找準認知原生節(jié)點 促進概念自然“生發(fā)”

陳娜

摘 要：“分數(shù)的初步認識”是小學(xué)階段數(shù)概念教學(xué)中的經(jīng)典一課，是學(xué)生從自然數(shù)到分數(shù)的數(shù)概念的一次重要擴展，也是學(xué)生在原有自然數(shù)認知基礎(chǔ)上的一次重新建構(gòu)的重要過程。在小學(xué)階段，學(xué)生往往對于“分數(shù)作為一個數(shù)”的數(shù)概念建構(gòu)模糊不清，常將分數(shù)的“量”與“率”概念混淆。“分數(shù)的初步認識”作為分數(shù)教學(xué)的起始課，教師在教學(xué)該課時應(yīng)追本溯源，引導(dǎo)學(xué)生探究分數(shù)的本質(zhì)，對后續(xù)教學(xué)有著重要意義。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);分數(shù);原生節(jié)點

一、教前思考：找準“概念胚胎”的原生點

（一）知識在哪里：尋根溯源，探尋分數(shù)的本質(zhì)

“分數(shù)的初步認識”是學(xué)生學(xué)習(xí)分數(shù)的起始課。從自然數(shù)到分數(shù)，是數(shù)概念的一次飛躍性的擴展。無論在形式、意義、讀寫及計算方法上，分數(shù)與自然數(shù)都有很大的差別。再者，在學(xué)習(xí)分數(shù)概念的過程中，學(xué)生思維方式需要由過程轉(zhuǎn)向結(jié)果，這成為學(xué)生在分數(shù)概念認知中的一個難點，也是數(shù)學(xué)思維真正進入小學(xué)數(shù)學(xué)的地方。所以分數(shù)是小學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)困難的實際起點。

分數(shù)和自然數(shù)一樣，用來表示數(shù)量，只不過當要表示在均分過程中比“1”更小的數(shù)，最小的自然數(shù)“1”不能表示，原有的認知造成沖突時，進而產(chǎn)生的一種新形式的數(shù)。在分數(shù)意義拓展時，分數(shù)才被用來表示一個量與另一個量的比的關(guān)系。而人教版的教材安排則與學(xué)生的認知稍有偏差，從“率”的角度入手認識分數(shù)，并不符合學(xué)生認數(shù)的規(guī)律。再者，縱觀人教版三上分數(shù)單元的所有例題和習(xí)題，沒有一個分數(shù)是攜帶單位名稱，也就是說書本中的分數(shù)表示的都不是具體的數(shù)量。在三年級下冊“小數(shù)的初步認識”中，第一課時就以“米”作為單位呈現(xiàn)分數(shù)形式的數(shù)量，再轉(zhuǎn)化成小數(shù)。且不說分數(shù)轉(zhuǎn)化小數(shù)的跨越有多大，先理解從未見過的“[110]米”就足夠?qū)σ徊糠謱W(xué)生造成困擾。所以，教材的安排存在一定的知識斷層。

自然數(shù)可以看作是若干個計數(shù)單位“一”累積起來的，有幾個“一”就是自然數(shù)幾。關(guān)于這一點，學(xué)生從一年級入學(xué)就建立了根深蒂固的認知基礎(chǔ)。那么，分數(shù)教學(xué)和之前的自然數(shù)教學(xué)就沒有任何交集，屬于“另起爐灶”的一種全新的數(shù)概念教學(xué)嗎？答案是否定的。盡管分數(shù)的教學(xué)建立在二年級下冊“平均分”的實踐經(jīng)驗之上，但在教學(xué)中，教師如果刻意強調(diào)“分數(shù)是分出來的”，以及強化分數(shù)含義中的部分與整體關(guān)系，人為割裂分數(shù)與自然數(shù)之間一脈相承的內(nèi)在聯(lián)系，即分數(shù)也是“數(shù)”出來的，勢必會對學(xué)生理解分數(shù)的本質(zhì)含義造成困擾。在直觀理解和動手操作“平均分”的基礎(chǔ)上，繼而引導(dǎo)學(xué)生從“分數(shù)單位累積”的角度認識分數(shù)，可以為學(xué)生理解“分數(shù)和整數(shù)一樣是一個數(shù)”奠定基礎(chǔ)。

