彼此之間的傳熱過程，此外滲流過程也會極大地影響傳熱過程.下文分析了各相的傳熱過程以及熱質耦合傳遞過程，并推導出熱質耦合作用下的等效導熱系數.

4.1 固相傳熱過程

固相的傳熱過程主要包括固相之間的熱量傳遞、固相的熱量儲存以及固相和濕相之間的熱量傳遞：

式中，(ρc)m為固相密度比熱容積，kJ/( kg·m3·K)；?Tm/?t為固相溫度變化梯度，℃/s；?Tm/?l為固相兩端溫度梯度，℃/m；Q1為固相與濕相之間的對流換熱量，kJ；λm為固相在Tm下的導熱系數，W/(m·K).

4.2 濕相傳熱過程

濕相的傳熱過程主要包括濕相傳質過程引起的熱量傳遞，濕相的熱量儲存，濕相和固相、氣相之間的熱量傳遞以及濕相相變引起的熱量傳遞：

式中，(ρc)w為濕相密度比熱容積，kJ/( kg·m3·K)；?Tw/?t為濕相溫度變化梯度，℃/s；?Tw/?l為濕相兩端溫度梯度，℃/m；Q2為濕相與固相、氣相之間的對流換熱量，kJ；γ 為濕相相變潛熱系數；λw為固相在Tw下的導熱系數，W/(m·K)；uw=kcwΔP/(μwL0)為濕相的滲流速度，m/s；M=(s1–s)ρv為濕相的相變質量，kg.

4.3 氣相傳熱過程

氣相的傳熱過程主要包括氣相傳質過程引起的熱量傳遞、氣相的熱量儲存以及氣相和濕相之間的熱量傳遞：

式中，(ρc)g為濕相密度比熱容積，kJ/( kg·m3·K)；?Tg/?t為氣相溫度變化梯度，℃/s；?Tg/?l為氣相兩端溫度梯度，℃/m；Q3為氣相與濕相之間的對流換熱量，kJ；λg為氣相在Tg下的導熱系數，W/(m·K)；ug=kcgΔP/(μgL0)為氣相的滲流速度，m/s.

根據能量守恒有

4.4 熱質耦合等效導熱系數

聯立式(21)～(24)，根據Fourier 熱傳導定律，在考慮相對粗糙度、飽和度以及耦合作用情況下的熱質耦合等效導熱系數的表達式為

式中，λdeff為等效導熱系數，W/(m·K)；?Tdeff/?l為等效溫度梯度，℃/m.可以看出，對于多孔材質而言，其內部結構參數、傳質過程和相變對傳熱過程有著重要的影響.

5 分析與討論

上文已給出多孔材質孔道相對粗糙度的取值區間為0.05～0.1.分形維數可由分形理論與孔道半徑求得，當rmin/rmax→ 10–3，孔隙率取值在0.25～0.5 時，面積分形維數Df取值為1.8～1.9，迂曲分形維數Dt取值為1.1～1.2.

5.1 等效導熱系數與孔隙率的關系

圖2 為多孔材質等效導熱系數λdeff的數值解與理論解的對比.從圖2 中可以看出，當不考慮耦合和相變因素時，式(25)得到的數值解與文獻[15]中的理論解吻合得很好.當考慮耦合和相變因素時，等效導熱系數λdeff會有所增大，并且增大幅度隨著孔隙率φ 的增加而增大.這是因為孔隙率φ 的增加會增大濕相的含量，從而導致滲流量和相變量增加，并且滲流和相變引起的熱量傳遞遠大于固相和氣相引起的熱量傳遞.通過以上分析可知，滲流和相變引起的熱量傳遞在等效導熱系數中的占比較大.

圖2 等效導熱系數λdeff 與孔隙率φ 的關系Fig.2 The relationship between equivalent thermal conductivity λdeff and porosity φ

5.2 環狀滲流系數的影響因素

圖3 為在不同的面積分形維數Df下濕相環狀滲流系數kcw與飽和度s的關系.圖3 表明，當相對粗糙度ε=0.075，迂曲分形維數Dt=1.15，面積分形維數Df分別為1.8，1.85，1.9 時，kcw隨著s的增大而增大，并且kcw的變化幅度逐漸減小，在s=0.7 后，kcw趨近于濕相飽和滲流系數.這是因為s增大，濕相含量增加，滲流量增加，并且隨著s的增大，濕相含量的增加量越來越少.同時，圖3 也表明，當s相同時，Df越大，kcw越大.這是因為Df越大，孔隙率越大，并且大孔徑孔道的數量增加，流動性能提高，有利于滲流.

