基于分數階灰色模型的河南省糧食產量預測*

陳振坤，賈積身

(河南科技學院數學科學學院，河南新鄉,453003)

0 引言

糧食既是關系國計民生和國家經濟安全的重要戰略物資，也是人民群眾最基本的生活資料，糧食安全與社會和諧、政治穩定和經濟發展息息相關。面對信息化進程加劇，人均資源驟減，農業科技水平不高和農業人員減少等發展不平衡不充分矛盾，加強糧食生產及其影響因素的研究，并制定科學合理的農業政策，對于維系社會穩定與國家安全具有重要意義[1-2]。

關于糧食產量預測的模型主要有回歸模型、神經網絡模型和灰色預測模型等，這些模型各有優劣[3-7]。分數階GM(1,1)模型FGM(1,1)雖然能在單序列的模擬上顯示出優勢，但其局限性在于無法描述子序列對系統的影響方式與強度[8-9]。隨著研究的深入，關于糧食產量與預測的研究逐步由單因素轉向多因素、由分類轉向綜合，更加注重系統性、穩定性和完備性。選取2010—2019年河南省糧食產量及相關因素數據，采用灰色關聯分析方法選出對糧食產量影響較大的3個因素建立分數階GM(1,4)模型FGM(1,4),并基于分數階算子相關理論[10]和優化算法尋找FGM(1,4)模型的最優階r，以河南省為例進行模擬和預測，驗證了模型的有效性。

1 相關基本理論

1.1 灰色關聯分析

灰色關聯分析方法主要根據數據序列變化趨勢的接近程度來衡量它們之間關聯性的大小，從而為系統分析和未來預測提供理論基礎。灰色關聯度的計算方法[2]。

首先，關聯系數是反映每一個動態時點上各個比較序列與參考序列之間的相關程度的參數，記為γ[x0(k),xi(k)]其中i=1,2,…,n。則對于分辨系數ξ∈(0,1)，一般取ξ=0.5。令

(1)

X0與Xi的灰色關聯度

(2)

式中：X0——糧食產量序列；

Xi——相關因素序列；

γ[x0(k),xi(k)]——糧食產量序列和相關因素序列之間的灰色關聯系數；

γ(X0,Xi)——糧食產量序列和相關因素序列之間的關聯度。

1.2 FGM(1,1)模型建模方法

分數階累加算子可以弱化原始數據序列的隨機性，使得灰色預測模型解的擾動性變小，因此擬合精度較高。FGM(1,1)模型建模機理[10]

1) 設原始非負序列為X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}，通過式(3)得到X(0)的r階累加生成序列為X(r)={x(r)(1),x(r)(2),…,x(r)(n)}。

式中：x(r)(k)——糧食產量r階累加生成數據；

Γ——伽馬函數。

2) 則稱x(0)(k)+ax(r)(k)=b為基于分數階拓展算子的GM(1,1)模型原始形式。對r階累加序列作背景值z(r)生成

(4)

x(r-1)(k)+az(r)(k)=b

(5)

式(5)模型使用均值處理后的Z(r)作為建模數據，X(r)預測值經過r階累減還原為原始序列X(0)的預測值，稱為基于分數階算子的GM(1,1)模型，記為FGM(1,1)模型。

3) 建立白化微分方程

(6)

對式(6)進行求解，得到時間響應函數

(7)

運用最小二乘法求得參數向量

(8)

其中，B,Y分別

(9)

(10)

5) 誤差檢驗。模型檢驗采用平均相對誤差百分比(MAPE)檢驗模型，MAPE的公式和精度標準如表1。

(11)

表1 MAPE的精度標準Tab. 1 Accuracy standard of MAPE

1.3 FGM(1,N)模型建模方法

GM(1,N)模型是由N個變量組成的一階線性動態模型[11-12]。傳統GM(1,N)模型其本質上反映了(N-1)個變量序列對原始序列的一階導數影響，綜合考查原始序列和子序列的一系列動態變化規律，預測精度高。將分數階累加算子引入到原始的一階GM(1,N)模型中，生成分數階GM(1,N)模型，記為FGM(1,N)。

?

(12)

(13)

(14)

2) 稱式(14)為FGM(1,N)模型的基本形式，當r=1時退化為經典GM(1,N)模型。FGM(1,N)的白化微分方程

(15)

記系數向量

(16)

(17)

3) 得到FGM(1,N)近似的離散化時間響應式

(18)

5) 誤差檢驗：模型誤差檢驗依據式(11)和表1。

2 河南省糧食產量影響因素的確定

2.1 數據選取

河南省地跨長、黃、淮、海四大流域，地處暖溫帶，南跨亞熱帶，屬北亞熱帶向暖溫帶過渡的大陸性季風氣候，同時還具有自東向西由平原向山地丘陵氣候過渡的特征[13]。綜合考慮影響糧食產量的因素，遵照科學性、客觀性和可量化性的原則[2]，結合河南省的實際生產情況，從自然因素、科技因素和社會因素三大類別選擇河南省糧食播種面積、化肥施用量等11個變量作為輸入變量(表2)。并將動態的糧食產量設為參考序列，記為X0，其他影響因素依次設為X1,X2,…X11。本文選取河南省2010—2019年糧食產量及各個影響指標數據來源于《河南省統計年鑒(2010—2020)》，如表3所示(注：2019年的河南省年底常用耕地面積數據缺失，采用平均值法補充為8 138.93)。

