含負(fù)顧客的M/M/1兩種休假體制的排隊(duì)系統(tǒng)的平穩(wěn)性態(tài)

閆俊娜， 楊永燕

(1.林州建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河南 林州456500; 2.安陽學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，河南 安陽455000;3.濮陽石油化工職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 濮陽 457000)

0 引言

半休假策略(也稱為工作休假)的排隊(duì)模型在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用非常廣泛，如銀行休假不是工作人員完全休息，而是部分人員仍繼續(xù)值班.對(duì)于半休假策略的研究已取得豐富的成果[1-5],例如：Ye等[2]考慮M/M/1/SWV+MV，運(yùn)用兩種方法得到隊(duì)列長度的平穩(wěn)分布，推導(dǎo)出平穩(wěn)隊(duì)列長度和客戶逗留時(shí)間的隨機(jī)分解結(jié)果；Kumar等[3]研究了多個(gè)工作休假的有限批量到達(dá)或服務(wù)隊(duì)列瞬態(tài)行為的數(shù)值.實(shí)際上，在半休假策略的排隊(duì)模型中還常會(huì)遇到外來對(duì)服務(wù)系統(tǒng)實(shí)施的援助——負(fù)顧客，他們的到來會(huì)抵消掉正在被服務(wù)的正顧客.針對(duì)此，Panda等[6]研究了具有正面和負(fù)面客戶以及多個(gè)工作假期的單服務(wù)馬爾可夫排隊(duì)系統(tǒng)，得到4種情況下積極顧客的均衡策略和社會(huì)效益.薛紅等[7]考慮一個(gè)具有Bernoulli休假和負(fù)顧客到達(dá)的離散時(shí)間Geo/G/1早到達(dá)重試排隊(duì)系統(tǒng),利用馬爾可夫鏈法和補(bǔ)充變量法推導(dǎo)出系統(tǒng)演化的平衡方程組,得到嵌入馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布和一系列排隊(duì)指標(biāo).岳德權(quán)等[8]考慮由負(fù)顧客到達(dá)引起服務(wù)臺(tái)故障從而進(jìn)入修理期的排隊(duì)系統(tǒng)，研究了負(fù)顧客到達(dá)引起的系統(tǒng)服務(wù)速率變化.

為節(jié)約系統(tǒng)工作量相對(duì)較少時(shí)的運(yùn)行成本和能耗，本文在經(jīng)典排隊(duì)系統(tǒng)M/M/1中添加負(fù)顧客到達(dá)，研究兩類顧客(正顧客、負(fù)顧客)、兩種休假體制(單次工作休假(半休假)體制與多重休假體制(M/M/1/SWV+MV))下的M/M/1系統(tǒng).從實(shí)際應(yīng)用的角度來看，本研究可用于服務(wù)系統(tǒng)維護(hù)模型的建模.當(dāng)工作量相對(duì)較少時(shí)，服務(wù)系統(tǒng)首先進(jìn)入一個(gè)緩沖期(工作休假)，其間以較低的速率工作.在緩沖期結(jié)束后，服務(wù)系統(tǒng)中如果有客戶，則恢復(fù)到正常的服務(wù)狀態(tài)，以獲得更多的利益;否則，服務(wù)系統(tǒng)進(jìn)入休假期進(jìn)行維護(hù).

1 模型描述

1)顧客到達(dá)：系統(tǒng)包含正、負(fù)兩類顧客，分別以參數(shù)為λ+、λ-的泊松過程到達(dá)并形成等待隊(duì)列.

2)若系統(tǒng)中有正顧客，則到達(dá)的負(fù)顧客一對(duì)一抵消掉正在接受服務(wù)的正顧客；若系統(tǒng)中無正顧客，則負(fù)顧客自動(dòng)消失，且該類顧客不接受系統(tǒng)服務(wù).

3)正常服務(wù)周期的服務(wù)機(jī)制：系統(tǒng)以服務(wù)率為μb的指數(shù)分布服務(wù)顧客.

4)工作休假(半休假)周期的服務(wù)機(jī)制：系統(tǒng)以較低的服務(wù)率μv(μv<μb)為到達(dá)顧客提供服務(wù)，而不是完全停止服務(wù).

