基于輸出反饋線性化的多移動機器人目標包圍控制

寇立偉 項 基

近年來,多移動機器人的協(xié)同控制得到了越來越廣泛的研究與應用[1?5].和單一機器人相比,多移動機器人能夠執(zhí)行更加復雜的任務,同時對外部環(huán)境的變化有更強的魯棒性.典型的多移動機器人協(xié)同控制主要包括包絡控制[6]、主從編隊控制[7]、環(huán)形運動控制等.本文主要研究非完整約束下的多移動機器人的包圍控制問題,旨在設計一種協(xié)同控制器,不考慮具體的編隊形狀同時能夠保證移動目標指數(shù)收斂到多移動機器人構(gòu)成的凸包內(nèi)部.

目前,已有一些完整、系統(tǒng)的包圍控制研究成果.如文獻[8]采用圖論和動態(tài)系統(tǒng)理論研究了一階積分型機器人的包圍控制問題;文獻[9]利用復鄰接矩陣方法設計了一種分布式包圍控制器.但是,以上控制策略無法擴展到受非完整約束的多移動機器人系統(tǒng).非完整系統(tǒng)控制的難點在于,不存在任何連續(xù)的靜態(tài)狀態(tài)反饋控制律使其穩(wěn)定到平衡點[10].然而,文獻[11]指出如果選擇合適的坐標平移,非完整系統(tǒng)能夠滿足輸出反饋線性化條件,使得控制器設計更加簡潔.該方法已經(jīng)廣泛應用在機器人、水面船等各類非完整系統(tǒng)的控制器設計中[12?13].

另一方面,多移動機器人的包圍控制問題可認為是環(huán)形運動控制的擴展.環(huán)形運動控制在包圍目標點的同時,圍繞目標點做等角度的圓周運動.文獻[14]考慮靜止目標,研究了在聯(lián)合連通圖條件下的環(huán)形運動控制.文獻[15]考慮了速度約束下的非完整移動機器人的環(huán)形運動控制.在實際工程應用中,感興趣的目標點經(jīng)常隨著時間不斷變化.文獻[16?17]研究了多小車對常速移動目標的環(huán)形包圍;文獻[18]研究了目標速度時變情況下的環(huán)形包圍控制.

以上文獻都要求事先指定編隊形狀或是相鄰機器人之間、機器人和目標點之間的相對距離/角度.然而,考慮實際復雜時變的外部環(huán)境,不可能對其事先指定.而且對于時效性較強的包圍控制,將目標包圍在機器人構(gòu)成的凸包內(nèi)部是其首要任務,例如軍事領域中對敵方目標的包圍打擊等.基于以上考慮,文獻[19]提出了一種新的目標包圍控制策略,該策略能夠使目標收斂到多智能體構(gòu)成的凸包內(nèi)部,并且無需指定包圍隊形.

在文獻[19]的基礎上,本文研究了受非完整約束的多移動機器人的移動目標包圍控制問題.通過坐標偏置,為移動機器人設計輸出反饋線性化控制器,并引入障礙函數(shù)和自適應項實現(xiàn)障礙規(guī)避和對移動目標的速度估計.和文獻[19]相比,本文一方面將單積分系統(tǒng)擴展到了受非完整約束的多移動機器人系統(tǒng),另一方面將靜止目標擴展到了未知常速移動的目標.主要貢獻:1) 控制器可使多移動機器人包圍移動目標,使其指數(shù)收斂至移動機器人所構(gòu)成的凸包內(nèi)部;2) 引入障礙函數(shù)保證了機器人之間的障礙規(guī)避;3) 引入自適應項實現(xiàn)了對移動目標的速度估計;4) 利用局部線性化方法研究了多移動機器人系統(tǒng)方位角動態(tài)的穩(wěn)定性.

