同余數的部分驗證

張家俊，史展銘，王振華，張明達

（中國礦業大學（北京），北京）

一 引言

“勾三股四弦五”，這樣的直角三角形的三邊都是有理數，我們稱它為“有理直角三角形”。同時，比較湊巧的是，這個“勾三股四弦五”的直角三角形的面積又恰好是一個整數，這樣的有理直角三角形所對應的為整數的面積被稱為同余數。

同余數問題在數學界被稱為三大千年數論難題之一（另外兩個是完全數問題與三次和三次以上丟番圖方程有解問題）。古阿拉伯人是通過研究直角三角形的面積提出同余數問題的。對于直角三角形，人們已經知道，它的三邊滿足方程a2+b2=c2，這就是我們所說的的勾股定理（在國外又被稱為畢達哥拉斯定理）。當直角三角形的三邊 a, b, c均為有理數，若直角三角形的面積為正整數，這樣的就是古阿拉伯人所欲求得的同余數。

二 預備知識與相關結論

（一） 勾股數

勾股數，又名畢氏三元數 。勾股數就是可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數。勾股定理：直角三角形兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方（a2+b2=c2）

（二） 同余數

n 被稱為同余數，如果它是三邊邊長都是有理數的直角三角形的面積[2]。即：如果存在三個正有理數 a, b, c, 滿足a2+b2=c2,和面積此數n就稱為同余數。

整同余數: 如果正整數n是同余數, 那么,n 稱為整同余數。

設 n 是正有理數,且對n=s2r,這里s是正有理數,而r是無平方因子的正整數,那么n是同余數當且僅當r是同余數。

由此可見同余數的問題可轉化為整同余數來處理。

整同余數重要結論：

定理： n 是整同余數的充要條件為存在正整數 a,b, v，使得：

nv2=|6a2b2?a4?b4| or 4ab(a2b2) 其中 ,a,b 是正整數 ,a ＞ b,(a,b)=1, a, b 一奇一偶。

本原同余數：

如果一個A 是不含平方因子的整同余數，則 A稱為本原同余數。

（三） BSD猜想

BSD 猜想，全稱貝赫和斯維納通-戴爾猜想BirchandSwinnerton?Dyer，屬于世界七大數學難題之一。它描述了阿貝爾簇的算術性質與解析性質之間的聯系[2-3]。

由 BSD 猜想可以推出奇偶性猜想、西爾維斯特猜想等很多猜想。其中最著名的是與同余數問題的關系，從BSD猜想可以推出模 8余5,6,7的無平方因子的正整數一定可以成為某個有理邊長直角三角形的面積。

把這個定理與橢圓曲線理論相聯系，使人們對同余數問題的研究有了重大的進展，不過人們同時也發現，用這個定理去求解一個具體的同余數仍然非常地困難。例如，人們已知157是同余數，但在方程的最小解中，x的分母和分子都近100位。

注 1：阿貝爾簇是一個代數群,它同時又是完全代數簇。完全性的條件蘊涵著對阿貝爾簇的嚴格限制。因 而阿貝爾簇可以作為閉子簇嵌入射影空間；非奇異簇道阿貝爾簇道每個有理映射都是正則的， 阿貝爾簇上的 群律是可交換的。

注 2：環面（torus）是一個面包圈形狀的旋轉曲面，由一個圓繞一個和該圓共面的一個軸回轉所生成。在拓撲學上，環面是一個定義為兩個圓的積的閉合曲面。

定義一：與S1×S2同胚的曲面稱為環面，它是虧格為 1 的可定向閉曲面。通常，環面可以看作由一個長方體按照逆時針方向分別疊合左右兩邊和上下兩邊而得到的。

定義二：若一個線性代數群 G 同構于某個 D(n,k)，則稱 G 是一個環面。連通的可對角化代數群一定是一個環面。

（四） 橢圓曲線

橢圓曲線是域上虧格為 1 的光滑射影曲線，它的(仿射) 方程，通常稱為維爾斯特拉斯方程，可以 寫 作：y2+ay=x3+ax2+bx+c或y2=x（x-1）（x-λ），λ=0,1復數域上的橢圓曲線為虧格為 1 的黎曼面[5,7]。

如果這個域的特征不等于2和3,則可以改寫成y2=x3+ax+b

作為實曲面看，橢圓曲線是帶有一個“洞”的環面。此環面可以通過同向粘合正方形的兩對對邊得到，其拓撲虧格為 1。

注 1：虧格是代數幾何和代數拓撲中最基本的概念之一。虧格的定義為若曲面中最多可畫出n條閉合曲線同時不將曲面分開，則稱該曲面虧格為n。以實的閉曲面為例，虧格g 就是曲面上洞眼的個數。

注 2：環面（torus）是一個面包圈形狀的旋轉曲面，由一個圓繞一個和該圓共面的一個軸回轉所生成。在拓撲學上，環面是一個定義為兩個圓的積的閉合曲面。

定義一：與S1×S2同胚的曲面稱為環面，它是虧格為1的可定向閉曲面。通常環面可以看作由一個長方體按照逆時針方向分別疊合左右兩邊和上下兩邊而得到的。

定義二：若一個線性代數群G同構于某個D（n,k），則稱G是一個環面。連通的可對角化代數群一定是一個環面。

即Q上的橢圓曲線E的有理點是有限生成Abel群：E(Q)=ZR⊕T，T是撓點全體，為有限Abel群，r稱為E的秩。

Nagell-Lutz theorem：P=(x,y)E(Q),如 果是torsion point(即存在正整數n,使得nP=O,其全體記為E(Q)),則x和y都是整數,并且或者y=0或y2|△[7]。

