平面平臺型6-PSS并聯機構構型選擇與參數優化

王啟明 張漢祖 蔣江月 宋 景 覃俊雄

(上海理工大學機械工程學院, 上海 200093)

0 引言

與串聯機構相比，并聯機構具有剛度大、承載能力強、運動精度高等優點，與此同時，6-PSS并聯機構不同于傳統Stewart并聯機構，其驅動裝置安裝于基座而非連桿，因此6-PSS并聯機構還具有慣性小、速度快、重心低等優點。

由于6-PSS并聯機構的優越性能，其在眾多領域得到了應用。胡圣鑫[1]鑒于星載SAR天線陣面調整機構剛度大、天線架背與陣面之間間距小、調整精度高等要求，選擇了構型Ⅰ機構作為基礎構型，將雅可比矩陣的條件數作為機構運動性能的評價指標，將全局誤差系數作為機構運動精度的評價指標，通過優化得到了具有更高靈巧度和運動精度的設計參數。光電封裝系統中的六自由度運動平臺應具有行程大、精度高、穩定性好等特點，HOU等[2]提出采用柔性鉸鏈的機構作為光電封裝平臺，并對其進行了逆運動學建模。郭抗等[3]根據光刻物鏡中光學元件軸向調節機構軸向結構緊湊、調節精度高的使用需求，設計一種光學元件軸向調節機構，為提高機構可靠性和降低制作成本，將6-PSS并聯機構中的6個運動支鏈分為3對，每對共用一個移動副，最后制作了樣機，進行了試驗驗證；王宗平等[4]對提出的機構進行了動力學分析，該機構具有剛度高、運動精度高等優點。6-PSS并聯機構的應用還有：仿生下頜平臺[5]、送料機械手[6]、空間望遠鏡副鏡調整機構[7]、地震模擬器[8]、仿生機械馬[9]等。

工作空間、靈巧性等運動學性能是衡量一個機構優良的重要評價指標[10]。張偉中等[11]以規則圓臺工作空間體積和全局運動/力傳遞性能為目標函數，通過粒子群算法對2-PUR-PSR并聯機構進行了優化。孫小勇等[12]通過優化數學模型對6-PSS并聯機構的工作空間和動力學特性進行了多目標優化。許允斗等[13]提出了一款構型為R(2RPR)R/SP-RR的五自由度混聯機器人，并綜合考慮工作空間與力傳遞效率等指標對其并聯結構部分進行了關鍵尺度優化。李仕華等[14]提出了一種基于球面5R機構的空間二維指向機構，以工作空間、靈巧性和承載能力作為優化指標，采用圖譜法對機構的結構參數進行了優化設計。HOU等[15]以3-PSS/S并聯機構工作空間大小和性能為優化目標，采用遺傳算法進行尺度參數優化。張良安等[16]提出改進混沌粒子群算法，并利用該算法對Ahut-Delta并聯機構進行尺度優化。葉偉等[17]提出了一種用于微創手術的遠中心并聯機構，通過分析運動/力傳遞指標的性能，表明機構在工作空間內性能良好，以優質空間為目標對機構進行了尺度優化。目前，鮮有文獻研究平面平臺型6-PSS并聯機構的構型選擇與參數優化問題，該領域仍需深入研究。

本文主要考慮基座和動平臺的球鉸副中心分別位于同一平面上的平面平臺型6-PSS并聯機構，其構型選擇與參數優化的本質是解決直線導軌在基座上的布置方式與尺寸綜合問題。給出4種典型的平面平臺型6-PSS機構構型，建立其運動學逆解模型并推導其雅可比矩陣，通過ADAMS仿真驗證其正確性；對比分析4種典型構型機構的可達工作空間、轉動能力和靈巧性，確定平面平臺型6-PSS并聯機構的最優構型；針對最優構型分析其結構參數對工作空間和靈巧性的影響規律，并以工作空間體積最大化為優化目標，得到最優結構參數值，并對優化后的機構進行誤差分析，以期為平面平臺型6-PSS并聯機構提供設計依據。

1 平面平臺型6-PSS機構運動學模型

1.1 機構描述與坐標系建立

本文研究的平面平臺型6-PSS并聯機構主要由基座(6個驅動電機、6條直線導軌、6個滑塊)、下球鉸、6條長度相同的連桿、上球鉸、動平臺等組成，通過電機驅動滑塊運動，帶動連桿從而實現動平臺的六自由度運動。

