基于事件觸發的離散 MIMO 系統自適應評判容錯控制

王 敏 黃龍旺 楊辰光

隨著現代工業的快速發展,無線通信技術被廣 泛用于各類控制系統中,以解決工業過程的遠程控制問題,同時提高設備安裝和配置的靈活性.例如,地面站對高空無人機的控制,以及控制臺對作業車間中工業機器人的遠程控制等都是借助無線通信技術來實現的[1?2].然而,在網絡資源受限的情況下,傳統的周期性數據傳輸和執行的控制方式很容易引發網絡擁塞.針對該問題,文獻[3]提出了事件觸發的控制策略.該策略通過僅在滿足觸發機制要求時進行數據傳輸,從而有效地減少了控制系統中網絡資源的占用.結合事件觸發策略,自適應控制和萬能逼近器等技術,大量針對不確定非線性系統的事件觸發控制方案相繼被提出[4?6].需要指出的是,上述方案極少考慮系統存在非匹配的不確定非線性動態情況,即不確定非線性動態出現在非控制輸入通道.事實上,非匹配的非線性動態普遍存在于各種實際系統,如無人車,機械臂和飛行器等[7?12].針對嵌入了 “控制器?執行器網絡”的非匹配非線性系統,國內外學者們提出了大量具有相對或絕對事件觸發條件的控制方案[13?15].由于事件觸發條件設計與系統穩定性的強耦合特性,導致上述方案很難拓展到嵌入 “傳感器?控制器網絡”的不確定非匹配非線性系統.為了解決該難題,文獻[16]結合脈沖動力系統和死區算子等技術,提出了具有自適應事件觸發條件的控制方案.需要說明的是,上述方案僅適合于連續系統.

相比于連續系統,離散系統更適用于描述數字化系統的控制過程.然而,離散系統事件觸發控制方面的研究成果寥寥無幾.造成這一現象的主要原因是直接利用反步法對離散非匹配系統進行控制器設計時,通常會產生非因果問題[17],故而難以將連續系統的研究成果直接推廣到對應的離散系統上.為了克服該問題,文獻[18]先將原系統轉化成一個n步向前預測模型,并在該模型上進行反步控制設計.在假設網絡資源充足的前提下,大量基于n步預測器的離散非匹配非線性系統的控制方案相繼被提出[19?22].考慮到遠程控制中網絡資源受限問題,文獻[23]嘗試提出了基于n步預測模型的事件觸發自適應神經網絡控制方案.然而,文獻[23]設計的控制器存在n步滯后現象,且觸發條件復雜不便于實施.在此基礎上,文獻[24?25]探討了隨機噪聲情況下離散非匹配非線性系統的事件觸發控制問題.值得注意的是,上述的方案都沒有考慮事件觸發下系統的最優控制問題和可能出現的執行器故障現象.

眾所周知,在資源受限的情況下考慮如何利用有限的資源來優化系統性能以及減少資源浪費是非常有必要的.動態規劃是常用的解決最優化問題的有效方法之一,但是控制動態規劃后向尋優的求解過程的矛盾以及系統維數較高時所導致的 “維數災”問題,使得動態規劃難以在系統的最優化控制中得到大規模的應用[26].為了解決此問題,文獻[27]通過采用 “執行?評價”結構,提出了自適應評判設計方法.該方法使得執行網絡能夠根據評價結果適時調整控制策略,從而達到實時尋優的目的.目前,自適應評判設計被廣泛應用于解決離散和連續系統的最優控制問題[21?22,28?30].如何將該方法推廣到具有網絡資源受限的離散非匹配非線性系統控制中是亟待解決的問題.此外,執行器故障廣泛存在于工業生產過程中.執行器故障會導致系統性能下降,甚至導致系統不穩定[31?34].因此,在執行器故障下,研究離散非匹配非線性系統的事件觸發自適應評判容錯控制具有重要意義.

基于上述分析,本文著重研究具有非匹配結構的離散多輸入多輸出(Multi-input multi-output,MIMO)非線性系統的事件觸發自適應評判容錯控制問題.與現有的結果相比,本文的貢獻可歸納如下:1)構造光滑的效用函數來構建系統的長期性能指標函數,從而避免了現有的非光滑二值效用函數切換過程中可能引起的評價網絡和執行網絡跳變現象;2)采用變量替換法將系統的將來信息表示成關于系統當前狀態的函數,從而避免了控制設計過程中的非因果問題和控制信號的n步時延問題;3)通過在控制器中引入動態補償項,并結合自適應評判設計方法,從而改善了系統控制性能和進一步降低了事件觸發次數.

