異質(zhì)多智能體系統(tǒng)預(yù)設(shè)時(shí)間輸出二分一致

徐 周, 劉小洋, 宋 媚, 謝春麗

(江蘇師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 江蘇 徐州 221116)

0 引言

近年來,多智能體的一致性在工程方面得到廣泛應(yīng)用,受到許多學(xué)者的關(guān)注[1-2].一致性問題的目標(biāo)是利用局部信息交互使得所有智能體的狀態(tài)收斂到相同值.在已有的成果中,許多一致性結(jié)果是基于網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)之間是合作關(guān)系這一假設(shè)進(jìn)行討論的.實(shí)際上,節(jié)點(diǎn)之間通常既存在合作關(guān)系,又存在競爭關(guān)系,例如社會(huì)關(guān)系網(wǎng)絡(luò)[3],個(gè)體之間的關(guān)系可能是友好的,也可能是敵對的.基于此,Altafini[4]提出了二分一致的概念,即所有節(jié)點(diǎn)的最終狀態(tài)在數(shù)值上達(dá)到相同,符號上不同.目前,對多智能體二分一致的研究已經(jīng)取得一些成果[5-6].但文獻(xiàn)中的方法只能實(shí)現(xiàn)漸近收斂或者指數(shù)收斂,即只有當(dāng)時(shí)間趨于無窮時(shí),系統(tǒng)才能達(dá)到二分一致.

在二分一致問題中,收斂速度是一項(xiàng)重要的性能指標(biāo).在工程應(yīng)用中,人們往往希望二分一致可以在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到[7-8].然而,多智能體系統(tǒng)的有限時(shí)間控制同樣具有一定的局限性,其收斂時(shí)間依賴于系統(tǒng)的初始值,這嚴(yán)重限制了其適用范圍,尤其對于一些大型網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng).為解決此類問題,Polyakov[9]提出了固定時(shí)間控制策略.與有限時(shí)間控制方法不同,固定時(shí)間控制的收斂時(shí)間上界是一個(gè)與系統(tǒng)初始條件無關(guān)的固定值,然而，它依然不能根據(jù)任務(wù)需要而提前給定.為此,預(yù)設(shè)時(shí)間控制方法被廣泛使用[10-11],如Ren等[10]研究了二階非線性多智能體系統(tǒng)的預(yù)設(shè)時(shí)間聚類一致;Wang等[11]討論了多智能體系統(tǒng)的預(yù)設(shè)時(shí)間包含控制問題.

另一方面,在文獻(xiàn)[5-8]中,所有的智能體節(jié)點(diǎn)都擁有相同的動(dòng)力學(xué),即同質(zhì)系統(tǒng).然而,在實(shí)際應(yīng)用中,智能體常常會(huì)擁有不同的動(dòng)力學(xué)行為，甚至不同的維數(shù),因此,異質(zhì)系統(tǒng)的輸出一致被廣泛研究[12-15]，例如：Hu等[12]基于分布式事件觸發(fā)策略研究了異質(zhì)多智能體系統(tǒng)的輸出一致問題;Ma等[13]采用自適應(yīng)的方法在符號網(wǎng)絡(luò)下討論了異質(zhì)多智能體二分輸出一致;Zhan等[14-15]通過研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者狀態(tài)未知時(shí),觀測器(或狀態(tài)補(bǔ)償器)對于設(shè)計(jì)異質(zhì)多智能體輸出一致的控制器是必不可少的.雖然關(guān)于異質(zhì)多智能體輸出一致的成果已經(jīng)相當(dāng)豐富,但很少有研究關(guān)注異質(zhì)多智能體系統(tǒng)預(yù)設(shè)時(shí)間輸出一致問題.

因此,本文在文獻(xiàn)[14]的基礎(chǔ)上，針對網(wǎng)絡(luò)拓?fù)錇橛邢驁D和無向圖兩種情形,分別討論異質(zhì)多智能體的預(yù)設(shè)時(shí)間輸出二分一致問題.

1 預(yù)備知識與模型描述

1.1 預(yù)備知識

定義圖G=(W,E,A)為多智能體之間的交互拓?fù)?其中W={1,2,…,N}表示節(jié)點(diǎn)集,E?W×W是邊集.若G為無向圖,則邊(i,j)表示節(jié)點(diǎn)i和j之間可以相互交換信息.若G為有向圖,則邊(j,i)表示節(jié)點(diǎn)i可以獲得節(jié)點(diǎn)j的信息.A=(aij)N×N為G的鄰接矩陣,其中aij表示邊權(quán)重值.如果(i,j)∈E,則aij≠0,否則aij=0.本文不考慮節(jié)點(diǎn)自環(huán)(aii=0)的情況.包含不同節(jié)點(diǎn)的一組邊序列(ni,ni1),(ni1,ni2),…,(nis,nj)稱為路徑.如果圖G中任意兩個(gè)不同節(jié)點(diǎn)都可以被一條路徑所連接,則稱圖G為強(qiáng)連通圖.

