基于垂直三分量磁場發生器的旋轉磁場

劉思瑩，林子鈞，雷 昊，宣 揚，張俊豪，徐初東

（華南農業大學電子工程學院（人工智能學院），廣州 510630）

1 設計方案

1.1 均勻磁場產生原理

1.1.1 一維均勻磁場產生原理

亥姆霍茲線圈是一種經典的環形線圈，由一對互相平行且同軸的匝數、半徑相等的環形線圈組合。在兩線圈內通入方向相同、大小相等的電流，其軸線中點附近會產生一個均勻磁場區，磁場的方向與軸線方向相同。

在空間直角坐標系中，令線圈平面與平面平行，軸線與x軸共線且其中點位于坐標軸原點。根據畢奧-薩伐爾定理和矢量疊加定理可知，軸線上一點的磁場大小為：

式中：為真空磁導率，其值等于4Π × 10，Tm/A；為通電電流大小，A；為線圈半徑，m；為軸軸線上任意一點至坐標原點的距離，m；為軸上兩線圈的距離，m；為線圈匝數。

軸線上的磁場強度大小與兩個線圈的距離有關，當兩線圈間距等于線圈半徑時，在軸軸線［-0.5，+0.5］處存在一段范圍較廣的均勻磁場，磁場大小近似等于軸線中點處產生的最大磁場強度。

1.1.2 二維均勻磁場產生原理

均勻區磁場分布為：

1.1.3 三維均勻磁場產生原理

三維磁場由三對軸線兩兩垂直且共軸平行的亥姆霍茲線圈產生，即在二維亥姆霍茲線圈基礎上，增加一對軸線中點位于原點的亥姆霍茲線圈，線圈平面平行于平面。其磁場分布為：

均勻區磁場分布為:

1.2 旋轉磁場產生原理

1.2.1 二維旋轉磁場產生原理

通過上述二維均勻磁場的推導可知，對兩對亥姆霍茲線圈分別通入一定幅值、頻率、相位的交流電，可使每對亥姆霍茲線圈產生的磁場經矢量疊加后在某個平面內形成以一定頻率旋轉的磁場。

即：

由此可知，當給兩對亥姆霍茲線圈分別通入幅度相等、頻率相等且相位相差90°的正弦交流電時，即可在平面內產生以電流頻率旋轉的大小恒定的磁場。

1.2.2 三維旋轉磁場產生原理

綜合以上分析，若要得到空間內任意方向可調且大小恒定的旋轉磁場，需要在二維亥姆霍茲線圈的基礎上通過增加一對亥姆霍茲線圈組成兩兩正交的三維亥姆霍茲線圈，并通過控制對應線圈的電流變化產生在空間上任意方向的旋轉磁場。

圖1 旋轉平面的空間坐標表示［5］

解得：

因此，當滿足以下磁場條件時，即可產生旋轉平面方向向量為的磁場。

將上式進行和差化積得到

其中，

故，根據畢奧-薩伐爾定律，當三維亥姆霍茲線圈分別通入如下電流即可產生方向為且頻率為ω的大小恒定磁場：

2 方案建模

COMSOL MULTIPHYSICS 是一款可用于多物理場仿真建模的軟件。針對三維亥姆霍茲線圈的幾何模型進行建模，COMSOL 提供了友好的幾何建模工具。因此，在上述三維亥姆霍茲線圈分析的基礎上，通過設定合適的線圈的參數值，對三維亥姆霍茲線圈建模仿真并對其產生的仿真結果進行分析與驗證。

2.1 定義參數

在COMSOL 建模時，需要對模型的參數進行定義。

2.1.1 線圈參數

三維亥姆霍茲線圈由三對兩兩正交的亥姆霍茲線圈構成，每一對線圈的距離相等。由于實際線圈本身具有一定厚度，故在設計亥姆霍茲線圈模型時，需要設定線圈的實際尺寸參數：線圈寬度及內外徑。具體數據如表1。