（二）學(xué)生在哪里：聚焦數(shù)據(jù)下學(xué)生的原生態(tài)學(xué)習(xí)起點

為了解本班學(xué)生分數(shù)學(xué)習(xí)的起點，筆者對學(xué)生本班45位學(xué)生進行了前測調(diào)研。寫出假分數(shù)的學(xué)生數(shù)量之多超乎筆者意外，很多學(xué)生尚未形成正確的分數(shù)認知。

筆者布置題目：請你用畫一畫的方式表示四分之一，并寫一寫你的想法。從此題的前測情況來看，除了4個完全不會的學(xué)生，其他41個學(xué)生基本上都會將一個圖形或者一堆物體分成四份，基本能夠準確地表示其中的一份就是“四分之一”，說明學(xué)生對于分數(shù)的產(chǎn)生來源于“平均分”物體具有本能的感知。但是在表述這個分數(shù)的含義時，僅有5個學(xué)生準確地點出了關(guān)鍵字“平均分”，也就揭露了學(xué)生最原始的知識起點，而關(guān)于分物中需要“平均分”，這需要教師在教學(xué)活動設(shè)計中讓學(xué)生充分感悟和理解。

（三）教前設(shè)想：以學(xué)定教立足概念教學(xué)原生點

1. 借助自然數(shù)“1”的等分關(guān)系，建構(gòu)分數(shù)模型

學(xué)生學(xué)習(xí)新知時，如果這個新知與原來的經(jīng)驗是吻合的，那么學(xué)生就容易接受;如果這個新知需要另起爐灶，那么學(xué)生的學(xué)習(xí)就相對較慢。在學(xué)習(xí)分數(shù)之前，“1”是學(xué)生認識的最小的自然數(shù)計數(shù)單位。通過自然數(shù)“1”的疊加產(chǎn)生更大的自然數(shù)。但是，比1更小的數(shù)量該如何表示呢？為了解決這個問題，于是人們就創(chuàng)造出了一個新的數(shù)的形式，也即是“分數(shù)”。那么，在教學(xué)中，我們是否也能站在這個歷史背景下，讓學(xué)生感受分數(shù)產(chǎn)生的必要性呢？要表示比1更小的數(shù)，可以把1再按照一定的標準進行平均分割（統(tǒng)一度量單位），進而引入分數(shù)，構(gòu)建分數(shù)模型。

2. 通過平均分自然數(shù)“1”，創(chuàng)造計數(shù)單位

“分數(shù)單位”是分數(shù)的基本組成部分，也是分數(shù)運算的基礎(chǔ)。但是與自然數(shù)不同的是，分數(shù)的計數(shù)單位是人為地等分“1”創(chuàng)造出來的，分法的不同，分數(shù)單位及其個數(shù)也不相同。正是這種分數(shù)有別于自然數(shù)的“多變”的特性，也使得學(xué)生在學(xué)習(xí)分數(shù)中困難重重。因此，教學(xué)中重視分數(shù)單位的理解和運用，讓學(xué)生在實際操作比較過程中，感受到分數(shù)單位是組成分數(shù)最小的元素，為進一步學(xué)習(xí)分數(shù)奠定良好基礎(chǔ)。

3. 延續(xù)“自然數(shù)”觀念，讓數(shù)系擴充自然發(fā)生

分數(shù)盡管在產(chǎn)生、形式、讀法等方面都有別于自然數(shù)，但它仍然是數(shù)，前期學(xué)生在自然數(shù)學(xué)習(xí)中形成的“數(shù)”的觀念在分數(shù)教學(xué)中應(yīng)該延續(xù)，這樣有利于對分數(shù)是數(shù)的認可，有利于對分數(shù)的意義的理解，也有利于建構(gòu)起分數(shù)與數(shù)之間關(guān)系的結(jié)構(gòu)體系，還有利于建構(gòu)起分數(shù)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)體系。

4.“量”“率”并行，有效緩解知識斷層

現(xiàn)行的大部分小學(xué)教材中，都是通過部分與整體的關(guān)系，引入分數(shù)教學(xué)。這與學(xué)生之前的認識自然數(shù)的邏輯規(guī)律（先量再率）相違背，也一定程度上增加了學(xué)生學(xué)習(xí)分數(shù)的難度。以“量”引入分數(shù)，攜“率”并行，力求突破分數(shù)教學(xué)兩大難點。

