考慮動應力-動應變關系及剪切波速相似的模型軟巖配制方法

王志佳，黎洪磊，李勝民，吳祚菊，段書蘇，謝朋

(1. 海南大學 土木建筑工程學院，海口 570228；2. 西南科技大學 土木工程與建筑學院，四川 綿陽 621010)

模型試驗作為一項有效的研究手段，一直以來被廣泛運用到土木工程研究中，通過模型試驗，可以對復雜巖土工程抗震問題進行縮尺研究，進而全面、真實地再現復雜巖土工程結構的受力變形特征。為保證復雜巖土工程模型試驗的真實可靠性，需研制與原型巖體物理力學特性相似的模型材料。學者們針對相似材料的問題開展了大量研究[1]：左保成等[2]提出利用石英砂、石膏和水泥對巖體介質的物理力學特性進行模擬，并以灰巖為例進行了模型試驗相似材料的配制試驗，給出了骨料與膠結物配比(砂膠比)、膠結材料配比及養護方式對相似材料強度的影響規律；王漢鵬等[3]經過大量力學試驗，以鐵礦粉、重晶石粉和石英砂為骨料，石膏粉作為調節劑，酒精溶液和松香作為膠結劑，研制出一種新型巖土工程模型試驗相似材料，且該新型相似材料在使用過程中展現出抗壓強度與彈性模量低、容重較高、性能穩定等優勢，是一種比較理想的相似材料；杜時貴等[4]以高強水泥、標準砂、硅粉、水和高強減水劑等為原材料，配制出一種可模擬原巖結構面特性的模型試驗相似材料。張定邦等[5]通過物理力學性質試驗及大量配比試驗，以鐵礦粉、重晶石粉和石英砂為骨料，不飽和樹脂和石膏為膠結材料，研制出超高陡邊坡與崩落法地下開采模型試驗礦巖相似材料；Burgert等[6]以環氧樹脂加3%～5%的硬化劑為原材料研制出一種脆性模型試驗相似材料；Fatahi等[7]、Kim等[8]認為巖土體介質的非線性對地震作用下的樁-土相互作用影響明顯，并在試驗中考慮土體動應力-動應變關系進行相似材料的配制。

以上相似材料配制的研究成果大多基于試樣的強度、彈性模量、黏聚力和內摩擦角滿足相似比要求的原則，而部分雖然提到了在振動臺試驗中考慮土體動應力-動應變關系進行相似比配制，但并未針對軟巖相似材料考慮動應力-動應變關系的配制過程進行深入研究。基于以上現狀，筆者根據模型試驗的相似原理，同時考慮巖土體動應力-動應變關系及剪切波速的相似，利用正交試驗，并通過對數據進行極差和方差分析，研究了模型試驗相似材料組成成分對其密度、參考應變以及初始剪切模量的影響規律，隨后通過配比試驗研制出一種新型軟巖相似材料。

1 模型相似設計特征方程的選擇

1.1 相似材料的選擇

試驗目的主要是確定軟巖相似材料的配比，為了使模型與原型盡可能相似，選取黏土、重晶石粉和石膏為主要配比材料，黏土選取原場地土樣，密度為1.9～2.2 g/cm3，重晶石粉密度為3.4～3.8 g/cm3，石膏密度為2.3 g/cm3。在進行土與地下結構動力相互作用振動臺模型試驗時，一般要求模型軟巖的動應力-動應變關系、動剪切模量衰減特性、阻尼特性、剪切波速、密度、抗壓強度等多個參數與原材料相似，但在實際實施過程中，由于相似材料限制，不可能滿足上述所有參量的相似要求，故根據地下結構地震響應的實際情況，選擇軟巖的動應力-動應變特性和波的傳播特性為相似控制因素，其余的非關鍵因素盡可能滿足相似要求。

軟巖在地震荷載作用下的動應力-動應變關系是反映軟巖動力特性的重要參數。研究非破壞條件下動應力-應變關系時，可采用Hardin等在往復荷載作用下動應力-動應變間骨干曲線的雙曲線形式作為基礎，則動應力-動應變關系表示為[9]

(1)

由式(1)可得動剪切模量函數的基本表達式

(2)

或寫成

(3)

式(1)～式(3)中：G為初始剪切模量；τd為最大動剪應力；τr為某一剪應變對應的實時剪應力。初始動剪切模量Gmax和參考應變γr值確定以后，就可以得到土的動應力-應變關系曲線。所以，控制動剪切模量比G/Gmax和參考應變γr滿足相似比關系就能得到滿足要求的動應力-應變關系，且根據文獻[9]，初始剪切模量Gmax可以采用波速法確定，即

(4)