Mordell-Weil theorem：對于具有二階點的EC，有形如y2=x3+ax3+bx其中a,b為整數，則其上的有理點群為有限生成[8]。

siegel定理：Q上的橢圓曲線E的整點（坐標均為整數的點），或者更一般的坐標有一者為整數的點，只有有限個[9]。

（五） 無窮遞減法

無窮遞降法是證明方程無解的一種方法。其步驟為：假設方程有解，并設X為最小的解。從X推出一個更小的解Y，從而與X的最小性相矛盾。所以，方程無解[2]。

（六） 橢圓曲線的加密算法

橢圓加密算法（ECC）是一種公鑰加密體制，最初由Koblitz和Miller兩人于1985年提出，其數學基礎是利用橢圓曲線上的有理點構成Abel加法群上橢圓離散對數的計算困難性。公鑰密碼體制根據其所依據的難題一般分為三類：大素數分解問題類、離散對數問題類、橢圓曲線類。有時也把橢圓曲線類歸為離散對數類[5-6]。

在橢圓曲線加密（ECC）中，利用了某種特殊形式的橢圓曲線，即定義在有限域上的橢圓曲線。其方程如下：

y2=x3+ax+b(mod p)

這里p是素數，a和b為兩個小于p的非負整數，它們滿足：(1)4a3+27b2(mod p)≠0 其中，x,y,a,b∈Fp，則滿足式（2）的點（x,y）和一個無窮點O就組成了橢圓曲線E。

橢圓曲線離散對數問題ECDLP定義如下：給定素數p和橢圓曲線E，對 Q=kP,在已知P,Q的情況下求出小于p的正整數k。

三 具體計算

（一） 求解依據

找一個面積為n的有理直角三角形。我們可以把三邊互素的直角三角形的三邊用很簡單的公式表示出來a=2pq;b=p2-q2;c=p2+q2

這里的 p q 只需要考慮整數，而*是個平方數。

橢圓曲線相交理論：Bezout定理告訴我們， 兩條光滑橢圓曲線相交于9個點（切點重復計算）。 進一步，如果有第三條光滑橢圓曲線經過其中的8個交點，那它必定經過第九個點。這是古典代數幾何中的一個重要的結論。歐拉對此問題也有過考慮[5-6]。

作為推廣，X.諾特（Noether）曾經得到了更一般的代數曲線交點的類似結論。 這個問題和代數曲面上秩2向量叢的半穩定性有著深刻的內在聯系。談勝利利用秩2向量叢的Bogomolov不等式， 將此問題推廣到最一般的情形。

橢圓曲線的退化情形：由于橢圓曲線在射影平面中是三次曲線，所以它可以退化為許多特殊的情形：

（1）三條直線；（2）一條直線和一條二次曲線（即圓錐曲線，比如橢圓，雙曲線，拋物線）。

通過同余數的定義方式與橢圓曲線上相關計算的性質與結論，將同余數的相關直角三角形的邊長以橢圓曲線上的有理點坐標表示出來并給出相關正有理點的坐標。固定所得點坐標分母，通過運用數學工具編程等方法，在相關條件的約束下求解符合直角三角形特征的點坐標即直角三角形三邊長度。

根 據Mordell-Weil theorem與Nagell-Lutz theorem，則存在有理數x，使得x-aiQ2等價于存在公差為n的有理數平方組成的等差數列,根據簡單的勾股定理,這等價于存在一個有理邊長的直角三角形,面積為n。

則我們有如下三個結論：

存在公差為n的等差數列u2,v2,w2,其中u,v,w為有理數；

存在邊長為有理數a,b,c 的直角三角形，面積為n；

在橢圓曲線E(n):y2=x3-n2x能找到一個有理點，其y坐標不為0。

則滿足上述等價的三個條件之一的n稱為同余數。

（二） 同余數驗證

驗證方法：

首先，我們設置四個變量： n, a, b, v

根據整同余數的相關結論，若n為一個同余數，則此四個變量應符合以下關系[1]：

(1).(a,b) = 1

(2).a,b一奇數一偶數

(3).a,b為正整數并且 a ＞ b

(4).a,b,n,v 需要滿足nv2=|6a2b2-a4-b4|or4ab(a2b2)

則根據上述條件進行編程計算，驗證部分正整數n是否為同余數。

結果：

5是同余數，所對應數值為a=5,b=4,v=12

7為同余數,所數值為a=2,b=1,v=1

13為同余數,所數值為a=772,b=195,v=8652

14為同余數,所數值為a=8,b=1,v=12

21為同余數,所對應數值為a=4,b=3,v=4

22為同余數,所對應數值為a=50,b=49,v=210

23為同余數,所對應數值為a=13,b=6,v=17

通過驗證得出5,7,13,14,15,21,2,23為同余數，進而根據橢圓曲線與同余數的相關關系與橢圓曲線的部分知識，構建以上同余數所對應的直角三角形并計算其各邊邊長。

（三） 直角三角形的構建

1.橢圓曲線上的基本算法

2.直角三角形的構造

固定分母q，則分子只有有限個值，根據編程篩選得出符合條件的有理數，構建直角三角形。

根據原理編程得出同余數相關三角形邊長結果：

四 結語

本文通過同余數與橢圓曲線相關知識，驗證了5,7,13,14,21,22,23為同余數并給出了相關直角三角形的三邊長。