表1 線圈參數

2.1.2 常量定義

使用COMSOL 進行線圈建模時，需要定義相關常量如表2。

表2 常量參數

2.1.3 變量定義

設旋轉磁場平面法向量為（cos,cos,cos），其中、、分別為旋轉平面與、、軸的夾角，定義全局變量如表3。

表3 變量參數

2.1.4 電流參數

三維亥姆霍茲線圈能夠通過控制電流大小在任意一個平面內產生大小恒定的旋轉磁場，定義電流參數如表4。

表4 電流參數

2.1.5 材料參數

表5 仿真材料參數

2.2 建立模型

根據上述線圈參數繪制線圈平面設計圖，如圖2 所示，并建立對應的線圈模型，如圖3 所示。由于電磁波從遠處觀測是一個球面波，所以在進行幾何建模時線圈外部的空氣采用一個球形來做，并設定球的半徑為20 cm。

圖2 線圈平面設計圖

圖3 線圈模型

3 仿真分析

選取=== 45°的均勻旋轉磁場平面進行分析，此時，線圈的初始相位為：

三對亥姆霍茲線圈的輸入電流分別為：

采用COMSOL 的靜磁場仿真模擬器求解得此時三維亥姆霍茲線圈的仿真磁場分布圖，如圖4 所示。

圖4 三維亥姆霍茲線圈磁場分布

在旋轉磁場平面內取9個坐標點，分別為中心點（0，0，0）及以其為中心、半徑為1 cm的圓上的等間距的8 個坐標點。測量9 個坐標點的磁感應強度大小，記錄于表6中。

結合表6 數據分析，旋轉磁場平面上，以（0，0，0）為中心，1 cm 為半徑的圓內能形成磁感應強度大小均勻區。

表6 平面a=b=γ=45°內8個坐標磁感應強度大小

圖5 亥姆霍茲線圈產生的均勻磁場大小及范圍

通過對圖5分析可知，此時三維亥姆霍茲線圈所產生的旋轉磁場在以（0，0，0）為中心，邊長為5 cm的正方體內為一均勻磁場。

由于旋轉磁場的頻率為1 Hz，故每隔0.125 s記錄不同時刻旋轉平面上的磁場方向，如表7所示。

表7 平面a=b=γ=45°內旋轉磁場變化規律

綜合上述分析，當對不同維度的亥姆霍茲線圈通入存在一定相位差的交流電時，可以在磁場均勻區內形成穩定的旋轉磁場。通過改變交流電的幅值、相位或頻率，可以產生旋轉方向、旋轉頻率和磁場強度大小均可調的旋轉磁場。

4 實驗驗證

根據實際實驗條件，分析實際三維亥姆霍茲線圈在一個平面內產生的旋轉磁場。即在=（為常數）平面上驗證旋轉磁場的響應。其中，線圈匝數取500匝，線圈半徑=10.00 cm，設置亥姆霍茲線圈對的間距=20.00 cm。

由于磁感應強度與電流成正比的關系，對，軸的亥姆霍茲線圈分別通入相位相差為90°的正弦交流電，頻率為1 Hz。將弱磁智能測定儀的傳感器放置在實驗裝置的中心位置，通過在空間內平移傳感器來確定系統磁場均勻區平均范圍——3 × 3 × 3 cm 的正方體空間。通過改變傳感器的方向，依次記錄不同時刻8個方向的磁感應強度大小，進而驗證三維亥姆霍茲線圈能在一個平面內產生旋轉磁場的特性。

其中8 個方位在實驗系統中的位置如圖6所示。

圖6 實驗裝置及測定方位示意圖

結合表8數據，可以分析出當=0 s、0.125 s、0.25 s、0.375 s 時磁場方向分別由實驗裝置中心指向⑦號、⑧號、①號、②號方位。=0.5 s，0.625 s，0.75 s，0.875 s 時刻磁場方向與上述4個時刻分別關于實驗裝置中心對稱，即分別由實驗裝置中心指向③號、④號、⑤號、⑥號方位。由于實驗環境和傳感器測量的不穩定性，不同時刻磁場正方向的磁感應強度大小存在一定誤差，但1 s 內均勻區磁場的方向變化基本滿足旋轉磁場的特征。

表8 1 s周期內8個時刻系統各方位磁感應強度大小

5 結語

以產生穩定的旋轉磁場為需求，基于三維亥姆霍茲線圈產生的穩定磁場為前提的情況下，設計了一種穩定的可控旋轉磁場，并且使用COMSOL Multiphsics軟件實現了旋轉磁場仿真模型的可視化展示，并最終通過搭建實物裝置完成實驗驗證，證實了產生穩定的旋轉磁場的可行性，也為其投入生產應用提供了方法。