表2 糧食產量影響指標Tab. 2 Influence index of grain yield

表3 2010—2019年河南省糧食產量影響因素數據表Tab. 3 Data table of influencing factors of grain yield in Henan Province from 2010 to 2019

2.2 灰色關聯結果分析

首先，針對選取的數據，進行Kendall W一致性檢驗，利用SPSS軟件計算得到各個指標的顯著性水平值為P<0.05，Kendall W協調系數分析結果為0.99>0.8，說明每個時間節點各個選取指標的數據具有一致性。

然后，按照灰色關聯度計算步驟逐步編寫程序，利用MATLAB軟件計算得到2010—2019年河南省糧食及影響因素的關聯度(表4)。

表4 2010—2019年河南省糧食產量與影響因子關聯度Tab. 4 Data table of influencing factors of grain yield in HenanProvince from 2010 to 2019

從表4中看出，各因子與糧食產量在2010—2019年間的關聯度順序為：化肥施用折純量>農藥使用量>農用塑料薄膜使用量>年底常用耕地面積>糧食播種面積>農業機械總動力>農田有效灌溉面積>農業從業人數>農村用電量>農作物受災面積>農業生產總值。

其中，化肥施用折純量、農藥使用量和農用塑料薄膜使用量關聯度分別為0.920、0.914、0.910，屬于高度關聯，說明科技因素對糧食變化影響顯著；然而，年底常用耕地面積和糧食播種面積關聯度各為0.864、0.860，說明自然資源因素對糧食產量的影響減弱；低度關聯的因子是農業從業人數、農村用電量、農業生產總值，關聯度分別為0.741、0.707、0.624，說明社會因素對糧食產量影響較小；農作物受災面積關聯度為0.630，說明隨著鄉村治理體系和治理能力的完善與提升，農田抗災防護能力增強，自然災害對糧食產量的影響得到控制。農業機械總動力與糧食的關聯度為0.840，還應該進一步加強農業機械化方面的普及工作。

因此，選取與糧食產量關聯度大于0.85的化肥施用折純量、農藥使用量、農用塑料薄膜使用量作為影響因素建立FGM(1,4)模型。

3 河南省糧食產量的分數階灰色模型預測

3.1 FGM(1,1)模型

1) 確定分數階最優階數。最小平均相對誤差下分數階算子FGM(1,1)模型的最優階數在于求解如下最優化問題[14]

(19)

根據最優階數r取值的自適應變異粒子群優化算法[15]，算法的慣性因子設為0.8，初始化群體個數為50，最大迭代次數為500，適應偏差為10-4，搜索空間r取值范圍為[0,1]，利用MATLAB軟件編程運行計算出糧食產量的最優階數和最小平均誤差，結果r=0.027，平均誤差為0.62%。

2) 模型求解。由表3可得河南省糧食產量的原始時間序列

X(0)={5 581.82,5 733.92,5 898.38,6 023.80,6 133.60,6 470.22,6 498.01,6 524.25,6 648.91,6 695.36}

得到糧食產量的最優階數r=0.027，利用組合公式得一次累加數據序列

X(0.027)={5 581.82,5 883.51，6 128.85，6 312.66，6 468.76，6 844.27，6 912.26,6 970.24,7 122.04,7 195.12}

求出矩陣B和Y，對參數進行最小二乘估計

由式(9)得FGM(1,1)預測模型

(20)

3.2 FGM(1,N)模型

將糧食產量作為特征序列，化肥施用折純量X6、農藥使用量X7、農用塑料薄膜使用量X8為影響因素序列，級比檢驗結果均在(0.833 8,1.199 3)內，適合進行FGM(1,N)預測。

在上述方法基礎上，嘗試建立糧食產量關于三個影響因素的FGM(1,4)模型。利用粒子群算法等優化算法，尋找FGM(1,4)模型的最優階數r，在于求解以下優化問題[16]

(21)

滿足約束條件

(22)

3.3 模型檢驗

為詳細檢驗模型的模擬效果，基于上述模型的求解結果，利用MATLAB軟件對河南省2010—2019年的糧食產量進行模擬，三類模型的模擬結果和誤差如表5和圖1所示。

由表5可知，FGM(1,1)模型、GM(1,4)模型、FGM(1,4)模型模擬2010—2019年河南省糧食產量的MAPE值分別為0.62%、3.63%和1.23%。

表5 三種模型模擬值與實際值的比較Tab. 5 Comparison of simulated and actual values of three models

