基于圖論的多桿式栽植機構構型綜合與方法研究

孫 良 鄭廣輝 葉治政 俞高紅

(1.浙江理工大學機械與自動控制學院， 杭州 310018； 2.浙江省種植裝備技術重點實驗室， 杭州 310018)

0 引言

栽植機構是移栽機械的核心工作部件[1]。不同的栽植方式往往需要配置合適的栽植機構，而農作物復雜多樣化的農藝要求對低成本、個性化栽植機構的創新設計提出了挑戰。因此，開展栽植機構數字化設計與綜合研究，對探索發現更多具有優異作業性能的栽植機構構型具有重要意義。

多連桿栽植機構由于具有結構簡單、可實現作業軌跡豐富等優勢，目前廣泛應用于水旱田栽植機械中。現有的多連桿栽植機構存在不同構件數下的多種構型。四桿機構是能滿足植苗運動的最簡單機構，唐賓等[2]針對曲柄搖桿式分插機構[3]運動慣性大、高速作業受限等缺點進行動力學分析，經過優化改進，提高了插秧的工作效率。何小晶等[4]對雙曲柄五桿栽植機構進行了運動學分析，通過人機交互的方式，探究各連桿長度對植苗軌跡的影響，得到一組運動軌跡與姿態良好的栽植機構。金鑫等[5]添加凸輪構件，設計了一種凸輪-六桿式機構，用于導苗管式移栽機，保證了移栽過程中植苗的垂直姿態。日本對半自動蔬菜移栽機進行相應研究，提出了一種七桿式栽植機構。陳建能等[6]對七桿式栽植機構進行參數分析與優化，得到一種多桿栽植機構，有立苗率優、加速度及波動范圍小的優勢。王斌[7]、鄭士永[8]對多桿開溝式栽植機構使用遺傳算法等方式進行設計優化，逐步改良了開溝式植苗機構。為調整栽植頻率與整體前進速度的關系，尹文慶等[9]提出一種八連桿栽植驅動機構，該機構適合蔬菜苗移栽且栽植情況良好。

綜上可知，在栽植苗方面，不同桿件數都有其代表的機構，但從目前多連桿機構的應用情況看，栽植機構構型單一；國內學者更多從現有構型的優化設計著手，圍繞尺度層面開展優化設計，但實際研究往往會受到構型約束。因此，進行栽植機構的構型綜合研究可探索更多潛在可用的機構構型，對機構的創新設計至關重要。

針對以上問題，本文以多連桿栽植機構為研究對象，基于圖論和組合優化理論，開展適用于栽植作業的連桿式栽植機構自動綜合方法研究，通過對9構件內的拓撲圖進行相似點識別[10-12]、同構判別[13-14]、功能點(機架、輸入與輸出點)選取，得到機構功能拓撲圖；依據栽植機構運動特征，在拓撲圖層面上提出篩選規則，得到特定桿件數下的所有可用構型，建成機構功能拓撲圖圖庫。最后，選取西蘭花幼苗栽植的農藝要求作為機構設計的約束條件，從某桿件數下機構功能拓撲圖中挑選一種構型，進行栽植機構參數調試并獲得期望軌跡。

1 拓撲圖構型綜合

拓撲圖是點線組成的對實際物體的抽象圖形，可準確表示物體內組成部分的連接關系[15]。在機械設計領域中表示機構連接關系及相關性質的圖稱為運動鏈拓撲圖。運動鏈拓撲圖上的點，按照一定的規律標注數字。其中，單色拓撲圖實心點代表構件，線條代表運動副。圖1a所示單鉸運動鏈對應單色拓撲圖如圖1b所示。

圖1 運動鏈及其對應拓撲圖Fig.1 Kinematic chain and its topological graph

1.1 構型綜合過程

為獲取運動鏈拓撲圖，采用胚圖插點法[16-19]綜合不可分離單色運動鏈拓撲圖。考慮到多連桿機構在栽植機械中的實際應用要求，主要開展9構件內的連桿機構運動鏈的綜合研究，且設定所有構件均為連桿，所有運動副均為轉動副。