1 問題描述及預備知識

本文所考慮的網絡控制系統模型如下

1.1 高階神經網絡

本文采用高階神經網絡(High-order neural network,HONN)來逼近未知的非線性動態,HONN 的結構能夠用如下方程來描述:

1.2 事件觸發機制

如圖1 所示,本文主要考慮系統的傳感器和控制器通訊時采用事件觸發機制進行數據傳輸.當觸發條件滿足時,傳感器將采集到的系統狀態數據通過網絡傳輸給控制器.為了便于事件觸發條件的設計,本文定義如下的傳輸誤差

圖1 網絡控制系統框圖Fig.1 Schematic diagram of networked control systems

其中,kt表示上一個事件觸發時刻,X(k) 為系統(1)的當前狀態,X(kt) 為上一次傳輸的系統狀態.

2 基于事件觸發的自適應評判容錯控制設計

在這一節中,針對所考慮的系統(1),本文提出了一種基于事件觸發的自適應評判容錯控制方案.

為了便于控制器設計,定義如下的誤差變量

基于以上定義的誤差變量(7)和中間函數(8),評價網絡和執行網絡的具體設計過程給出如下.

2.1 評價網絡設計

首先,定義效用函數

其中,ηj >0 是一個可調參數.根據式(9)可知,當跟蹤誤差zj,1(k)=0 時,qj(k)=0;當跟蹤誤差zj,1(k)→±∞時,qj(k)→1. 因此,qj(k) 可視作系統當前性能的評價.基于效用函數qj(k),定義系統長期性能指標函數

其中,0<ζj <1.根據定義(10)可得

式(11)也被稱為Bellman 等式.采用評價網絡對Qj(k) 進行逼近,則有

注 1.在評價網絡的設計中,文獻[22,31]都采用二值效用函數來構建長期的性能函數.由于評價網絡與執行網絡相關聯,二值效用函數值的突變會對執行網絡造成沖擊,從而加速執行部件的老化和磨損.為了避免該問題,本文利用指數函數和跟蹤誤差zj,1(k) 定義了一個光滑的效用函數(9).從式(9)可知,qj(k) 的值在 [ 0,1) 之間連續變化,從而能夠避免由于效用函數值的突變造成執行網絡的沖擊.

2.2 執行網絡設計

這部分主要進行執行網絡的設計.首先,利用反步法設計出理想的控制律,并用執行網絡來對其進行逼近.具體設計過程如下.

根據式(19),式(21) 中的αj,1(k+1) 中包含系統的將來信息x1(k+1).若不加以處理,接下來設計出的虛擬控制律和實際控制律中都將包含系統的將來信息,導致所得出的控制律不可實現.為了解決該問題,本文利用變量替換的方法將αj,1(k+1)表示成關于系統當前狀態的函數:

根據式(19)、(23)和中間函數(8),可推知

注 2.在控制器的設計中,不同于文獻[18?22]所采用的n步向前預測模型方法,本文利用以當前時刻系統狀態為變量的函數來刻畫虛擬控制律的將來信息(26),從而成功避免了在離散系統控制設計過程中可能出現的非因果問題以及基于n步預測模型所導致的控制信號滯后n步的問題.

注 3.從式(26) 可知,虛擬控制律的將來信息(k+1)已經被表示為系統狀態當前信息和參考信號將來信息的函數.類似于現有文獻[18?22],本文假定參考信號是人為給定的,能夠事先獲得將來信息.此外,如果實際系統中參考信號的將來信息無法預先獲得,那么可以構造ij步參考信號預測器,從而可以解決該問題.

注 4.注意到本文所考慮的系統(1) 是全狀態可測的.然而,通過構造狀態觀測器[35]和引入控制增益函數(·)(j=1,2,···,N)是已知的約束,本文所提出的狀態反饋控制方案很容易推廣到系統狀態不完全可測的情況.需要指出的是,在狀態不完全可測的情況下,對于未知函數增益(·) 的處理目前仍是一個開放性和具有挑戰性的問題.

3 主要結果

注意到事件觸發機制設計的主要目的在于節省網絡資源,該機制決定了是否將傳感器采集到的當前時刻的系統數據發送給控制器.為了能夠在節省網絡帶寬情況下仍然保證系統的控制性能,本文首先設計了如下的靜態事件觸發條件:

那么閉環系統中的所有信號都是最終一致有界的.

基于定理1 的研究結果,本文借鑒動態事件觸發機制設計思想[36?37],進一步對定理1 的研究結果進行了推廣.

定理 2.考慮離散多輸入多輸出系統(1),控制器(33)、(40),評價網絡和執行網絡的權值更新律(15) 和(37),以及設計如下的動態事件觸發條件:

若設計參數laj,lcj,σaj,σcj,?j,rj,ij(ij=1,2,···,nj),0<ζj <1,0<βj <1,0<γaj <1/laj,0<γcj <1/lcj滿足條件(43),且 01/pj1,那么閉環系統中的所有信號都是最終一致有界的.

定理2 的證明與定理1 類似,讀者可自行證明.