圖3 面積分形維數Df 對環狀滲流系數kcw 的影響Fig.3 The influence of area fractal dimension Df on annular seepage coefficient kcw

圖4 給出了在不同的迂曲分形維數Dt下濕相環狀滲流系數kcw與飽和度s的關系.圖4 表明，當ε=0.075，Df=1.85，Dt分別為1.1，1.15，1.2 時，kcw隨著s的增大而增大.圖4 也表明，當s相同時，Dt越大，kcw越小.這是因為Dt越大，孔道的迂曲程度越大，滲流過程中阻力越大，越不利于滲流.

圖4 迂曲分形維數Dt 對環狀滲流系數kcw 的影響Fig.4 The influence of tortuous fractal dimension Dt on annular seepage coefficient kcw

圖5 給出了在不同的飽和度s下濕相環狀滲流系數kcw與相對粗糙度ε 的關系.圖5 表明，當Df=1.85，Dt=1.15，s分別為0.4，0.5，0.6 時，kcw隨著ε 的增大而減小，并且隨著ε 的增大，不同s取值下的kcw差距逐漸減小.這是因為相對粗糙度ε 越大，孔道有效半徑越小，滲流量減少，kcw減小，并且ε 越大，影響作用越明顯.同時，圖5 也表明，當ε 相同時，s越大，kcw越大.這是因為s越大，濕相含量越大，滲流量越大，kcw越大.

圖5 飽和度s 對環狀滲流系數kcw 的影響Fig.5 The influence of saturation s on annular seepage coefficient kcw

5.3 等效導熱系數的影響因素

圖6 給出了在不同滲流系數下等效導熱系數λdeff與相對粗糙度ε 的關系.圖6 表明，當滲流系數相同時，λdeff隨著ε 的增大而減小.這是因為隨著相對粗糙度ε 的增大，孔道的有效半徑減小，孔隙率φ 減小，雖然固相的熱量傳遞有所增加，但增加量遠小于濕相和相變的熱量傳遞減少量，與圖2 分析一致.同時，圖6 也表明，當ε 相同時，λdeff隨著滲流系數的增加而增大.這是因為滲流系數增加，濕相和氣相的滲流速度增加，滲流量增加，滲流過程對熱量傳遞的影響增大.

圖6 滲流系數對等效導熱系數λdeff 的影響Fig.6 The effect of the seepage coefficient on equivalent thermal conductivity λdeff

圖7 給出了在相同初始飽和度s1=0.5 時，不同飽和度s下的等效導熱系數λdeff與相對粗糙度ε 的關系.圖7表明，當ε 相同時，λdeff隨著s的減小而增大.這是因為飽和度s減小，相變量增加，相變的熱量傳遞增加量大于滲流的熱量傳遞減少量.同時，圖7 也表明，當ε 越來越大，不同s下的λdeff差距越來越小.一方面是因為相變對熱量傳遞的影響越來越小；另一方面是因為有效半徑減小，孔隙率φ 減小，相變引起的氣體膨脹壓強差對滲流速度的促進效果越來越明顯，同一ε 下，滲流量增加，滲流對熱量傳遞的影響增大.

圖7 飽和度s 對等效導熱系數λdeff 的影響Fig.7 The influence of saturation s on equivalent thermal conductivity λdeff

6 結論

本文根據Gauss 隨機分布函數建立了含濕粗糙表面孔道模型，運用分形理論推導出了含濕相變粗糙表面多孔材質的滲流系數和耦合等效導熱系數的表達式.定量分析了面積分形維數、迂曲分形維數、含濕飽和度及相對粗糙度對滲流系數、耦合等效導熱系數的影響.結果表明：

1)濕相非飽和滲流過程中，環狀滲流系數隨著飽和度的增加而增大，并且增大幅度逐漸減小.當飽和度到達0.7 后，環狀滲流系數趨近于飽和滲流系數.

2)熱量傳遞過程中，滲流和相變引起的熱量傳遞對等效導熱系數的影響不可忽略.

3)相同初始飽和度的情況下，孔隙率越小，相變對熱量傳遞的效果越來越不明顯，相變引起的氣體膨脹壓強差越來越明顯.