結合圖1對平面平臺型6-PSS并聯機構的4種典型構型進行說明。構型Ⅰ的導軌按照1-1-1-1-1-1分為6組，呈輪輻式布置，每條導軌的延長線通過基座中心；構型Ⅱ的導軌按照1-2-1-2分為4組，呈十字形正交布置，2個一組的導軌相互平行；構型Ⅲ的導軌按照2-2-2分為3組，呈120°對稱布置，每組2條導軌相互平行；構型Ⅳ的導軌按照3-3分為兩組，呈橫向對稱布置，每組3條導軌相互平行。

如圖1所示，Ai、Bi(i=1,2,…,6)分別為動平臺和滑塊的球鉸副中心；B0i為滑塊初相位也就是滑塊位移為0時的球鉸副中心；Ai、B0i兩兩一組分為3組，分別均布在半徑為r和R的圓周上，呈120°對稱分布；每組動平臺球鉸副中心之間的夾角為θa；每組滑塊球鉸副中心之間的夾角為θb。6條連桿的長度均為L。6條直線導軌長度均為S0。4種構型的導軌布置方式不同，但結構參數相同。

如圖1所示，以動平臺中心為原點建立動坐標系OAXAYAZA，以基座中心為原點建立靜坐標系OXYZ。

1.2 運動學逆解

并聯機構逆解是已知動平臺的位姿參數q=(x,y,z,α,β,γ)，反求6個滑塊位移Si(i=1,2,…,6)，Si表示滑塊球鉸副中心Bi到初相位B0i的距離。動平臺球鉸副中心Ai在動坐標系中的坐標矢量A′i=(A′ix,A′iy,0)T可由機構幾何參數得出，然后通過坐標變換公式得到其在靜坐標系中的坐標矢量Ai=(Aix,Aiy,Aiz)T，坐標變換公式為

Ai=RA′i+T

(1)

其中

(2)

T=[xyz]T

(3)

式中R——旋轉變換矩陣

T——平移變換矩陣

c表示cos，s表示sin。

滑塊球鉸副中心Bi(i=1,2,…,6)在固定坐標系中的坐標矢量Bi=(Bix,Biy,0)T可由機構結構參數和滑塊位移Si得出。

根據運動過程中桿長長度不變，建立方程

‖Ai-Bi‖=L(i=1,2,…,6)

(4)

當位姿參數q=(x,y,z,α,β,γ)和機構結構參數已知時，求解式(4)可得到滑塊位移Si。

1.3 機構雅可比矩陣

由剛體速度投影定理可知，連桿兩端球鉸副中心在連桿上的速度投影相等，以此建立等式。

第i個動平臺球鉸副中心的速度矢量為

VAi=VOA+ωA×(RA′i)

(5)

其中

式中VOA——動平臺坐標原點速度矢量

ωA——動平臺繞動坐標系轉動角速度

動平臺球鉸副中心在連桿上的速度投影為

(6)

其中

Li=(Lix,Liy,Liz)T

式中Li——連桿方向向量

(7)

其中

mi=(cosθi,sinθi,0)T

式中θi——第i條導軌與X軸正方向的夾角

令VAiLi=VBiLi，則可得

(8)

式(8)中J6×6即所要求解的雅可比矩陣，反映了并聯機構輸入構件和輸出構件之間的傳動比。

1.4 誤差模型

本文主要研究結構參數誤差(驅動副安裝位置誤差、桿長誤差、動平臺球鉸副安裝位置誤差)對機構末端位姿誤差的影響，采用矢量微分法求誤差模型，由矢量閉環公式可得

uili=RA′i+T-Bi

(9)

其中

ui=Li/li

式中ui——連桿方向單位向量

li——連桿實際長度

對式(9)兩端進行全微分可得

δuili+uiδli=δRA′i+RδA′i+δT-δBi

(10)

參照文獻[18]對式(10)進行推導和整理，得到結構參數誤差和末端位姿誤差的映射關系為

(11)

其中

δq=(δx,δy,δz,δα,δβ,δγ)T

式中 δq——機構末端位姿誤差向量

δli——連桿長度誤差向量

JP——桿長誤差傳遞矩陣

JO——球鉸副中心位置誤差傳遞矩陣

δe——上下球鉸副中心位置誤差向量

1.5 運動學模型驗證

以構型Ⅲ為例，設如表1所示結構參數。初始位姿q=(0,0,420,0,0,0)T，時間t∈(0,5 s)，給定動平臺位姿變化函數

(12)