圖2 同構的機構功能拓撲圖Fig.2 Isomorphic mechanism topological graphs

為實現栽植機構的創成，在獲取拓撲圖后，通過對運動鏈拓撲圖選取功能點得到9桿內所有機構功能拓撲圖[20]，并使用功能點組表示所選取功能點的位置。圖2a所示拓撲圖功能點組為(1,4,3)。其中第1位數字表示機架位置點，在拓撲圖中用實心圓標注；第2位數字表示輸入位置點，在拓撲圖中用三角形標注；第3位數字表示輸出位置點，在拓撲圖中用矩形標注。在功能點選取過程中，由于受拓撲圖相似性的影響，存在機構功能拓撲圖同構情況。如圖2所示，頂點4與頂點5互為相似點，3種功能點位置均相同或相似，因此，圖2a與圖2b為同構機構功能拓撲圖。互為同構的拓撲圖，能實現相同的運動效果，需要在拓撲圖綜合過程中除去。對機構功能拓撲圖進行相似點識別與同構判別是避免同構出現的可行方法之一。

1.2 相似性判別及應用

為識別拓撲圖中的相似點，判別拓撲圖間的同構，提出一種加權四次冪及加權最小距離矩陣的方法。為更好地展示相似點識別的過程，以圖3所示七桿式栽植機構[21]及對應拓撲圖為例，闡述相似點識別與同構判斷的過程。

圖3 七桿式栽植機構Fig.3 Transplanting mechanism with seven links

(1)提取拓撲圖并獲取鄰接矩陣

如果頂點i與頂點j相連，則鄰接矩陣A中，i行j列元素aij與i列j行元素aji為1，即滿足

(1)

則圖3中機構的鄰接矩陣為

(2)計算加權矩陣

在拓撲圖中，為表征運動副對應線條的特征，可在線條邊上賦予數值，即賦權[22]，也稱加權。根據鄰接矩陣A，可將每個頂點度數(即與頂點關聯邊的數目)的倒數作為加權數，記為本行(列)的元素，元素為0的位置則保持不變，將元素寫入矩陣對應位置中，得到加權矩陣。該矩陣組成元素滿足

(2)

其中d是i、j兩頂點中最大的點度數，q表示對元素加權。由此得到的加權鄰接矩陣為

(3)獲取加權四次冪矩陣[23]

計算加權矩陣的四次冪得到

(4)計算加權最小距離矩陣

尋找頂點i到達頂點j所經過的最短路徑，并按線條中的賦權值求和得到最小距離元素，記入矩陣中對應位置，得到加權最小距離矩陣

(5)相似點的判斷規則

提取上述特征矩陣中每行編碼組成一組行向量，分別進行降序排列，得到對頂點的兩種特征碼。特征碼表征點在圖中的固定位置、連接關系。如果同一拓撲圖中兩點代表的四次冪特征碼與最小距離特征碼都相同，則兩個點互為相似點，反之，則不是相似點。

例如，為識別頂點1與2和頂點1與3的相似性，分別取加權四次冪矩陣與加權最小距離矩陣第1行、第2行與第3行；均降序排列后，得到頂點1、2、3的兩種特征碼，如表1所示。

表1 3個頂點的特征碼Tab.1 Feature codes of three vertices

對比發現，頂點1與2的特征碼相同，頂點1與3特征碼不同，因此，頂點1與2相似，頂點1與3不相似。同樣，對全部特征碼依次對比之后，整理歸納出拓撲圖中所有點的相似信息并組成相似點集。如圖3中拓撲圖相似點集為：{[1,2];[3,4,6,7];[5]}。

除頂點相似外，在構型綜合過程中，存在大量拓撲圖同構問題。如圖4，3個拓撲圖標號或形狀不同，但圖4a中每個頂點都可在圖4b、4c中找出與之對應的點，3個拓撲圖互為同構。同構是圖與圖之間的性質相同，而相似點是圖中點與點的性質相同，兩者有一定的聯系，因此，依據相似點的識別方式可以判斷拓撲圖之間的同構。同構判別的過程是將特征矩陣每行中的元素降序排列之后，再進行行間降序排列[24]。將變形后拓撲圖的特征碼矩陣進行對比，矩陣相同即為同構，反之為異構。

