無耦合PCNN 頻域特性分析

鄧翔宇，呂亞輝，陳 巖

（西北師范大學物理與電子工程學院，蘭州 730070）

0 概述

隨著生物電子技術的發展，人工神經網絡的研究也不斷取得進展。文獻［1］根據哺乳動物視覺皮層神經元信號傳導特性，構建一種新的神經網絡模型。文獻［2］將神經網絡模型改進為用于圖像處理領域的模型，并命名為脈沖耦合神經網絡（Pulse Coupled Neural Network，PCNN）。傳統的PCNN 模型可分為耦合連接和無耦合連接兩種模式，被廣泛應用于圖像分割［3-4］、圖像融合［5-6］、圖像去噪［7-8］、圖像檢索［9-10］以及圖像邊緣檢測［11-12］等領域。通常將無耦合連接模式下的網絡稱為無耦合PCNN。無耦合PCNN 模型雖然沒有耦合連接項，但是保留了PCNN模型的核心子系統部分，具有網絡參數少的特點，近年來，逐漸被應用于圖像處理領域［13］。

研究人員通過對圖像進行信息提取或變換域處理，融合PCNN 模型進行參數自適應設定，并應用于特定的圖像處理領域。文獻［14］通過SIST（Shift Invariant Shearlet Transform）方法獲取圖像的高頻子帶和低頻子帶頻率，使用SOM（Self-Origanizing Maps）網絡進行初步分類，之后融合改進的PCNN 模型，獲得較優的圖像分割效果。文獻［15］利用非下采樣輪廓波變換對圖像進行多尺度和多方向分解，獲得低通子帶和多個帶通方向子帶，并將其與改進后的PCNN 模型相結合用于多聚焦圖像融合。文獻［16］基于圖像NSCT（Non-Subsampled Contourlet Transform）域變換提取圖像的邊緣特征，提出一種結合自適應PCNN 的紅外與可見光圖像融合算法。文獻［17］通過建立待分割圖像統計特性與PCNN 神經元動態特性之間的直接關系，完成簡化PCNN 的參數自適應設置。文獻［18］通過計算分割圖像的最小交叉熵，提出一種新的基于循環迭代的自適應圖像分割算法，用于改進PCNN 閾值分割機制。此外，研究人員通過對網絡模型進行理論分析，以解釋網絡本質特性并進行參數的自適應設定。文獻［19］分析改進后PCNN 網絡的動態行為，明確PCNN 的動態行為特性受網絡參數變化的影響，并提出網絡參數確定準則，使得所有神經元只點火一次。文獻［20］通過分析PCNN 中神經元的脈沖發放周期，定義了動態比，以得出近似的脈沖發放周期公式。文獻［21］根據PCNN 工作機理的時域分析，提出一種在點火神經元沒有完全滅火時不允許滅火神經元重新點火的網絡工作模式，并用于圖像的自適應分割。然而，上述PCNN 模型的研究都只是從時域方面或圖像本身所含信息方面分析參數與模型之間的關系，在網絡本質的特性挖掘方面還存在著一定的局限性和片面性。

本文從頻域角度對無耦合PCNN 的網絡參數與模型特性之間的關系進行分析。通過推導動態門限子系統的頻率響應函數，揭示動態門限子系統具有低通特性，同時分析參數對動態門限子系統頻率響應的影響，推導無耦合連接時PCNN 有效點火時刻方程、動態門限衰減頻率和脈沖發放頻率的方程，解釋無耦合PCNN 的網絡參數對網絡頻域特性的影響。

1 基本概念

1.1 數學模型

無耦合PCNN 模型由輸入子系統、動態門限子系統和輸出子系統組成，分別如式（1）～式（3）所示［22］：

其中：i、j為本神經元像素坐標點；n為迭代次數；Sij為系統的輸入，常為歸一化之后的像素灰度值；aE、vE為控制動態門限子系統的2 個網絡參數。模型的輸出子系統由單位階躍函數構成，決定該神經元的脈沖發放狀態。當神經元的輸入值大于動態門限值時，神經元發放脈沖又稱為神經元點火；否則，神經元滅火。