表1 機構的一組結構參數Tab.1 A set of parameter values of mechanism

利用Matlab位姿逆解求得上述給定過程的滑塊位移和其速度變化曲線；利用ADAMS模擬機構運動得到仿真結果。將理論計算和運動仿真結果進行線性擬合[19]，結果如圖2所示，二者位移最大誤差量級為10-2mm，速度最大誤差量級為10-2mm/s，均在允許范圍之內，驗證了理論模型的正確性。

圖2 理論與仿真結果對比Fig.2 Comparison of theoretical and simulation results

2 不同構型機構運動性能

2.1 工作空間

并聯機構工作空間按照定義不同可分為完全工作空間、可達工作空間及靈活工作空間等[20]。考慮到六維工作空間很難描述，本文主要分析固定姿態角為(0°,0°,0°)下的可達工作空間。

工作空間的約束條件主要有以下兩種：

(1)球鉸副轉角限制

球鉸副轉角φ定義為與球鉸副連接的連桿方向向量和球鉸副底座面的法向量之間的夾角。本文選擇球鉸副最大轉角φmax=45°，則各球鉸副的轉角應滿足

(13)

式中φai、φbi——動平臺和滑塊上各球鉸的轉角

nai——與動平臺連接的球鉸副底座面的單位法向量

nbi——與滑塊連接的球鉸副底座面的單位法向量

(2)滑塊行程限制

受直線導軌長度限制，滑塊在各自運行方向行程亦受限，其位移約束為

0≤Si≤S0

(14)

采用極坐標邊界搜索法[21]求解可達工作空間邊界。首先根據機構結構參數確定工作空間的最低邊界點(0,0,Zmin)和最高邊界點(0,0,Zmax)；其次用平行于XOY的平面將工作空間分為若干高度為Δz的子空間，在第i個子空間里，位置點的Z軸坐標為zi，極角σ從0開始以增量Δσ增加到2π，在每一個極角方向上，極徑ρ從0開始以增量Δρ逐漸增加，直到位置點不滿足約束條件則停止搜索，并記錄下來該搜索方向的極徑ρj；然后開始下一個極角方向的搜索，該方法求解的工作空間體積可表示為

(15)

圖3為4種構型的機構可達工作空間及其投影輪廓圖。由圖3可知，4種構型機構在X、Y、Z方向可達工作空間范圍分別為：構型Ⅰ 210、232、90 mm；構型Ⅱ 201、193、76 mm；構型Ⅲ 251、248、89 mm；構型Ⅳ 173、286、55 mm。

圖3 4種構型的平面平臺型6-PSS并聯機構的可達工作空間及其投影圖Fig.3 Reachable workspace and projection of 6-PSS parallel mechanism with planar platform

通過式(15)計算4種構型工作空間體積分別為1.084 5×106、9.789×105、1.222 1×106、6.668×105mm3。構型Ⅳ的工作空間體積相比于其他3種較小。構型Ⅲ在各方向上的可達工作空間范圍和工作空間體積都相對較大。

2.2 轉動能力

采用邊界數值搜索法求解機構在不同高度工作空間平面上的所能達到的最小轉角和最大轉角。由于機構具有對稱性，因此只需對比繞X軸轉角α，工作空間k處的高度Hk為

Hk=Zmin+k(Zmax-Zmin) (0≤k≤1)

(16)

如圖4所示，構型Ⅳ的轉動范圍略不同于其它3種構型。構型Ⅰ、構型Ⅱ、構型Ⅲ在各自工作空間高度1/2處到3/4處之間轉動范圍達到最大，繞X軸轉角α為[-18°,18°]，從圖4可知，前3種構型的轉動能力相差不大。

圖4 4種構型的機構在不同工作空間高度上的繞X軸轉角α范圍Fig.4 Comparison of rotation capacity between different configurations

2.3 靈巧性

雅可比矩陣條件數K(J)可定量反映機構輸入與輸出之間運動/力傳遞關系。通常1≤K(J)≤∞，一般采用雅可比矩陣條件數的倒數來表示機構局部靈巧度，條件數越小，靈巧度越大，機構運動/力傳遞性能越好[22]。局部靈巧度指標計算式為

(17)

由于LCI只能判斷機構在單個位形下的運動/力傳遞性能，利用全局靈巧度指標GCI來評價機構在整個工作空間里的運動/力傳遞性能，計算式為

(18)

式中n——工作空間內離散點的數量

圖5 4種構型的6-PSS并聯機構的靈巧度分布圖Fig.5 Distributions of dexterity of four configurations of 6-PSS parallel mechanism with planar platform