圖4 同構的拓撲圖Fig.4 Isomorphic topological graphs

2 拓撲圖構型篩選

拓撲圖中功能點的合理選取是機構創成的關鍵，為避免因功能點選取而出現基本環中過約束等問題，建立機構篩選規則，以刪除此類不合理構型。

2.1 篩選規則

通過構型分析總結，得到拓撲圖層面上的篩選規則：

(1)每個基本環中的自由度F必須小于輸入構件數r，即存在某基本環中F

圖5 過約束的機構功能拓撲圖Fig.5 Overconstrained mechanism topological graph

圖6 機構功能拓撲圖及對應機構運動簡圖Fig.6 Mechanism topological graph and corresponding kinematic sketch of mechanism

(2)當基本環中自由度F等于輸入桿件數r時，則不得同時包含機架位置點、輸入位置點與輸出位置點3種功能點；否則其他環中構件不能對輸出桿運動產生影響，此類構件重復多余，機構不合理。如圖6a所示，當5、6為輸入位置點時，在環1-6-3-2-5-1中自由度等于輸入構件數，環內形成獨立運動。若3作為輸出桿時，環內包含3種功能點，使得桿4與桿7對輸出桿的運動不產生影響，此類構型應當去除。

(3)為保證輸出桿上軌跡不為單一嚴格的圓形，拓撲圖中機架位置點與輸出位置點的距離必須大于1；機架位置點與輸入位置點距離必須等于1。如圖7所示，機架位置點為1，輸出位置點為7時，無論最終植苗點在輸出桿上的位置如何改變，靜軌跡只能形成機架為圓心的圓或圓弧。

圖7 未滿足功能點位置要求的機構功能拓撲圖Fig.7 Mechanism topological graphs that cannot meet functional point location requirements

2.2 機構功能拓撲圖篩選

將篩選規則應用于機構功能拓撲圖的創成中，并依據提出的相似點識別方式，將拓撲圖頂點的相似關系應用到機構功能拓撲圖繪圖過程中。具體需要進行3次相似性的判斷，當鄰接矩陣導入計算機之后，首先判斷相似點，選擇相似點組中的第一個元素(頂點)作為機架位置點，并將鄰接矩陣對應位置元素標記為2。由于篩選規則中機架與輸入桿之間位置關系的限制，要劃定當前與機架位置點距離為1的點，作為可選輸入點。

由于二自由度機構創成過程中相似點特性變異的影響，會存在如圖8所示九桿二自由度拓撲圖特例。通過相似點識別得此圖相似點集為{[1];[2,3];[4,5,6,7];[8,9]}，在不考慮環內過約束的情況下，若選取點1作為機架點，按篩選規則，只能在[4,5,6,7]中選取2個頂點作為一種輸入組合，如選頂點4、7為輸入點。但實際上，頂點1作為機架位置點時，存在4、7與4、6兩組不相似的輸入組合。因此，對于多自由度構型，只進行相似點識別會出現輸入點組合漏選情況。

圖8 相似點特例Fig.8 Special case of similar vertices

為避免上述問題的出現，在綜合過程中，選取輸入位置點時，采取先選點、后同構判別的策略。即先對所有輸入組合對應構型進行標記，之后對所有構型進行同構判別，篩選掉同構構型，得到可行輸入組合。經程序實踐驗證，此方法可有效避免以上錯誤情況的出現。

同理，對已標記機架與輸入位置點的構型識別相似點并選取輸出點位置。對應整理3種功能點位置，組成功能點組。其中，多自由度構型中，中間位置數字表示多輸入位置點序號。如圖7所示七桿二自由度構型中，功能點組合為(1,5,6,7)，其中點1為機架位置點，點5、6為雙輸入位置點，點7為輸出位置點。機構功能拓撲圖篩選流程圖如圖9所示。

圖9 機構功能拓撲圖篩選流程圖Fig.9 Flow chart of screening mechanism topological graph

2.3 機構創新構型選取

經過上述篩選過程，得到機構功能拓撲圖圖庫。為驗證篩選構型的正確性，以七桿二自由度機構為例，進行栽植苗機構的創新設計。列舉所有七桿二自由度構型，共得出14組篩選結果。在該類新機構的分析中選取一種與日本井關半自動蔬菜移栽機構(圖10a)不同的構型，即圖10b所示機構功能拓撲圖。9桿內機構功能拓撲圖篩選結果如表2所示。

3 栽植機構應用實例

使用選取的七桿二自由度構型，對其中構件賦予長度，得到末端輸出位置的軌跡，調整桿長等條件達到植苗要求。理論上，得到的所有構型均可調整得到可行軌跡。但由于拓撲圖不展示桿件長度等信息，在轉換為實際機構過程中，機構可能會存在回路缺陷。因此為驗證機構功能拓撲圖的可用性，本文在6、7、8桿構型庫中各選取一種篩選結果，進行實例分析。

