深度學習理論下單元作業設計與思考
——以人教版數學九年級下冊《銳角三角函數》為例

郭煒穎 趙 旭

（福州第十八中學，福建 福州 350001）

1976 年美國學者馬頓和薩爾喬借鑒布魯姆認知分類理論，在論文《學習的本質區別：結果和過程》中首先提出教育領域的“深度學習”概念。2006 年加拿大學者辛頓在《科學》雜志上刊登了深度學習的相關論文，激起了深度學習的研究熱潮。同年，華中師范大學發起推動以發展能力為目標深度教學研究，主張提高學科能力，開展深度教學。2010 年國務院頒布的《國家中長期教育改革和發展綱要》提出，只有實施深度學習，才能真正增強學生的創新力和自主學習能力，至此國內開始廣泛的重視深度學習的研究。［1］2021 年4 月12 日，教育部辦公廳發布了《關于加強義務教育學校作業管理的通知》，通知中提到“教師要提高自主設計作業能力，精準設計作業，精選內容，系統化選編，體現素質教育導向，提高作業設計質量。”筆者認為以深度學習理論為主要設計理念，以單元為整體的單元作業設計，對挖掘教材本質，整體把握知識結構，滲透教學價值，發展學生核心素養起到了有效的作用。本文以人教版數學九年級下學期《銳角三角函數》為例，對在深度學習理論下單元作業設計的設計理念、設計思考及部分作業展示說明。

一、基于深度學習理論的單元作業設計理念

深度學習是指通過對教學核心內容的分析和教材的整合，通過學生認知參與，獲得知識、過程、方法、價值的深度感悟，完善發展認知結構，形成學習能力，并能將這種能力遷移至新的情景，有效解決挑戰性問題的學習，以促進知識建構、注重批判理解、強調信息整合，注重遷移應用、面向問題解決為基本特征，以發展學生高階思維與能力為目的，這與當今培養學生核心素養的教育理念相吻合。

數學單元作業設計是指教師根據單元中的數學知識，以整合的思路來設計這個單元的作業。通過知識聚集，把本單元中零碎的知識要點串聯在一起。對教學內容“結構化”進行組織，加強模塊或主題間的結合，注重各單元知識之間的相互聯系，從而使學生對整個單元理論體系產生全面、深刻理解，形成良好的認知結構。

數學單元作業設計理念中的整合性、聯系性正是深度學習理論中的重要理念，除此之外，基于深度學習理論下的單元作業設計還應重視知識的本質由來和系統建構，注重知識的遷移性，注重知識理論工具性及實際應用性，從而使學生通過單元作業的訓練，對本單元知識體系產生全面、深刻的認識，強化知識的應用能力，提高分析解決問題的能力。

《銳角三角函數》是人教版數學九年級下冊教材的第二十八章的教學內容，學生已經學習了初中數學的大部分知識內容及思想方法，而這一單元與高中《三角函數》模塊的學習密切相關，是初高知識銜接的一個關鍵點?；谏疃葘W習理念，從完善發展認知結構角度來看，《銳角三角函數》在幾何領域是初中三角形研究的最后階段，在代數領域它又是初中學習的最后一個初等函數。從知識聯系角度來看，銳角三角函數與相似三角形、勾股定理等知識密切相關，且與圓、四邊形等章節均可產生聯系。從遷移應用、面向問題解決角度上看銳角三角函數對幾何圖形定量研究提供了工具性的作用，在實際問題中有著大量應用。

基于上述論述，本文擬從知識構建、知識遷移、知識整合三個方面來探討基于深度學習理論下該單元作業設計的策略。

二、深度學習理論下的單元作業設計策略

（一）知識構建：深度理解銳角三角函數知識內涵與外延

這一章節知識內涵有：1.銳角三角函數是以相似三角形知識為基礎，刻畫了直角三角形邊角之間的關系。2.銳角三角函數值與角所在的直角三角形無關，只與角度的大小有關，其銳角三角函數值唯一確定，等角的三角函數值相等。反之，對于給定的銳角三角函數值可以求出對應的唯一銳角角度大小。角度的大小與銳角三角函數值之間呈一一對應關系。3.銳角三角函數是實現邊與角關系互相轉換的重要橋梁，可以通過銳角三角函數相關知識“知邊求角”，或是“知角求邊”。這一章節知識外延主要有：1.銳角三角函數是數形結合思想中“以數解形”思想的體現，將幾何問題轉化為代數問題，在高中后續課程學習中，將專門從函數的眼光來討論三角函數的相關性質。2.三角函數的概念在整個數學中的應用大量存在，例如，高中解析幾何中直線斜率的概念正是通過正切進行刻畫?；谏鲜龇治?，筆者以相似三角形為該單元知識的生長點，以等角的三角函數值相等這一性質作為與該單元知識核心要點，以斜率概念的滲透作為該單元知識的重要外延，形成知識構建。設計了如下單元練習，目的在于讓學生全面領會三角函數知識內涵，弄清三角函數概念的由來、深層含義，為后續教學的應用作鋪墊。