1 系統(tǒng)建模和問題描述

文中,N={1,2,···,n},n代表移動機器人個數(shù),本文假設n ≥3.?θ ∈R,R(θ)=[τ(θ),ν(θ)],τ(θ)=[cos(θ),sin(θ)]T,ν(θ)=[?sin(θ),cos(θ)]T.給定任一n維向量x∈Rn,∥x∥=[|x1|,|x2|,···,|xn|]T,∥x∥代表模長.給定任意兩個向量xi和xj,xij:=xi ?xj.xi ?xj(xi xj) 表示xi, k

1.1 系統(tǒng)建模

考慮如下n個移動機器人運動學模型

ri=[xi,yi]T表示世界坐標系下機器人i的幾何中心,θi代表機器人的方位角.ui=[ui,ωi]T代表機器人的獨立控制輸入,其中ui和ωi分別代表機器人的縱向線速度和旋轉(zhuǎn)角速度.

定義多移動機器人的位置分布r=[r1,r2,···,rn]和相應多移動機器人構(gòu)成的凸包:

其中,r0表示目標的位置,v0表示運動目標的未知常值速度.目標點和凸包距離定義如下:

顯然,當且僅當r0∈co(r),Pr0(r)=0.該結(jié)果表示實現(xiàn)了移動目標包圍控制目標.

本文選取移動機器人i縱軸正前方,距離機器人幾何中心δ遠的點作為偏置點(第2 節(jié)分析表明相對ui滿足輸出反饋線性化條件),如圖1所示.此外,本文采用最近鄰居規(guī)則來確定機器人i的鄰居節(jié)點.機器人i的鄰居節(jié)點可由以下集合Ni表示

圖1 目標包圍示意圖Fig.1 Illustration of target fencing

1.2 問題描述

由于目標速度v0未知,本文引入自適應項vi對v0進行估計.結(jié)合第1.1 節(jié)機器人i的局部測量信息,本文研究的移動目標包圍控制問題可總結(jié)如下.

考慮多移動機器人系統(tǒng)(1)和目標動態(tài)(2),設計帶有速度估計器vi的控制器ui,例如

使得閉環(huán)系統(tǒng)滿足以下三個性質(zhì):

1)目標指數(shù)收斂到多移動機器人構(gòu)成的凸包內(nèi)部,即limt→∞Pr0(r(t))=0;

2)機器人之間的碰撞可以避免,即∥rij(t)∥>d,?t ≥0,ij ∈N;

3) 速度估計器vi漸近收斂到目標速度v0,即limt→∞vi(t)=v0.

2 主要結(jié)果

本節(jié)首先利用輸出反饋線性化方法推導出多移動機器人的移動目標包圍控制策略,然后利用Lyapunov 理論對整個閉環(huán)系統(tǒng)進行了嚴格的收斂性分析.

2.1 控制器設計

由式(1)可知,機器人i動態(tài)滿足如下約束:

Frobenius 定理表明該約束不可積,因此該約束是典型的非完整約束,不滿足反饋線性化的條件,無法通過線性化的方法設計控制器.文獻[10]進一步指出,不存在任何連續(xù)的靜態(tài)狀態(tài)反饋控制律使該系統(tǒng)穩(wěn)定到平衡點.為克服以上缺點,本文選取移動機器人i縱軸正前方,距離機器人幾何中心δ遠的點作為偏置點(如圖1 所示).由幾何關系可知,該點與機器人幾何中心滿足=ri+τ(θ)δ,該點隨時間微分可得

式中,常數(shù)矩陣Q=diag{1,δ }. 由于R(θi)Q為可逆矩陣,表明輸出相對于輸入ui相對階為1,滿足輸出反饋線性化條件[20].

定義誤差向量

該向量隨時間微分可得

由于無法獲取移動目標的速度信息,本文利用速度估計器對其估計.控制器設計如下

2.2 收斂性分析

定理 1.考慮多移動機器人系統(tǒng)(1) 和移動目標動態(tài)(2),其中移動目標以未知常速運動.假設移動機器人位置在初始時刻滿足∥rij(0)∥>d,ij ∈N,則當參數(shù)δ足夠小時,多移動機器人系統(tǒng)在控制器(8)的作用下可以實現(xiàn)移動目標的包圍控制,同時整個閉環(huán)系統(tǒng)滿足性質(zhì)1)～3).此外,多移動機器人的方位角可以漸近收斂到目標的移動方向.

由上述分析可知,控制器可以實現(xiàn)多移動機器人對移動目標的包圍控制,但并未考慮包圍控制過程中移動機器人方位角的穩(wěn)定性.從實際應用考慮,移動機器人方位角的穩(wěn)定性對包圍控制的效果有重要意義.