注 5.定理2 通過在定理1 的靜態事件觸發條件(42)中引入額外的動態變量hj(k),構造出了典型的動態事件觸發條件(57).隨后,可以通過修改Lyapunov 函數為并采用類似定理1 的證明過程,很容易證明在動態事件觸發條件(57)下閉環系統的所有信號也是最終一致有界的.此外,通過簡單地分析可以得出,相比于靜態事件觸發條件(42),動態事件觸發條件(57)能夠進一步降低事件觸發的次數.但需要指出的是,額外動態變量hj(k) 的引入,將導致動態事件觸發條件(57) 的計算量有所增加.因此,在實際應用中,用戶可以結合自身的網絡帶寬和處理器的情況選擇適當的事件觸發條件.

4 仿真驗證

本章分別選取了數值算例和雙連桿機械臂系統的仿真實例,來驗證本文所提出的方案的有效性.

4.1 數值仿真

首先,考慮參考文獻[19]中的數值模型:

仿真步長T=0.01 s,仿真步數N=2 000.仿真結果如圖2～圖7 所示.圖2 和圖3 表明了系統的輸出能夠很好地跟蹤上給定的參考信號.圖4 指示了事件觸發間隔.從圖5 可以看出,評價網絡的輸出始終在零附近,進一步說明系統取得了令人滿意的控制性能.圖6 和圖7 表明了執行網絡和評價網絡的權值的有界性.在2 000 步仿真中,總的數據傳輸次數為843 次,較時間觸發的控制方案減少了約60% 的網絡資源占用.

圖2 子系統1 輸出跟蹤效果Fig.2 Output tracking performance of subsystem 1

圖3 子系統2 輸出跟蹤效果Fig.3 Output tracking performance of subsystem 2

圖4 事件觸發間隔Fig.4 Event triggering interval

圖5 長期性能函數Fig.5 Long-term performance function

圖6 執行網絡的權值范數Fig.6 Norm of action NN weights

圖7 評價網絡的權值范數Fig.7 Norm of critic NN weights

此外,本文進行了兩組對比仿真實驗,并采用平均絕對誤差(Mean absolute error,MAE) 和平均帶寬占用(Average bandwidth occupation,ABO)來對系統的性能進行定量刻畫:

其中,ne表示總的數據傳輸次數,pL表示一次發送的數據包長度,bL表示數據類型的比特長度,T ×N表示時間長度.在仿真中,傳輸的向量X(k) 中包含4個元素,數據類型為float.由此可計算pL=4,bL=32bit.

第1 組對比實驗的結果見表1.通過對比表格1 中的數據,可以看出執行器故障補償機制和光滑的效用函數在改善系統性能方面的有效性.第2 組對比實驗的結果見表2.為了便于表示,表2 中“SETC” (Static event-triggered condition)代表靜態事件觸發條件;“DETC” (Dynamical eventtriggered condition) 代表動態事件觸發條件,“CPU”(Central processing unit)代表電腦中央處理器.對比表2 中的數據可知,DETC (57) (pj1=0.01,pj2=101) 相比于SETC (42)而言,能夠進一步減少事件觸發次數,同時也因為動態變量hj(k) 的引入導致了算法計算量的增加.

表1 仿真實驗對比1Table 1 Comparison of simulation results

表2 仿真實驗對比2Table 2 Comparison of simulation results

4.2 實例仿真

為了進一步說明本文方案的有效性,本文對雙連桿機械臂模型進行了仿真實驗.已知雙連桿機械臂的歐拉?拉格朗日動力學模型[29]為:

圖8 例2 關節1 的輸出跟蹤效果Fig.8 Tracking performance of joint 1 of Example 2

5 總結與展望

圖9 例2 關節2 的輸出跟蹤效果Fig.9 Tracking performance of joint 2 of Example 2

圖10 例2 的事件觸發間隔Fig.10 Event triggering interval of Example 2

圖11 例2 的長期性能指標函數Fig.11 Long-term performance function of Example 2

圖12 例2 的執行網絡權值范數Fig.12 Norm of action NN weights of Example 2

圖13 例2 的評價網絡權值范數Fig.13 Norm of critic NN weights of Example 2

本文針對存在執行器故障的離散MIMO 嚴格反饋非線性系統的最優跟蹤控制問題,提出了一種基于事件觸發的自適應評判控制設計方案.相比于現有的基于n步預測模型的控制方案,本文所提出的基于變量替換控制方案避免了控制信號的n步時延問題.此外,通過設計執行器故障補償機制,事件觸發機制與自適應評判機制,本文所提出的控制方案不僅節省了網絡資源占用,而且改善了系統的控制性能.最后仿真結果驗證了本文所提出的方案的有效性.注意到在離散系統的網絡控制方面仍然有諸多待解決的問題,例如數據丟包[38],網絡攻擊[39],執行器故障估計[40?41]等,這些問題將是我們未來的工作方向.