5)服務(wù)、休假機(jī)制：正常休假與工作休假.

正常休假期間不向任何新來顧客提供服務(wù)，即停止服務(wù)；工作休假(半休假)模式，即在一個(gè)正常服務(wù)期結(jié)束后，服務(wù)系統(tǒng)會(huì)以較低的速率服務(wù)顧客，而不是完全停止服務(wù).當(dāng)一次工作休假結(jié)束時(shí)，若服務(wù)系統(tǒng)中有新顧客，則恢復(fù)正常服務(wù)；否則，進(jìn)入正常休假模式.當(dāng)正常休假結(jié)束時(shí)，若服務(wù)系統(tǒng)中無顧客，則再次正常休假.以此類推，直到正常休假結(jié)束時(shí)，系統(tǒng)中有新顧客到達(dá)，才開始正規(guī)的服務(wù)期.

6)正常休假時(shí)間服從參數(shù)為θw的指數(shù)分布.

7)工作休假時(shí)間服從參數(shù)為θv的指數(shù)分布.

8)假設(shè)正常服務(wù)期的到達(dá)時(shí)間間隔、正常服務(wù)時(shí)間、工作休假期的服務(wù)時(shí)間、工作休假時(shí)間、正常休假時(shí)間均相互獨(dú)立.

9)系統(tǒng)服務(wù)機(jī)制為先到先服務(wù)機(jī)制.

2 模型的擬生滅過程

設(shè)Q(t)為t時(shí)刻排隊(duì)系統(tǒng)中的顧客數(shù)(排隊(duì)隊(duì)長)，定義

則{Q(t),J(t),t≥0}是一個(gè)馬爾可夫過程，其狀態(tài)空間為Ω={(0,0),(0,1)}∪{(k,j):k=1,2,…;j=0,1,…}.系統(tǒng)狀態(tài)按照字典序列排列后，得到分塊的馬爾可夫過程的無窮小生成元Q的分塊形式

可見，由矩陣Q的結(jié)構(gòu)可知馬爾可夫過程{Q(t),J(t),t≥0}是一個(gè)擬生滅過程.

3 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)下的隊(duì)長分布

運(yùn)用矩陣幾何解的方法得到擬生滅過程{Q(t),J(t),t≥0}的無窮小生成元的穩(wěn)態(tài)概率解[9]

其中πk指服務(wù)系統(tǒng)處于平衡后系統(tǒng)中有k個(gè)顧客的平穩(wěn)隊(duì)長的概率.

為了得到無窮小概率向量，在擬生滅過程中引入二次矩陣方程

R2B2+RB1+B0=0

(1)

的最小非負(fù)解——率矩陣R.

其中0

證由于B0+B1+B2,R是上三角矩陣，可假設(shè)

(2)

將R代入(1)式，可得

(3)

引理2r滿足

證由方程組(3)可知(λ-+μv)r2-(λ++λ-+θw+μv)r+λ+=0，兩邊同時(shí)除以r，整理可得

引理3(π00,π01,π10,π11,π12)B(R)=0有如下正向量解：

其中π00是常數(shù),可由歸一化條件得出.

證由于

代入矩陣方程(π00,π01,π10,π11,π12)B(R)=0，可得下列方程組:

求解方程組，定理得證.

定理1擬生滅過程{Q(t),J(t),t≥0}是正常返的，當(dāng)且僅當(dāng)ρ<1.

證由文獻(xiàn)[9]中關(guān)于復(fù)雜邊界的無窮小生成元的改進(jìn)方法可知，擬生滅過程{Q(t),J(t),t≥0}是正常返的充要條件為率矩陣的譜半徑Sp(R)=min{r,β,ρ}<1，且線性矩陣方程(π00,π01,π10,π11,π12)B(R)=0有正解.由引理1與引理3可知，上述條件滿足，當(dāng)且僅當(dāng)ρ<1.