當閉環(huán)系統(tǒng)實現(xiàn)性質(zhì)1)～3)時,由控制器(8)可知ui=Q?1R?1(θi)v0,其元素形式為:

定義能量函數(shù)V(θi)=1?cos(θi ?θ0)∈L∞.該函數(shù)對時間求導可得

注 2.盡管本文設計的多移動機器人系統(tǒng)的協(xié)同包圍控制器針對的是以未知常速運動的移動目標,但該控制器亦適用于靜止目標.因為靜止目標的速度一直保持為0,亦屬于特殊的 “未知常速運動”的移動目標.針對靜止目標,控制器(8)可以保證閉環(huán)系統(tǒng)滿足性質(zhì)1)～3),同時實現(xiàn)機器人位置和方位角的收斂.但和一般未知常速移動目標(即速度不為0 的常速移動目標)相比,靜止目標沒有移動方向的概念,也可認為靜止目標的移動方向是任意的.對于靜止目標的協(xié)同包圍任務,本文的控制器不保證機器人的方位角最終會收斂到什么方向.

3 數(shù)值仿真

本節(jié)以5個移動機器人為例,驗證控制器的有效性.給定機器人的初始位置ri(0)=20[cos(2(i ?1)π/5),sin(2(i?1)π/5)]T,i∈{1,2,3,4,5};初始方位角θ1(0)=θ2(0)=0,θ3(0)=π/2,θ4(0)=2π/3,θ5(0)=π.移動目標的初始位置r0(0)=[0,?40]T,移動速度v0=[3,1]T.給定控制器參數(shù)K=diag{0.5,0.5}以及 (δ,μ,d)=(0.1,25,15).

圖2 繪制了目標包圍控制中多移動機器人的運動軌跡.其中淺藍色虛線表示目標的運動軌跡,多邊形表示移動機器人在t={0,15,30,45,60}s 時刻所構(gòu)成的凸多邊形,箭頭表示機器人在相應時刻的位置和方位角.平均位置誤差e? 隨時間變化的曲線如圖3 所示,由圖3 可知隨時間變化e? 會收斂到0.結(jié)合第2 節(jié)收斂性分析可知,目標包圍控制的性質(zhì)1)能夠?qū)崿F(xiàn).任意兩個機器人之間的相對距離變化如圖4 所示.由圖4 易知,機器人間的相對距離始終保持∥rij(t)∥>d,ij ∈N,因此整個目標包圍控制可以保證障礙規(guī)避.

圖2 目標包圍控制中多移動機器人的軌跡Fig.2 Trajectories of multiple mobile robots during target fencing control

圖3 平均位置誤差Fig.3 Time evolution of the average position error

圖4 機器人 i 和 j 之間的相對距離Fig.4 Time evolution of the relative distance between robot i and robot j

此外,速度估計曲線隨時間變化如圖5 所示,由圖5 可知速度估計會漸近收斂到目標速度,即limt→∞vi(t)=v0.圖6 繪制了機器人在世界坐標系下的速度隨時間變化曲線,由圖6 可知該速度漸近收斂到目標速度.圖7 繪制了機器人的方位角隨時間變化的曲線,由圖7 易知所有機器人的方位角都可漸近收斂到目標的移動方向.

圖5 速度估計Fig.5 Time evolution of the velocity estimation

圖6 機器人在世界坐標系下的速度Fig.6 The robots＇ velocity in terms of global frame of reference

圖7 機器人的方位角Fig.7 The robots＇ bearing angle

4 結(jié)論

本文研究了非完整約束下多移動機器人系統(tǒng)的移動目標包圍控制問題.控制器基于輸出反饋線性化方法,并且無需事先指定包圍隊形.基于Lyapunov 穩(wěn)定性理論對整個閉環(huán)系統(tǒng)作了嚴格的收斂性分析.仿真結(jié)果驗證了該控制器可以實現(xiàn)指數(shù)包圍控制、機器人間的障礙規(guī)避、對移動目標未知速度的有效估計以及機器人的方位角能夠漸近收斂到目標的移動方向.