1.2 第1 次有效點火時刻

在前期研究中［23］已經得知無耦合PCNN 的第1 次神經元點火時刻不受網絡參數的影響，因此重點分析了網絡的第2 次點火時刻，又稱為第1 次有效點火時刻（所有輸入值在第1 次迭代時發生的點火稱為無效點火，其后各次點火為有效點火），通過推導所得第1 次有效點火時刻N1如式（4）所示：

由于網絡數學模型為差分方程，因此當理論點火時刻為小數時，實際點火時刻為下一個整數時刻。在第1 次有效點火時刻計算中引入向上取整函數ceil。由式（4）可知，當灰度值Sij=0時，無法發生第1次有效點火。本文主要針對網絡輸入的有效點火時刻及輸入灰度值Sij為1/255～1 時，網絡所表現出的特性。

2 無耦合PCNN 頻域分析

在實際圖像的處理過程中，輸入子系統的輸入為圖像對應像素點的灰度值，是簡單的線性系統。本文對式（1）表示的輸入子系統不展開分析。由于無耦合網絡的時域特性完全受參數影響，因此本文對于網絡的頻域分析，根據動態門限子系統的頻域特性分析參數對動態門限子系統的影響，將式（1）、式（2）和式（3）聯系起來，分別分析網絡中動態變量Yij(n)和Eij(n)的頻域特性與參數之間的關系。

2.1 動態門限子系統的頻域特性

2.1.1 系統函數

動態門限子系統是無耦合PCNN 模型的核心子系統，由差分方程式（2）表示，對式（2）進行z變換可得式（5）：

動態門限子系統的系統函數如式（6）所示：

根據系統函數HE(z)可知，動態門限子系統沒有零點，只有1 個極點z=。此時系統函數的收斂域為。當aE>0 時，子系統的收斂域包含單位圓，此時的系統是一個因果穩定系統。當aE≤0 時，系統不穩定。因此，無耦合PCNN 參數aE的取值范圍為(0，+∞)。

2.1.2 頻率響應與參數影響分析

動態門限子系統的系統函數HE(z)收斂域包含單位圓，根據z變換與傅里葉變換之間的關系可得子系統的頻率響應，如式（7）所示：

根據頻率響應函數HE(ejw)可得其幅頻響應，如式（8）所示：

由式（8）可知，參數aE和vE共同控制子系統的幅值特性。改變參數aE和vE，在ω∈(0，π)范圍內觀察到的子系統HE(ejω)的幅頻特性曲線變化如圖1 所示。

圖1 參數對動態門限子系統幅頻特性的影響Fig.1 Influence of parameters on amplitude-frequency characteristics of the dynamic threshold subsystem

從圖1（a）可以看出，參數aE主要影響幅頻響應峰值與谷值之間的差值，aE越小，差值越大，此時系統低頻分量的幅值較大，高頻分量的幅值較小，使得子系統具有較優的低通特性。從圖1（b）可以看出，參數vE主要影響幅頻特性的幅值大小，vE越大，幅頻響應的幅值也將增大。因此，無耦合PCNN 模型的動態門限子系統具有低通特性，不同的網絡參數使得動態門限系統表現出不同的低通特性。子系統的低通特性主要受參數aE影響，參數vE主要影響子系統的幅值大小。

2.2 網絡脈沖發放頻域特性

2.2.1 有效點火脈沖方程

無耦合PCNN 是一個非線性系統，其神經元的輸入與神經元的脈沖發放頻率之間存在非線性關系。當參數aE=0.5，vE=5 時，在不同灰度值下神經元的動態門限和點火時刻的變化曲線如圖2 所示。從圖2 可以看出，單個神經元的脈沖點火過程和動態門限衰減過程都具有周期性，在輸入值Uij的激勵下，輸出Yij(n)和Eij(n)以一定的周期發放脈沖。

圖2 動態門限和點火時刻的變化Fig.2 Change of dynamic threshold and firing timing

因此，輸入值與神經元點火周期和動態門限衰減存在非線性映射關系。為分析這種非線性關系，在單個神經元的一個有效點火周期內建立關系，如式（9）所示：

當單個神經元的輸入值與動態門限最小值相等時，神經元發生點火。由式（2）可知，動態門限的最大值是脈沖點火時刻后下一次的門限值，Eijmax=+vE，最小值為Eijmin=Sij，設兩次脈沖點火時刻的間隔為I，則由式（9）可得式（10）：