圖6 不同結構參數對可達工作空間的影響Fig.6 Influence of different structural parameters on reachable workspace

綜上可知，構型Ⅲ可達工作空間范圍、工作空間體積、不同工作空間高度上的靈巧度分布、全局靈巧度都較優越，因此本文采用最優構型Ⅲ的6-PSS并聯機構。

3 結構參數優化設計

3.1 結構參數

圖6為6個結構參數工作空間在Y=0平面上的投影輪廓圖。單個結構參數改變，對工作空間投影的影響趨勢如表2所示。

表2 工作空間投影范圍的變化趨勢Tab.2 Variation trend of workspace projection

由圖6和表2可知，R增大，工作空間在X方向的投影范圍減小，在Z方向的投影范圍顯著增大，最高點下移，最低點顯著下移，當R增大到一定值，工作空間最低位置不再下降，且由一點變為一個平面；由圖6和表2可知，r減小，工作空間在X方向的投影范圍減小，在Z方向的投影范圍增大，最高點下移，最低點下移，當r減小到一定值，工作空間最低位置不再下降，且由一點變為一個平面；由圖6和表2可知，L減小，工作空間整體下移，工作空間在X方向和Z方向投影范圍變化較小，當L減小到一定值，工作空間最低位置由一點變為一個平面；由圖6和表2可知，S0增大，工作空間投影最高點無變化，工作空間在X方向和Z方向的投影范圍都顯著增大，當S0增大到一定值，工作空間最低位置不再下降，且由一點變為一個平面；由圖6和表2可知，θa增大或θb減小，工作空間在X方向和Z方向的投影范圍增大，最高點位置幾乎不變，最低點下移。

上文所述及圖6中工作空間最低位置為一點的情況如圖7所示，當所有滑塊都到達最大行程時，動平臺下降到最低點。工作空間最低位置為一個平面的情況如圖7所示，球鉸副轉角已達到最大值，但所有滑塊尚未達到最大行程，此時滑塊仍可移動，從而工作空間最低位置形成一個平面。結構參數改變，當R越大、r越小、L越小、S0越大時均會出現不同程度的最低平面。

為了優化構型Ⅲ的結構參數，通過式(15)、(18)計算機構的工作空間體積和全局靈巧度，由此分析判斷各結構參數對性能指標的影響。如圖8a～8d所示，可知在一定的結構參數范圍內，工作空間體積V和全局靈巧度GCI呈正相關。如圖8e、8f所示，θa、θb對全局靈巧度GCI影響較大，但是對工作空間體積V影響較小。

圖8 結構參數與性能之間的關系Fig.8 Relationships between structural parameters and performance

究其原因，由第2.3節可知，如圖5所示，工作空間內的點，其縱坐標Z越小，局部靈巧度LCI越大; 由圖6、 8可知，機構結構參數改變(R增大，r減小，L減小，S0增大)，工作空間均增大，主要是工作空間偏下部分體積增大所致；工作空間逐步偏下，縱坐標Z減小，局部靈巧度LCI越大，而偏下部分體積越大，則高的局部靈巧度LCI比例增大，全局靈巧度GCI越大。隨著結構參數在給定范圍內繼續變化，出現了工作空間最低位置為一個平面的情況，此時工作空間增大變緩，而工作空間偏下部分體積又逐步減小，全局靈巧度開始減小且拐點之后工作空間體積和全局靈巧度不再呈正相關。

在參數優化時，確保機構在每組結構參數下的工作空間最低位置是一個點，即可保證工作空間體積和全局靈巧度正相關，此時只需將工作空間體積作為優化目標，就可得到工作空間大、全局靈巧性好的結構參數。

3.2 優化模型

工作空間體積V作為優化目標函數，可由式(15)計算得到。選取機構的結構參數為設計變量。為了參數優化的標準化和普適性[23]，取導軌長度為固定值S0=200 mm，其他設計變量變化范圍如式(19)所示，則優化模型為

(19)

3.3 優化結果

采用粒子群算法求解上述優化問題。該算法中，粒子擁有記憶功能會記錄自身最優位置，受到自身經驗的引導，同時基于信息共享機制受到群體經驗的影響，使得粒子同時具有向自身最優位置和全局最優位置逼近的趨勢，具有較好的全局搜索能力和收斂速度[24]。粒子群算法的控制參數設置為：種群規模40，最大迭代次數80，學習因子1和2都取1.5，慣性權重為0.4～0.8。結構參數優化設計的圓整結果如表3所示，其中解1和解2為挑選的局部最優解，解3為全局最優解。