例1 如圖1、2，在Rt△ABC與Rt△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠E=90°，求證：cosA=cosD.

圖1

圖2

解題思路：由∠A=∠D，∠C=∠E，可知：△ABC相似于△DFE，得到，證得：cosA=cosD.

設計意圖：許多學生學完一整章對于余弦值定義的唯一確定性認識還是不到位。只要角相等，那么對應的余弦值也相等，余弦值的大小與角所在的直角三角形無關。理解余弦定義的本質由來，加深對余弦乃至銳角三角函數定義的認識。

例2 如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點，CD=3，AC=4，sin∠DCB=______

圖3

解題思路：由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得：CD=BD=3，從而∠DCB=∠DBC，故：sin∠DCB=sin∠DBC=

設計意圖：加深對三角函數知識內涵的理解，培養轉化思想，形成良好的認知結構。

例3 如圖4，在平面直角坐標系xoy中，直線l：y=2x+1 與x軸交于點A，點B在第一象限內且在直線l上，則tan∠BAO=____。

圖4

解題思路1：設B點的橫坐標為xB，則B點的縱坐標為2xB+1，易得A（-0.5，0），tan∠BAO=

解題思路2：設直線AB與y軸交于點C，易求得A（-0.5，0），C（0，1），tan∠BAO=tan∠CAO=

設計意圖：思路1 直接從定義著手，結合代數的思想，通過設點法求出tan∠BAO。思路2 將變化的點B轉化為固定的點C，化一般為特殊，直接求出tan∠CAO。通過對比兩種方法，形成深刻理解，加深對三角函數定義本質的認識。該題與坐標系結合，初步滲透高中知識中的斜率概念，體現知識的外延性。

（二）知識遷移：深度掌握銳角三角函數理論的工具性及實際應用，注重知識遷移

如何求邊或是求角是幾何學研究中的一個重要內容，而在初中幾何教學中也經常會遇到求邊或是求角相關的問題，銳角三角函數的相關知識理論在求邊或是求角方面體現了強大的工具性作用。銳角三角函數理論不僅可以解直角三角形也可以用來解一般三角形。即：知道三角形中的某些元素，可以把剩余的元素求解出來。如果一個三角形滿足下列條件之一：1.已知三邊。2.已知兩邊一夾角。3.已知兩角一邊。4.已知兩邊一對角。這時可以通過三角函數相關知識結合勾股定理求解其余未知元素［2］。求解的一般方法是通過作垂線的方式構造出直角三角形。在讀題時一定要注意讀透條件，分析三角形中哪些元素已知，如果條件滿足上述四種條件之一，該三角形中剩余未知元素即可求解，從而推導出更多的條件，得到的條件越多越有助于問題的分析求解。另外，解三角形到了高中的教學中會學習專門的理論知識，主要是根據余弦定理和正弦定理。注重運用銳角三角函數解決實際生活中的問題，體現了三角函數際應用性。基于上述分析，筆者認為以解三角形作為銳角三角函數理論工具性的核心要點，對知識遷移及應用產生良好的效果，設計了如下單元練習，目的在于提高學生分析問題能力，獲得知識應用的深度感悟。培養學生解決實際問題的能力，提高數學建模素養。

例4 在△ABC中，（1）如圖5，若AB=4，BC=7，AC=5，則∠B=____cosC=____

圖5

（2）如圖6，若cosA=，AB=10，AC=8，則BC=____

圖6

解題思路：通過作垂線，將這兩個三角轉化為直角三角形進行求解。（1）過點A作AD⊥BC，垂足為D，設BD=x，根據勾股定理可列方程-x2=52-（7-x）2，解得：x=4，即BD=4，CD=3，易求得：∠B=45°，cosC=（2）過點C作CD⊥AB，垂足為D，由AC=8，cosA=，求得：AD=6，CD=，BD=4，再由勾股定理求得：BC=