間隔I如式（11）所示：

脈沖發放間隔應滿足I>0，由此可得vE>(1-)Sijmax。其中：Sijmax表示輸入最大值。當輸入的最大值與vE和aE滿足以上關系時，所有的輸入都能表現出良好的脈沖周期發放特性。由脈沖發放間隔得到脈沖發放周期，如式（12）所示：

不同輸入Sij的點火周期都為正整數，同樣的引入ceil 向上取整函數。因此，無耦合PCNN 的實際脈沖發放周期近似為：

無耦合PCNN 在得到能夠反映實際脈沖發放的周期后，脈沖發放時刻如式（14）所示：

其中：單位沖激函數δ(n)為脈沖發放；N1為第1 次有效點火時刻；r為正整數。

2.2.2 脈沖發放頻率與參數影響分析

由脈沖發放時刻方程可知，無耦合PCNN 脈沖點火具有周期性，而周期為N的序列可展開成離散傅里葉級數（Discrete Fourier Series，DFS）。因此，在一個周期內對脈沖發放時刻式（14）進行傅里葉級數展開，如式（15）所示：

本文對脈沖發放時刻的傅里葉級數表達式進行傅里葉變換（Fourier Transform，FT），可得其脈沖發放頻率表達式，如式（16）所示：

幅值譜函數如式（17）所示：

由式（17）可知，無耦合PCNN 的脈沖發放幅值譜是由一系列幅值為和間隔為的沖擊序列構成。當選取輸 入Sij=20/255 時，ω∈(0，π)范圍幅頻特性隨參數的aE和vE變化趨勢如圖3 和圖4所示。根據離散周期信號頻譜特性可知，頻域譜線越密，時域脈沖周期越大，頻域譜線越疏，時域脈沖周期越小。從圖3 和圖4 可以看出，參數變化不會引起脈沖發放頻譜函數幅值的變化。但是參數aE的增大使得脈沖發放頻譜函數的譜線間隔增大，從而增大脈沖點火時刻周期。參數vE的增大反而使得脈沖發放頻譜函數的譜線間隔變小，脈沖點火時刻周期減小。

圖3 參數aE 增大對脈沖發放幅頻特性的影響Fig.3 Influence of parameters aE increase on the amplitude-frequency characteristic of pulse firing

圖4 參數vE 增大對脈沖發放幅頻特性的影響Fig.4 Influence of parameters vE increase on the amplitude-frequency characteristic of pulse firing

因此，在無耦合PCNN 模型中，參數aE的增大使得脈沖發放時刻周期變小，參數vE的增大會使得脈沖發放時刻周期變大，但不影響脈沖發放的強度。

2.2.3 網絡動態門限衰減頻率與參數影響分析

動態門限子系統是一個衰減系統，因此將該子系統的輸出動態變量Eij(n)的頻率稱為動態門限衰減頻率。動態門限衰減頻率與脈沖發放頻率存在以下關系，如式（18）所示：

由于式中HE(ejω)和Yij(ejω)已由式（7）和式（15）給出，因此動態衰減頻率的頻域方程如式（19）所示：

頻譜函數如式（20）所示：

當選取輸入Sij=20/255 時，參數aE和vE增大在ω∈(0，π)范圍幅頻特性隨參數變化趨勢如圖5 和圖6所示。

圖5 aE 增大對動態門限幅頻特性的影響Fig.5 Influence of parameters aE increase on the amplitude-frequency characteristic of dynamic threshold

圖6 vE 增大對動態門限幅頻特性的影響Fig.6 Influence of parameters vE increase on the amplitude-frequency characteristic of dynamic threshold

從式（20）可知，動態門限幅頻函數|Eij(ejω)|的頻譜譜線間隔與脈沖發放頻譜函數的譜線間隔相同，參數對動態門限周期與脈沖發放周期的影響程度相同。從圖5 和圖6 可以看出，與脈沖發放頻譜相比，隨著參數aE的增大，動態門限幅頻函數的頻譜主要由高頻分量組成，使得動態門限的衰減頻率變大，衰減速度變快。參數vE的增大反而會使得動態門限幅頻函數的頻譜主要由低頻分量組成，動態門限Eij(n)的衰減頻率變低。