3個解所對應的工作空間投影圖如圖9所示，可知工作空間體積增大主要是由于豎直Z方向的可達范圍增加。3個解所對應的靈巧度分布如圖10所示，可知同比例的工作空間高度Z所對應的靈巧度亦增大。由表3可知，隨著工作空間體積增大，全局靈巧度也增大，驗證了工作空間體積和全局靈巧度正相關的結論以及優化模型的正確性和有效性。

表3 優化結果對比Tab.3 Comparison of optimization results

圖9 優化結果對應的工作空間投影圖Fig.9 Workspace projection maps of optimization results

解3對應的機構三維模型如圖11所示。3個解的共同點是動平臺上每組的兩個球鉸副之間的距離等于每組的兩條直線導軌之間的距離，即滿足2rsin(θa/2)=2Rsin(θb/2)。

綜上所述，結合優化結果可得出平面平臺型6-PSS并聯機構的設計原則。首先，按照構型 Ⅲ 布置直線導軌，具體為2-2-2分為3組，呈120°對稱分布，每組的兩條導軌相互平行；然后，由實際應用需求決定導軌長度S0，需獲得較大工作空間，則選用較大導軌末端布置圓周半徑R和較小的動平臺球鉸副布置圓周半徑r；通過調整連桿長度L，來使工作空間最低位置為一點，即動平臺在最低位置時，球鉸副轉角小于最大轉角；通過調整每組動平臺球鉸副夾角θa和每組導軌末端夾角θb，來滿足2rsin(θa/2)=2Rsin(θb/2)，即可得到運動性能優越的平面平臺型6-PSS并聯機構。本文為平面平臺型6-PSS并聯機構的設計提供了依據。

圖10 結構優化結果所對應的靈巧度分布Fig.10 Distributions of dexterity of optimization results

圖11 最優結構參數對應的三維模型Fig.11 3D model correspond to optimal structural parameters

3.4 誤差分析

由于零件制造和機構裝配水平的限制，實際結構參數與理論結構參數不可避免地存在誤差[25]。并聯機構誤差來源有驅動誤差、間隙誤差、變形誤差等。本文主要研究結構參數誤差，如驅動副安裝位置誤差δRi、δθb、桿長誤差δli、動平臺球鉸副安裝位置誤差δri、δθa。

由式(11)可知，任意一條支鏈有5項結構參數誤差，共有30項結構參數誤差，數量較多且不易同時進行分析，所以本文將研究單條支鏈上單項誤差對機構末端位姿誤差的影響，設長度誤差為0.2 mm、角度誤差為1°，取機構在工作空間內代表機構升降、平移、俯仰、偏航等運動的幾個位姿點，應用Matlab進行仿真計算，結果如表4所示。

表4 單支鏈上單項誤差對機構末端位姿誤差的影響Tab.4 Influence of structural parameter error on pose error of mechanism end

由表4可知，桿長誤差和上、下球鉸副中心位置誤差都是影響機構末端位姿誤差的主要因素。不同位姿點對結構參數誤差的敏感度不一樣，但總的來說，桿長誤差δli對機構末端位姿誤差的影響大于導軌末端布置圓周半徑誤差δRi的影響大于動平臺球鉸副布置圓周半徑δri的影響。

4 結論

(1)針對4種典型的平面平臺型6-PSS并聯機構構型，根據坐標變換及機構幾何關系，建立了運動學逆解模型，通過剛體速度投影定理，推導了機構的雅可比矩陣，通過矢量微分法建立了誤差模型，并采用ADAMS仿真，驗證了運動學模型的正確性。

(2)繪制了4種構型的平面平臺型6-PSS并聯機構的工作空間圖和靈巧度分布圖，求解了工作空間體積V和全局靈巧度GCI，經過對比分析得出構型Ⅲ的性能最優。

(3)分析了構型Ⅲ的結構參數對其工作空間和靈巧性的影響規律，結果表明在一定的結構參數范圍內，工作空間體積和全局靈巧度正相關。

(4)以工作空間體積為優化目標函數，以機構結構參數為設計變量，通過粒子群優化算法求解，得到了最優結構參數，并與其他局部最優解結構參數進行對比，驗證了優化結果的正確性，并對優化后的機構進行了誤差分析，為平面平臺型6-PSS并聯機構的設計提供了依據。