記矩陣B=diag(b1,b2,…,bN),其中bi>0表示第i個(gè)跟隨者可以直接獲得領(lǐng)導(dǎo)者的信息,否則bi=0.記矩陣M=(mij)N×N=L+B.

引理1[4]如果圖G為結(jié)構(gòu)平衡圖,則存在一個(gè)對角矩陣D=diag(d1,d2,…,dN),di∈{1,-1},使得矩陣DAD的所有元素非負(fù).

注1由引理1可知,矩陣DMD是正定矩陣.又因?yàn)榫仃嘙相似于DMD,所以矩陣M也是正定矩陣.進(jìn)一步,存在對角矩陣Π=diag(π1,π2,…,πN)>0,使得ΠM+MTΠ>0.

1.2 模型描述

考慮一類異質(zhì)線性多智能體系統(tǒng),其領(lǐng)導(dǎo)者的動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

第i個(gè)跟隨者的動(dòng)力學(xué)方程為

(2)

其中:x0∈Rn0,xi∈Rni,y0∈Rl,yi∈Rl分別表示領(lǐng)導(dǎo)者和第i個(gè)跟隨者的狀態(tài)和輸出;ui∈Rmi表示第i個(gè)跟隨者的控制輸入;A0∈Rn0×n0,Ai∈Rni×ni,C0∈Rl×n0,Bi∈Rni×mi,Ci∈Rl×ni;i∈W.

假設(shè)1A0的特征值不含有正實(shí)部.

假設(shè)2方程組

存在解(Φi,Ui),i∈W.

假設(shè)3矩陣對(Ai,Bi)可穩(wěn)定,i∈W.

其中a>1,0

引理3[17]令x1,x2,…,xN≥0,m>1,0

引理4[18]考慮系統(tǒng)

(3)

其中x∈Rn,f(x):Rn→Rn連續(xù),并且f(0)=0.如果存在一個(gè)連續(xù)的正定徑向無界函數(shù)V:Rn→R,使得對任意解x(t,x0),滿足

2 主要結(jié)果

2.1 無向圖下異質(zhì)多智能體的預(yù)設(shè)時(shí)間輸出二分一致

假設(shè)4無向圖G是強(qiáng)連通圖,并且是結(jié)構(gòu)平衡圖,且至少存在一個(gè)跟隨者可獲得領(lǐng)導(dǎo)者的信息.

設(shè)計(jì)預(yù)設(shè)時(shí)間觀測器來觀測領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)，其形式為

(4)

定義誤差ρi(t)=ξi(t)-dix0(t),則

(5)

定理1對于系統(tǒng)(1)及觀測器(4),若假設(shè)1—4成立，且滿足

證構(gòu)造Lyapunov泛函V(t)=ρT(t)(M?K)ρ(t).對V(t)沿誤差系統(tǒng)(5)求導(dǎo),得

根據(jù)引理2,得

接下來,證明系統(tǒng)(1),(2)可以實(shí)現(xiàn)預(yù)設(shè)時(shí)間輸出一致,設(shè)計(jì)控制器

(6)

令φi(t)=xi(t)-Φiξi(t),則

當(dāng)t>T1時(shí),zi(t)=0,則

從而

(7)

定理2對于異質(zhì)多智能體系統(tǒng)(1),(2),假設(shè)1—4成立,如果控制器(6)中的參數(shù)S1i,S2i,S3i滿足

S2i=Ui-S1iΦi,

(8)

BiS3i=I,

(9)

Ai+BiS1i<0,

(10)

則(1),(2)將達(dá)到預(yù)設(shè)時(shí)間輸出二分一致,且收斂時(shí)間上界為T1+T2.

證由條件(8)，可得

Aixi(t)+BiS1ixi(t)+BiS2iξi(t)-ΦiA0ξi(t)=(Ai+BiS1i)φi(t),

(11)

結(jié)合式(7)和(11),得

(12)

(13)

由條件(10),可得φT(t)(A+BS1)φ(t)<0.進(jìn)一步有

yi(t)-diy0(t)=CiΦiξi(t)-diC0x0(t)=diCiΦix0(t)-diC0x0(t).