因此，在無耦合PCNN 模型中，參數aE和參數vE的變化會影響動態門限衰減周期及動態門限衰減頻率的高低。

3 實驗仿真與驗證

本文通過式（7）、式（16）和式（19）描述了無耦合PCNN 模型的頻域特性，通過分析參數對無耦合PCNN 模型頻域特性的影響，得出參數影響網絡運行的結論。在主頻2.8 GHz（雙核），內存12 GB 的計算機上利用Python3.8 平臺完成數值模擬實驗，驗證了無耦合PCNN 頻域相關公式推導及理論分析結論的正確性。

3.1 實際網絡脈沖發放時刻

為驗證對脈沖發放時刻推導的正確性，本文構建一幅灰度值已知的人工測試灰度圖與灰度值，如圖7所示。

圖7 人工測試灰度圖與灰度值Fig.7 Gray scale image of manual test and gray scale value

當網絡參數aE=0.9，vE=15 時，無耦合PCNN 實際迭代過程如圖8 所示。從圖8 可以看出，第1 次迭代為網絡的無效點火時刻，之后的各次點火均為有效點火。灰度值在110～250 之間的像素第1 次有效點火時刻為第6 次迭代，點火周期T=5?；叶戎翟?0～100 之間的像素第1 次有效點火時刻為第7 次迭代，點火周期T=6?；叶戎翟?0～40 之間的像素第1 次有效點火時刻為第8 次迭代，點火周期T=7?；叶戎禐?0 的像素第1 次有效點火時刻為第9 次迭代，點火周期T=8。根據第1 次點火公式（4）可計算出各像素第1 次有效點火時刻，根據點火周期公式（13）可計算出各像素點火周期。不同像素的第1 次有效點火時刻和點火周期對比如圖9 所示。從圖9可以看出，本文所推導公式的脈沖發放過程與人工測試圖實際迭代過程相一致。

圖8 人工測試圖的迭代過程Fig.8 Iterative process of manual test image

圖9 不同像素第1 次有效點火時刻和點火周期Fig.9 The first effective firing time and firing cycle of different pixels

3.2 實際網絡參數對脈沖發放與動態門限的影響

本文分別選取灰度值Sij=10/255，Sij=110/255作為對網絡中動態變量Yij(n)受參數影響的觀測對象。當網絡迭代第60次時，其神經元脈沖發放過程如圖10所示。從圖10 可以看出：在灰度值Sij相同的情況下，保持參數vE=15 不變，aE從0.5 增大到0.9 會使得網絡脈沖發放時刻周期變小；保持參數aE=0.5 不變，vE從15 增大到30 使得網絡脈沖發放時刻周期變大。因此，在實際的脈沖發放過程中，參數對脈沖發放頻率的影響與理論推導分析相一致。

本文分別選取灰度值Sij=10/255，Sij=110/255作為網絡中動態變量Eij(n)受參數影響分析的觀測對象。當網絡迭代第60 次時，不同灰度值下網絡實際動態門限變化過程如圖11 所示。從圖11 可以看出：在輸入Sij相同的情況下，保持參數vE=15 不變，aE從0.5 增大到0.9，使得動態門限Eij(n)衰減變快，衰減周期變??；保持參數aE=0.5 不變，vE從15增大到30，使得動態門限Eij(n)的幅值增益變大，衰減變慢，衰減周期變大。因此，動態變量Eij(n)的迭代過程與之前分析結果一致。

4 結束語

本文分析了無耦合PCNN 的頻域特性。通過對無耦合PCNN 動態門限子系統進行分析，得出動態門限子系統穩定的條件，確定參數的取值范圍，并指出動態門限子系統具有低通特性。同時分析單個神經元的脈沖發放頻率特性和動態閾值頻域特性，明確參數對網絡動態頻域的影響。仿真實驗結果驗證理論分析結論的正確性。后續將從圖像特性角度分析圖像統計特性對網絡參數的影響，設計無耦合PCNN 模型用于圖像分割時的參數自適應設置方法，使無耦合PCNN 模型廣泛應用于圖像處理領域。