二、教學(xué)實踐：讓數(shù)概念構(gòu)建“自然”發(fā)生

基于前述對分數(shù)概念體系的整體把握和學(xué)情分析，筆者以及團隊成員們對本節(jié)課進行了多次的實踐，最終呈現(xiàn)了如下的教學(xué)過程。

【片段一】復(fù)習(xí)舊知，“自然”引入

師：如果左圖代表一個正方形，那么右邊這個圖形代表幾個？你是怎么想的？（2個一是2，2里面有2個一）

怎樣表示3個呢？（3個一）

想一想這個圖形表示幾，說說理由？（一個一個去擺擺看，看有幾個一）

引導(dǎo)：是的，我們學(xué)過的數(shù)都可以看作是由若干個1累加起來的。數(shù)一數(shù)，有幾個1就是自然數(shù)幾。

【片段二】造成沖突，遷移認知

提出疑問：這是1個大正方形，數(shù)一數(shù)，這個陰影部分有幾個？你想用一個怎樣的數(shù)來表示這個陰影部分的數(shù)量呢？

過程一：探究比“1”更小的數(shù)的表達方法

1. 思考：這個小正方形與原來的大正方形有什么關(guān)系？（用折一折、分一分、畫一畫等方法證明）

2. 你會用一個怎樣的數(shù)表示這個小正方形？

3. 和同桌說一說你的想法。

學(xué)生出現(xiàn)如下表示方法：1、4、[41]、[14]、0.25……

集體探討，排除不可能的1、4，感受這是一個比1更小的數(shù)。其中小數(shù)0.25暫不研究。

過程二：認識[14]個

1. 提出“分數(shù)”的名稱。

2. 請表示了[41]個、[14]個的兩位學(xué)生分別闡述自己的想法，教師總結(jié)歸納：當要表示一個比1個更小的數(shù)量時，可以把這個1個再進行分割，按一定標準分割，每份分得同樣多，也就是平均分。

3. 揭示分數(shù)含義。

4. 教學(xué)四分之一的讀法、寫法、各部分名稱。根據(jù)分的過程理解分子、分母的含義，深化對分數(shù)的認識。

在分數(shù)的教學(xué)中，我們改編教材原本的安排，以具體的帶單位名稱的數(shù)量引入分數(shù)概念，和自然數(shù)教學(xué)有效銜接，有利于學(xué)生的理解。另外，在這個環(huán)節(jié)的教學(xué)中，要強調(diào)分數(shù)的產(chǎn)生是建立在等分的基礎(chǔ)上，“按照一定標準分割”就是要統(tǒng)一度量單位去測量，這和自然數(shù)用統(tǒng)一的計量單位是一個道理。

【片段三】類推遷移，整合認識

過程一：認識幾分之一，建立幾分之一的分數(shù)模型

1. 出示[12]個，[15]個，[18]個的圖形或?qū)嵨铮f一說這些陰影部分又可以表示多少個呢？說一說每個分數(shù)表示的含義。

2. 學(xué)生舉例分子是1的分數(shù)

教師追問：把1張紙平均分成6份，每份是（? ）張。

[110]米是什么意思？你來說說看。

3. 尋找?guī)追种贿@種分數(shù)的共同點。

生：都是平均分成幾份，取了其中的1份。

師：是的。我們把平均分的份數(shù)寫在分數(shù)線的下面，把取的1份寫在分數(shù)線的上面，就寫出了像[1（? ? ? ? ）]這樣的分數(shù)。