基于假設(shè)2,得CiΦi=C0,則yi(t)-diy0(t)=0.

綜上,異質(zhì)多智能體系統(tǒng)(1),(2)實(shí)現(xiàn)預(yù)設(shè)時(shí)間輸出二分一致，其收斂時(shí)間上界為T1+T2.

2.2 有向圖下異質(zhì)多智能體的預(yù)設(shè)時(shí)間輸出二分一致

假設(shè)5有向圖G是結(jié)構(gòu)平衡圖且包含一棵有向生成樹,其領(lǐng)導(dǎo)者節(jié)點(diǎn)為根節(jié)點(diǎn).

設(shè)計(jì)觀測器

(14)

定義誤差εi(t)=ζi(t)-dix0(t),則

(15)

(16)

定理3對于異質(zhì)多智能體系統(tǒng)(1)及觀測器(14),若假設(shè)1—3,5成立,且

(17)

記sigη(ri(t))=(sigη(ri1(t)),sigη(ri2(t)),…,sigη(rin0(t)))T,sigθ(ri(t))=(sigθ(ri1(t)),sigθ(ri2(t)),…,sigθ(rin0(t)))T,可得

(18)

記p(t)=(sigη(r1(t))+sigθ(r1(t)),sigη(r2(t))+sigθ(r2(t)),…,sigη(rN(t))+sigθ(rN(t)))T,則

(19)

其中

(20)

由r(t)=(M?In0)ε(t),可得

(21)

(22)

(23)

結(jié)合式(22),(23)式,得

(24)

(25)

結(jié)合式(24),(25),得

接下來,證明系統(tǒng)(1),(2)可以實(shí)現(xiàn)預(yù)設(shè)時(shí)間輸出一致.為此,設(shè)計(jì)控制器

(26)

定理4對于異質(zhì)多智能體系統(tǒng)(1),(2),若假設(shè)1—3,5成立，且控制器(26)中參數(shù)Q1i,Q2i,Q3i滿足

Q2i=Ui-Q1iΦi,BiQ3i=I,Ai+BiQ1i<0,

則(1),(2)將達(dá)到預(yù)設(shè)時(shí)間輸出二分一致,且收斂時(shí)間上界為T3+T4.

3 數(shù)值仿真

分別考慮無向圖(圖1)和有向圖(圖2)下的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)的預(yù)設(shè)時(shí)間輸出二分一致.在仿真中，考慮異質(zhì)多智能體系統(tǒng)包含一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者節(jié)點(diǎn)(標(biāo)記為0)和5個(gè)跟隨者節(jié)點(diǎn)(標(biāo)記為1—5).將跟隨者節(jié)點(diǎn)劃分為2個(gè)子集V1={1,2},V2={3,4,5},相應(yīng)地,D=diag(-1,-1,1,1,1).令xi(t)=(xi1(t),xi2(t))T,系統(tǒng)(1),(2)中的其余參數(shù)設(shè)計(jì)為

相應(yīng)的矩陣參數(shù)設(shè)計(jì)為

圖1 無向圖Fig.1 Undirected graph

圖2 有向圖Fig.2 Directed graph

圖3 觀測器ξ(t)第1維分量的狀態(tài)軌跡Fig.3 State trajectories of x01(t),ξi1(t)

圖4 觀測器ξ(t)第2維分量的狀態(tài)軌跡Fig.4 State trajectories of x02(t),ξi2(t)

圖5 定理2中y0(t),yi(t)的狀態(tài)軌跡Fig.5 State trajectories of y0(t),yi(t) in Theorem 2

圖6 觀測器ζ(t)第1維分量的狀態(tài)軌跡Fig.6 State trajectories of x01(t),ζi1(t)

圖7 觀測器ζ(t)第2維分量的狀態(tài)軌跡Fig.7 State trajectories of x02(t),ζi2(t)

圖8 定理4中y0(t),yi(t)的狀態(tài)軌跡Fig.8 State trajectories of y0(t),yi(t) in Theorem 4

4 結(jié)語

在無向圖與有向圖下研究異質(zhì)多智能體系統(tǒng)的預(yù)設(shè)時(shí)間輸出二分一致問題.設(shè)計(jì)了預(yù)設(shè)時(shí)間觀測器來估計(jì)領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài).通過設(shè)計(jì)預(yù)設(shè)時(shí)間控制器,提出相應(yīng)的同步判別準(zhǔn)則,保證了異質(zhì)多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)預(yù)設(shè)時(shí)間輸出二分一致.最后通過數(shù)值仿真,驗(yàn)證了理論結(jié)果的有效性與可行性.