定理2如果ρ<1，則馬爾可夫鏈的概率分布為

證運(yùn)用文獻(xiàn)[9]中矩陣幾何解的方法，可得

πk=(πk0,πk1,πk2)=(π10,π11,π12)Rk-1，k=1,2,…，

(4)

由(2)式可得Rk-1,代入(4)式，假設(shè)π00可由歸一化條件得出，即可得結(jié)論.

由定理2，可以得到穩(wěn)態(tài)情況下的概率：

定理3服務(wù)系統(tǒng)在工作休假、正常休假期間，隊(duì)長的條件概率的幾何分布為

P(N=K|J=0)=(1-r)rk,P(N=K|J=1)=(1-β)βk,k=0,1,…,

其中N是穩(wěn)態(tài)下的隊(duì)長.

4 隨機(jī)分解

定理4在ρ<1和μv<μb的條件下，穩(wěn)態(tài)隊(duì)列長度Q可以分解為兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和,

Q=Q0+Qd,

其中：Q0是標(biāo)準(zhǔn)M/M/1隊(duì)列在穩(wěn)定狀態(tài)下的隊(duì)列長度，遵循參數(shù)為1-ρ的幾何分布；Qd為額外的隊(duì)列長度，由于受兩種休假策略的影響，因此具有概率母函數(shù)

穩(wěn)態(tài)平均額外隊(duì)列長度

穩(wěn)態(tài)平均隊(duì)列長度

5 數(shù)值模擬

假設(shè)θw=0.3，θv=0.4，λ-+μb=1，此時(shí)ρ=λ+，繪制μv變化時(shí)的穩(wěn)態(tài)平均隊(duì)列長度變化趨勢(圖1).可以看出,隨著μv的增加,穩(wěn)態(tài)平均隊(duì)列長度相應(yīng)減少;且當(dāng)其他參數(shù)固定時(shí)，ρ越大，穩(wěn)態(tài)平均隊(duì)列長度也越大.假設(shè)λ-+μb=1，μv=0.3，θv=0.4，繪制θw變化時(shí)的穩(wěn)態(tài)平均隊(duì)列長度(圖2).可以看出,隨著θw的增加，穩(wěn)態(tài)平均隊(duì)列長度收斂到固定常數(shù).假設(shè)λ-+μb=1，μv=0.3，θw=0.3，繪制θv變化時(shí)的穩(wěn)態(tài)平均隊(duì)列長度(圖3).可以看出，隨著θv的增加，穩(wěn)態(tài)平均隊(duì)列長度收斂到固定常數(shù).

圖1 μv對(duì)穩(wěn)態(tài)平均隊(duì)列長度的影響Fig.1 The effects of μv on the steady-state mean queue length

圖2 θw對(duì)穩(wěn)態(tài)平均隊(duì)列長度的影響Fig.2 The effects of θw on the steady-state mean queue length

圖3 θv對(duì)穩(wěn)態(tài)平均隊(duì)列長度的影響Fig.3 The effects of θv on the steady-state mean queue length

假設(shè)λ+=0.5，λ-+μb=5，θw=0.3，θv=0.7，比較帶單重工作休假的M/M/1/SWV隊(duì)列、帶多重工作休假的M/M/1隊(duì)列(M/M/1/MV)和本文提出的M/M/1隊(duì)列的穩(wěn)態(tài)平均隊(duì)列長度隨μv的變化趨勢(圖4).可以看出，只有工作休假的排隊(duì)系統(tǒng)，雖然隨著服務(wù)率μv的增加，穩(wěn)態(tài)平均隊(duì)列長度下降較快，但對(duì)服務(wù)器的損耗較大；本文提出的排隊(duì)系統(tǒng)，隨著μv的增加，穩(wěn)態(tài)平均隊(duì)列長度減少，且對(duì)服務(wù)器的損耗相對(duì)較小，兼顧了服務(wù)器與顧客兩方面，更為貼切實(shí)際.因此，服務(wù)公司可以根據(jù)實(shí)際情況，設(shè)計(jì)合理的休假和服務(wù)機(jī)制,使公司更靈活、更高效地運(yùn)作.

圖4 μv對(duì)不同隊(duì)列穩(wěn)態(tài)平均隊(duì)列長度的影響Fig.4 The effects of μv on the steady-state mean queue length of different queue