過程二：關(guān)聯(lián)本質(zhì)，認識幾分之幾

1. 認識幾分之幾

師：這是[14]個，如果再取一份，現(xiàn)在是幾個呢？你是怎么想的？

生：把一個圖形平均分成四份，取其中的2份，就是[24]個。

師：也就是2個這樣的[14]。（板書：2個[14]就是[24]）

師：那3個[14]呢？再增加1個[14]呢？

一起來數(shù)一數(shù)。1個[14]、2個[14]……4個[14]是[44]。

師：請你仔細觀察，[44]也就是什么？就是我們以前學(xué)習(xí)過的“1”個。我們把“1”個正方形平均分成了4份，這里的每一份都是[14]個正方形。

此環(huán)節(jié)中進行了兩次的遷移。第一次，由“[14]個”遷移到任何圖形、任何物體的“幾分之一”，其表示的含義是一樣的，順利構(gòu)建起幾分之一的分數(shù)模型。第二次遷移是在認識幾分之幾。盡管三年級下冊初次接觸分數(shù)，不宜直接提出分數(shù)單位的概念。但是，借鑒數(shù)整數(shù)的經(jīng)驗，讓學(xué)生感受到分數(shù)也是可以數(shù)的，溝通自然數(shù)和分數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，深化分數(shù)的本質(zhì)含義，即分數(shù)是由分數(shù)單位累加而來的。

再者，幾分之幾的素材選取也是經(jīng)過筆者深思熟慮的。課始以“1個”正方形為切入點，通過等分引入分數(shù)，再通過取不同個數(shù)的分數(shù)單位認識幾分之幾，最終又通過計數(shù)單位的累加回到自然數(shù)“1”。這樣一個首尾呼應(yīng)的過程，讓整數(shù)和分數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系更為密切。

過程三：內(nèi)在構(gòu)建，貫通內(nèi)含

1. 尋找聯(lián)系

師：因為分數(shù)是平均分后產(chǎn)生的，所以也有人說分數(shù)是先分后數(shù)，你覺得有沒有道理？

2. 建立模型

師：這些都是分數(shù)，觀察一下，你認為分數(shù)是一個怎樣的數(shù)？

師：不管是幾分之一，還是幾分之幾，都是將平均分成（? ）份，取了其中的（? ）份，寫作[（? ? ? ? ）（?; ? ? ? ）]。這就是我們今天要認識的分數(shù)。

尋找聯(lián)系環(huán)節(jié)，打破分數(shù)教學(xué)另起爐灶的教法，將自然數(shù)和分數(shù)內(nèi)部打通，使得數(shù)學(xué)知識一脈相承，與課前提出的“數(shù)起源于數(shù)”相呼應(yīng)。最后，將分數(shù)構(gòu)建模型化，深化認知。

【片段四】自主創(chuàng)造，初步領(lǐng)悟雙重含義

1. 創(chuàng)造分數(shù)

活動要求：

（1）折一折，分一分，取出的部分畫斜線。

（2）說一說陰影部分可以用哪個分數(shù)來表示。

2. 對比感悟

選取各種圖形的四分之一作品。

師：這些陰影部分的形狀、大小都不一樣，為什么都可以用“[14]個”表示呢？

生：因為都是把一個圖形平均分成4份，其中的每一份都可以用“[14]個”表示。

生：因為陰影部分都表示的是各自圖形4份里面的1份。

師：說得很好。分數(shù)可以表示一個具體數(shù)量，把1個圖形平均分成4份，其中的1份就是[14]個。同時，分數(shù)也可以表示一種關(guān)系，把1個圖形平均分成4份，其中的1份我們也可以說它是整個圖形的[14]。我們會在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，繼續(xù)研究分數(shù)的兩種含義。

“量”和“率”的區(qū)分，需要學(xué)生在實際操作中內(nèi)化感悟。教師有意識地引導(dǎo)學(xué)生初步感受“[14]”這個分數(shù)，它既可以表示數(shù)量，同時也能表示部分與整體的一種關(guān)系，只要淺嘗輒止即可。深入的研究，在第一課時肯定無法完成，需要在后面的課時中，繼續(xù)加深學(xué)生理解和感悟。

三、結(jié)語

由于分數(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的特殊地位，以及其完全有別于自然數(shù)教學(xué)的特性，教育者們從未停止過對分數(shù)教學(xué)的研究與探討。筆者通過前期的解讀和后續(xù)的實踐，對三年級分數(shù)教學(xué)的初始階段，稍有感悟，但自知研究尚未完全，還有很多疑惑亟須解決。文章實踐的僅是本單元的第一課時，在大觀念統(tǒng)領(lǐng)下，筆者也對本單元“分數(shù)的初步認識”教學(xué)章節(jié)進行了整合安排。本課題的研究未完待續(xù)，對于分數(shù)教學(xué)相關(guān)內(nèi)容的研究，也需要在更多的實踐中加以積累和提升。