圖1 三種模型模擬值與實際值的比較

從圖1可直觀看出FGM(1,4)模型的折線與真實值折線吻合度較好。首先，單因素FGM(1,1)模型的記憶性太強，容易忽略序列的波動性，比如其在2015年的模擬值為6 340.19，誤差較大(2.01%)，且只考慮單因素序列，忽略了自然資源、農業科技、社會投入等要素對糧食生產構成的多變量系統作用；然后，多因素整數階GM(1,4)模型預測平均誤差較大(3.63%)，預測性能不穩定，比如在2011年的預測值為4 456.84，誤差極大為22.27%，預測趨勢陡然下降；綜合來看，FGM(1,4)模型融合了FGM(1,1)模型單變量預測的精確性與多變量GM(1,N)模型綜合性的優勢，模擬性能穩定，對后續預測具有較強的說服力。

3.4 河南省糧食產量預測結果與分析

主序列需要在相關因素序列已知的情況下進行預測，利用FGM(1,1)模型分別預測3個影響因素2020—2025年的數據(表6)。

2020—2025年的河南省糧食產量的主要影響因素中，農藥、農用塑料薄膜使用量呈現逐年降低的趨勢，而化肥施用量呈現平穩趨勢。總之，這些變化與國家嚴守耕地紅線政策、提倡綠色環保的農業發展環境政策緊密相關，隨著農業科技的發展，未來農田將進一步開發施用農家肥，有機肥和降低農藥的使用，為農業經濟的健康發展提供有力保障。

使用表6數據，采用預測性能較高的FGM(1,4)模型預測2020—2025年的河南省糧食產量。河南省2020—2025年的糧食產量預測結果見表7和圖2。

圖2 河南省2020—2025年的糧食產量預測圖

由表7和圖2可知，2020—2025年河南省糧食產量呈現穩步上升趨勢，到2025年河南省糧食產量將達到70 446.3 kt。值得注意的是，FGM(1,4)模型預測下的河南省糧食產量折線圖呈現“陡變緩”的增長趨勢，這可能因為氣候變化和極端天氣導致了土地退化，給作物帶來不利影響，這為地區采取減少糧食浪費，避免破壞森林等措施，走可持續土地管理之路提供了啟示。

4 結論與建議

4.1 結論

針對糧食產量的多元復雜系統預測問題，利用灰色關聯分析方法篩選出糧食的主要影響因素，以河南省為例建立了FGM(1,4)預測模型。

1) 關聯度模型結果顯示，對河南省糧食產量影響最大的3個因素依次為化肥施用量、農藥使用量、農用塑料薄膜使用量，關聯度分別為0.920、0.914、0.910。表明科技因素對糧食變化影響顯著，自然因素對糧食產量的變化形成主要影響，農業從業人數、農村用電量等社會因素對糧食產量影響較小。

2) FGM(1,4)模型綜合考慮河南省糧食產量的主要影響因素，建模結果表明FGM(1,4)模型擬合誤差為1.23%，該模型具有較好的預測穩定性。FGM(1,4)模型的預測結果顯示，2020—2025年河南省糧食產量將呈現穩步上升趨勢，但受到科技、資源環境、社會經濟等因素影響，增長速度有所減緩。到2025年河南省糧食產量將達到70 446.3 kt，建模預測為探索糧食生產的變化及調控規律提供了科學依據，為糧食生產支持政策、農田科技調控體系的完善，以及合理高效的利用自然、科技和社會勞動資源、保障糧食持續穩定增長和糧食安全等提供了重要的參考。

4.2 建議

為保障糧食產量，推進鄉村振興戰略落地生根，應該立足農業資源多樣性和氣候適宜優勢，培育特色優勢產業，建立健全糧食安全保障體系。

1) 由關聯度結果知，科技因素對糧食產量影響顯著，加之河南省農業機械化發展不平衡，因此需要推動農業機械化水平的發展，改善糧食生產條件，支持小麥育種等科研事業，推動糧食綠色科學可持續生產。比如在廣袤平原推進糧食規范化生產，在自然優美的區域開發觀光農業，在山區丘陵地帶開發優質特產等；重視小麥科研院校與縣市企業合作，大力推進小麥育種選拔與普及播種等項目，選擇一批優勢突出、有特色的縣市或企業帶動糧食生產及對外輸出，以期提高糧食產量。

2) 根據收集數據知河南省農業勞動力等農業社會經濟因素有所減弱，對內面臨糧食生產成本持續上漲、種糧收益持續走低和糧食產業競爭力較弱等矛盾，加之農業氣象偏差和農業基礎經濟薄弱，使得農民種糧積極性不高，農業勞動力流失嚴重。因此需要加強政府信息支持與農業服務，建議政府部門和社會大眾要積極疏通農資供應渠道、有序組織農業經濟發展，更要穩住政策支持，注重防范化解重大風險。

3) 構建系統的糧食安全保障體系，建立健全糧食安全應急體系。目前，我國糧食安全戰略體系框架已基本確立，還需加快構建糧食安全預警體系，充分利用灰色模型、地理信息、遙感、航天、人工智能、云計算等現代技術，對全球及我國糧食安全狀況進行科學監測、預警和形勢判斷，進一步強化糧食安全宏觀調控能力。