設計意圖：本題的兩個小題都是為了強化解三角形的一般方法，題（1）可以看成是知道“三邊”解三角形，題（2）可以看成是知道“兩邊一夾角”解三角形。這題亦是為了后續綜合性問題作鋪墊。讓學生深刻理解可以求解三角形的一般條件，當發現問題中的三角形滿足上述四個條件之一時，剩余的邊、角（或角的三角函數值）就可以求解，從而得到更多條件，有助于問題的求解。從而使學生能應用求解三角形一般方法解決綜合性問題。

例5 如圖7，某高速公路建設中需要測量某條江的寬度AB，飛機上的測量人員在C處測得A，B兩點的俯角分別為45°和30°，若飛機離地面的高度CE為1000 米，且點E，A，B在同一水平直線上，求這條江的寬度AB。

圖7

解題思路：作CD//EB，依題得：∠CAE=∠ACD=45°，∠B=∠BCD=30°，通過正切的定義，分別求得：AE=1000，BE=1000從而求得AB=BE-AE=10001000.

設計意圖：以實際問題為背景，運用三角函數知識進行求解，體現三角函數實際應用性，培養數學建模素養。

例6 如圖8，在△ABC中，BC=AC=10，AB=12，D為AB上一點，過點D作DF⊥AC，延長FD交CB的延長線于點E，求sinE的值。

圖8

解題思路：△ABC三邊已知，故而△ABC其余未知元素均可求解（知三邊可解三角形），結合解三角形的理論方法，同例4（1），過點A作AG⊥EC，垂足為G，可得cosC=，又根據∠E與∠C互余，從而求出sinE=

設計意圖：該題解題的核心要點在于利用解三角形理論讀出更多條件。讀題時發現△ABC中三邊已知，故而可以通過解三角形的方法求出cosC。該題注重知識遷移運用，培養學生分析問題的能力，完善發展認知結構，加深對三角函數理論工具性作用的理解。

（三）知識整合：深度加強銳角三角函數知識與其他單元之間的綜合聯系，強化知識整合

銳角三角函數是在九年級下學期進行學習，可以與之前許多單元知識章節產生聯系，例如，三角形、勾股定理、圓等章節。筆者以銳角三角函數工具性作為與其他章節結合點，解決相關問題，從而與其產生有機聯系，形成知識整合。基于此，設計了如下單元練習，目的在于提高知識的遷移性，培養學生綜合運用能力，發展學生高階思維。

例7 如圖9，A，B，C，D是圓O上的點，連接AD，

圖9

AB，AC，AD=6，∠DAC=90°，sin∠DBA=求圓的半徑r。

解題思路：連接CD，由∠DAC=90°，可知DC 經過圓心O，由∠DBA=∠DCA，得sin∠DBA=sin∠DCA=再根據AD=6，求得CD=10，故r=5。

設計意圖：與圓相關知識結合，學會通過弧等則圓周角相等進行“轉角”。加深對“角等則三角函數值相等”的認識。

例8 如圖10，在△ABC中，∠ACB=45°，AC=BC=10，將△ABC折疊，使點A落在BC邊上的點D處，EF為折痕，若AE=6，求sin∠BFD的值。

圖10

解題思路：結合翻折性質及外角定理發現∠EDC=∠BFD，故sin∠BFD=sin∠EDC，易知CE=4，ED=6，且∠C=45°，對于△CED 已知兩邊一對角，故可以求出剩余未知的元素，結合解三角形的理論方法，同例4（2）作EM⊥CD，可求得：sin ∠EDC=故sin ∠BFD=

設計意圖：該題結合翻折知識，培養學生綜合運用能力。不易直接求得∠BFD的正弦值，發現∠BFD=∠CDE，從而將問題轉化為求解sin∠CDE，從解三角形的眼光來看，在△CED中，CE，ED，∠C是已知的，知道了兩邊一對角，從而可求出sin∠CDE。培養轉化思想及挖掘隱含條件的能力；培養高階思維，加強學生對“解三角形”相關知識的應用能力。

三、反思與總結

本文以《銳角三角函數》為例闡述了筆者基于深度學習理論下單元作業設計的理念。深度學習理論下單元作業設計一定要結合學生的具體學情，全方位思考單元作業設計的有效性，細致地整理單元知識要點、思想方法，找出知識的串聯點，體現知識理論工具性及實際應用性，引導學生全面系統的認識，引發學生深層次地思考，豐富學生的學習體驗，培養學生良好的學習習慣，從而實現核心素養的養成。