由式(4)可知，當初始剪切模量Gmax和密度ρ滿足相似關系時，剪切波速νs同樣滿足要求，這樣配制出來的相似材料才能較好地反應原型軟巖的動力特性。

1.2 正交試驗設計

相似材料配比試驗中，對相似材料物理力學性質產生影響的因素和各因素水平數較多，因此，采用正交試驗方法對試驗次數進行優化。采用的正交試驗具體設計過程和試驗步驟如下：

第1次正交試驗：選用3因素4水平的正交試驗方案，以黏土、重晶石粉、石膏含量作為正交設計的3個因素，根據現場勘察資料，含水率控制在14%，根據試驗需要，制作標準試塊進行動三軸試驗，主要測試動剪切模量比G/Gmax和參考應變γ等參數，并對正交試驗結果進行評估，以此作為第2次正交試驗的依據。

第2次配比試驗：為精準獲取振動臺模型試驗相似材料的最終配比，根據第1次正交試驗的結果，與需滿足的模型材料要求進行對比，縮小試驗因素的取值范圍，并以此為基礎開展第2次配比試驗，得到基巖相似材料的最終配比。

以黏土、重晶石粉、石膏含量作為正交設計的3個因素，每個因素設置4個水平，相應的材料配比方案見表1，表中列出了各相似材料的質量比。

表1 相似材料配比試驗方案

續表1

2 試驗過程

對于模型試驗，軟巖施工開始距試驗模型振動數據采集之間約有7 d時間，所以，事先制備好圓柱狀試樣，然后放入保鮮袋保存7 d，隨后進行試樣動三軸試驗，試驗設備及試驗過程分別如圖1、圖2所示。試驗為單向激振動三軸試驗，主要模擬動力荷載的波型、方向、頻率和持時。對于地震來說，可將地震荷載簡化為等效諧波作用，諧波幅值剪應力τc取為0.65τmax，加載幅值為40 N，等效循環次數選擇8級地震對應的30次，頻率為1 Hz，地震方向按水平剪切波考慮。

試樣施加圍壓由土層實際應力狀態確定，根據原場地的土層分布情況，可確定其基巖實際應力狀態，因此，試驗應力狀態應盡可能真實地反應基巖在地震荷載作用下的狀態。基巖的容重為24 kN/m3，地震前作用的豎向應力為363 kPa，水平應力為290.9 kPa，所以，試驗圍壓確定為300 kPa。

圖1 動三軸儀Fig.1 Dynamic triaxial

圖2 試樣制備

3 試驗結果分析

試驗目的主要是配制動應力-動應變關系和剪切波速滿足相似比的模型材料，其中，應力-應變關系采用Hardin-Drnevich模型，具體表達式如式(3)所示，即配制模型材料的G/Gmax～γ關系曲線與原型材料G/Gmax～γ關系曲線的相關性為評價模型試驗配比的重要指標。

第1次相似材料正交試驗主要是明確黏土、重晶石粉、石膏對曲線變化的影響趨勢，故選取參考應變γr與統計分析所得到的巖石的初始剪切模量Gmax,引入相關函數Correl(X,Y)，計算式如式(5)所示[10]。

(5)

原型材料G/Gmax～γ關系曲線的參數采用王志佳[11]經過統計分析得到的軟巖G/Gmax～γ關系曲線，具體如圖3所示，根據相似準則，將軟巖原型和相似材料相關參數列于表2。

圖3 動應力-動應變關系曲線Fig.3 Curve of dynamic stress versus dynamic

表2 軟巖原型和相似材料相關參數

由于振動臺試驗選擇密度ρ、長度L以及重力加速度g作為基本量綱，密度相似常數Cρ取為1，尺寸相似常數Cl取為70，重力加速度相似常數Cg取為1，由上述3參量相似常數可導出其余物理量的相似常數，如表2所示。

通過試驗得到16組不同配比相似材料的試驗結果，列于表3。

表3 相似材料配比第1次正交試驗結果

4 影響因素敏感性分析

極差是用于衡量各因素取值變化對相似材料物理力學性質影響的參量，極差大的因素即為對相似材料性質影響顯著的關鍵因素[12]。各因素的極差R可通過式(6)計算。

R=max{Kij}-min{Kij}

(6)

式中：i為正交試驗水平數；j為正交試驗因素數；Kij為在i水平下的j因素試驗結果之和。

多指標正交試驗的方差分析主要是通過對試驗數據偏差平方和和誤差平方和進行計算檢驗的統計量，從而可以準確地判斷各個影響因素之間相互作用的效果是否明顯[13]。

為了反映試驗結果的總差異，引入總離差平方和SST，總離差平方和越大，則說明試驗結果之間的差異越大，總離差平方和為

(7)

各因素的偏差平方和SSj為

(8)

式中：t為各試驗因素的水平數；n為各因素j在i水平下的試驗次數。

試驗誤差的離差平方和可由式(9)求出。

(9)

任一列離差平方和對應的自由度

dfj=因素水平數-1=r-1

(10)

各因素的均方為

MSj=SSj/dfj

(11)

試驗誤差的均方為

MSe=SSe/dfe

(12)

各影響因素對應的統計量F為

Fj=MSj/MSe

(13)