圖10 兩種七桿二自由度構型篩選結果Fig.10 Two seven-link two-DOF screen results

表2 9桿內機構功能拓撲圖篩選結果Tab.2 Screen results of mechanism topological graph in 9-link

以西蘭花幼苗作為栽植對象，進行栽植苗機構設計。為滿足有效零速投苗[25]與作物大株距植苗運動軌跡參數需求[26-28]，現規定基本的園藝要求：株距設定為450 mm；植苗深度不小于30 mm；夾嘴植苗位置進入地面和離開地面與前進方向地面夾角至少保證在70°～110°之間；夾嘴植苗最低點與前進方向地面夾角在80°～100°之間。

3.1 機構運動學分析與模型建立

以七桿二自由度機構為例，闡述構型轉換為機構的方法與過程。為方便運動學分析，將機構簡圖中相關參數說明列于表3中。

表3 機構簡圖相關參數說明Tab.3 Parameters description of mechanism diagram

圖11為圖10b所對應的七桿二自由度機構簡圖。建立如圖所示平面參考系，設構件1和5為機構輸入構件，且具有相同速度(大小和方向)。

圖11 機構運動簡圖Fig.11 Kinematic sketch of mechanism

依據機構運動簡圖，初步建立基本環矢量方程

LOA+LAC=LOE+LED+LDC

(3)

LOA+LAG=LOB+LBF+LFG

(4)

將矢量方程轉化為解析式形式

(5)

(6)

列出栽植點J靜軌跡方程為

(7)

3.2 新型機構參數與仿真結果

基于上述運動學模型，編寫輔助設計程序[29-31]，優化獲得新型七桿二自由度栽植機構參數如下：LOA=75 mm,θ1=40°,L5=54 mm,θ5=50°,LAC=75 mm,LOB=56 mm,L6=93.5 mm,L4=56 mm,LAG=128.1 mm,L3=63.1 mm,LIJ=200 mm,θIJ=300°,LHI=240 mm,θHI=230°,α=0°,β=169.1°,XE=44.9 mm,YE=-27.7 mm,n=1 r/s,h=450 mm。

上述參數對應機構靜、動軌跡如圖12所示。

圖12 七桿栽植機構理論軌跡Fig.12 Seven-link theoretical result

該機構株距h=450 mm；前進方向地面與夾嘴植苗最低點夾角α1=88°；前進方向與夾嘴植苗入土點夾角α2=83.1°；與出土點夾角α3=85.3°；植苗最低點與地面距離，即植苗深度l=32 mm，基本滿足西蘭花植苗所需園藝要求。圖13所示為機構仿真軌跡，其與理論軌跡一致，進一步驗證了機構設計的正確性。

圖13 七桿栽植機構仿真軌跡Fig.13 Simulation result of seven-link planting mechanism

同樣，對六桿一自由度機構及八桿一自由度進行綜合，并各選一種構型進行栽植機構運動學建模與仿真分析，結果如圖14、15所示。其中，株距均為450 mm；距離植苗最低點均為32 mm；其他運動參數均滿足西蘭花幼苗植苗的園藝要求。

圖14 六桿機構理論與仿真軌跡Fig.14 Six-link theoretical result and simulation result

4 結論

(1)為使栽植機構設計滿足復雜多樣化農藝要求，通過基于相似點識別及特征碼信息的同構判別與功能點選取的多連桿機構創成方式，綜合并構建6至9桿的多連桿機構構型庫。

(2)結合機構運動要求，建立了拓撲圖層面機構功能拓撲圖的篩選規則，并在構型庫中篩選出適合于栽植機構設計的六桿一自由度機構14個，七桿二自由度機構17個，八桿一自由度機構510個，九桿二自由度機構917個。

圖15 八桿栽植機構理論與仿真軌跡Fig.15 Eight-link theoretical result and simulation result

(3)依據西蘭花幼苗栽植農藝要求，在機構功能拓撲圖圖庫中選擇3種不同于現存機構的構型。通過運動學建模及參數優選，得到符合期望要求的運動軌跡，驗證了栽植機構構型綜合方法的正確性。