4.1 密度敏感性分析

分別計算黏土、重晶石粉和石膏在4種不同水平下對應試驗樣品的密度平均值、3種因素對試樣密度影響的極差和方差，如表4、表5所示。

表4 密度極差分析

表5 密度方差分析

通過以上分析可以發現，各影響因素對相似材料的密度敏感性由大到小依次為：重晶石粉、黏土、石膏。相較于黏土和石膏，重晶石粉的極差和方差較大，說明重晶石粉含量是影響相似材料密度的主要因素。為了更加直觀地分析重晶石粉、黏土和石膏對相似材料密度的影響，根據表5作出密度敏感性因素分析圖，如圖4所示。可以看出，材料密度隨著黏土和石膏含量的增加略微減小，隨著重晶石粉含量的增加而呈增大的趨勢。

圖4 相似材料的密度敏感性分析圖Fig.4 Sensitivity analysis of affecting

4.2 γr敏感性分析

分別計算黏土、重晶石粉和石膏在4種不同水平下對應試驗樣品的參考應變平均值、3種因素對參考應變影響的極差和方差，如表6和表7所示。

表6 γr極差分析

表7 γr方差分析

通過以上分析可以發現，石膏和黏土的極差和方差明顯較大，故石膏和黏土對相似材料的參考應變γr影響較為明顯。為了更加直觀地分析各因素對相似材料γr的影響，根據表7作出γr的敏感性因素分析圖，如圖5所示。可以看出，相似材料的參考應變γr隨著黏土含量的增加而呈減小的趨勢，隨著石膏和重晶石粉含量的增加而呈增大的趨勢。

4.3 Gmax敏感性分析

分別計算黏土、重晶石粉和石膏在4種不同水平下對應試驗樣品的初始動剪切模量平均值、3種因素對初始動剪切模量影響的極差和方差，如表8和表9所示。

圖5 相似材料的參考應變γr敏感性分析圖Fig.5 Sensitivity analysis of reference strain

表8 Gmax極差分析

表9 Gmax方差分析

通過以上分析，黏土、重晶石粉和石膏的含量對相似材料的初始動剪切模量Gmax的影響都較為明顯。為了更加直觀地分析各因素對相似材料初始動剪切模量Gmax的影響，根據表9作出Gmax敏感性因素分析圖，如圖6所示。可以看出，相似材料的初始動剪切模量Gmax隨著黏土含量的增加而呈減小的趨勢，隨著重晶石粉和石膏含量的增加而呈增大的趨勢。

圖6 相似材料的初始動剪切模量Gmax敏感性分析圖Fig.6 Sensitivity analysis of initial shear modulus

5 最終配比試驗

基于第1次正交試驗所確定的各配比材料對參考應變γr與統計分析所得到軟巖的初始剪切模量Gmax的影響趨勢，選取第1次正交試驗中配比結果與目標配比材料參數相近的配比作為起始配比。根據振動臺試驗的要求，軟巖原型的材料參數：密度為2 400 kg/m3，初始剪切模量Gmax為1 332 MPa，參考應變γr為0.001 802。結合第1次正交試驗的結果，選擇第5組配比作為第2次配比試驗的起始配比，隨后可以通過微調重晶石粉、黏土、石膏的含量來進行相似材料的精確配比。各配比材料質量比情況如表10所示。

表10 配比試驗

第2次配比試驗結果如表11所示，可以看出，第15組試驗的結果與軟巖相似材料的參數比較接近，其動應力-動應變關系曲線與文獻[9]推薦的軟巖動應力-動應變曲線的相關性較好，故可將第15組試驗的配比作為軟巖相似材料的最終配比，軟巖相似材料和軟巖原型的動應力-動應變曲線如圖7所示。

表11 配比試驗結果

圖7 軟巖相似材料和軟巖原型動應力-動應變曲線Fig.7 Curves of dynamic stress-strain of soft rock prototype and similar

式(4)給出了初始剪切模量Gmax和剪切波速的關系式，根據第15組試驗配比材料的初始剪切模量Gmax為19.2 MPa，可以推算出剪切波速νs為89.44 m/s，則在試驗開始前可通過剪切波速的測試驗證基巖配比的初始剪切模量的合理性。

6 結論

1)根據模型試驗的相似原理，通過正交試驗及物理力學性質試驗，研制出一種新型軟巖相似材料，新型模型材料考慮了地震作用下基巖動力特性及剪切波速的相似問題，適合用于振動臺試驗軟巖相似材料的模擬。

2)軟巖相似材料中各影響因素對相似材料密度的敏感性由大到小依次為：重晶石粉、黏土、石膏。石膏和黏土對相似材料的參考應變影響較為明顯，相似材料的參考應變隨著黏土含量的增加而減小，隨著石膏和重晶石粉含量的增加而增大；相似材料的初始剪切模量Gmax隨著黏土含量的增加而減小，隨著石膏和重晶石粉含量的增加而增大。

3)以兩次正交試驗結果為依據，以動應力-動應變特性和波傳播特性相似為控制指標，確定模型試驗軟巖相似材料的最終質量比為黏土∶重晶石粉∶石膏=7.9∶2.1∶3，此配比可充分保證地下結構地震響應振動臺模型試驗對基巖相似材料的要求。