考慮滲透系數隨時間變化及固結狀態影響的一維固結計算

金超奇，徐長節，江平，顏建偉，程超，章立辰

(1. 華東交通大學 江西省巖土工程基礎設施安全與控制重點實驗室；土木工程國家實驗教學示范研究所，南昌 330013；2. 江西省港航建設投資集團港航運輸有限公司，南昌 330008)

中國的交通網絡不斷發展，高速鐵路網由“四縱四橫”發展為“八縱八橫”，軟土路基上高速公路、鐵路等工程建設問題也越來越多。其中，路基沉降是工程質量控制的關鍵環節，因此，準確合理的預測方法對軟土路基的固結沉降非常重要。經典太沙基(Terzaghi)一維固結理論能快速地預估地基沉降，但常常與實測值存在較大的誤差[1-2]。主要原因是Terzaghi一維固結理論是基于常固結系數Cv的假設，而實際上，在固結過程中，固結系數Cv中的滲透系數k、壓縮系數av以及孔隙比e都會隨著固結應力和時間發生變化。

20世紀末，Ducan[1]和Olson[2]都曾指出，固結系數的不確定性是傳統固結理論計算的局限性的根本原因。據此，Li等[3]假設壓縮系數和滲透系數同時變化，推導了在線性加載過程中黏土的一維非線性固結方程。Dumais等[4]通過非線性有效應力、孔隙比及滲透系數之間的關系，推導了融化土固結的一維計算模型。Cai等[5]利用雙曲線擬合方法，得到了一種修正的固結系數預測模型。Li等[6]研究了固結系數隨固結應力及時間的變化規律，發現隨著固結應力的增加，固結系數并非單調的變化趨勢，而是先增后減。Liu等[7]和Desai等[8-9]利用修正劍橋本構模型來描述土體固結行為。王玨等[10]發現一維固結沉降的發展與土體參數及荷載相關，彈性模量越大，沉降量越小；黏彈性體的延遲時間越大，固結變化越慢。阮永芬等[11]認為土體的沉積作用和應力歷史會影響地基固結沉降的確定。夏長青等[12]和胡安峰等[13]認為固結過程中壓縮性與滲透性線性相關，推導出了飽和軟土地基一維非線性固結解析解。

目前，學者們對于Terzaghi一維固結理論已開展了很多研究，部分學者[14-17]在研究固結系數Cv的變化時，認為孔隙比e的變化由固結應力大小和固結狀態決定，而孔隙比e在固結過程中隨時間的變化方面的研究還相對缺乏。針對上述問題，筆者考慮了在固結應力作用下固結系數Cv的變化、孔隙比e隨時間的變化，同時也考慮了土的固結狀態(正常固結土、超固結土、欠固結土)及修正后的滲透系數預測公式，得到修正的Terzaghi一維固結理論。首先，基于工程常用的5種滲透系數預測公式和側限壓縮量公式，結合不同初始固結狀態的e-lgp壓縮曲線關系，對5種滲透系數預測公式進行修正，構建了考慮滲透系數隨時間變化及固結應力影響的滲透系數預測公式kt，再將所構建的滲透系數計算式代入固結系數Cv中，對經典Terzaghi一維固結理論進行修正；然后，利用高俊等[14]、張樂等[15]的試驗數據探究預測公式的適用性和可靠性；最后，通過工程案例討論修正后的Terzaghi一維固結理論的合理性，并與不考慮時間的固結方程進行對比。

1 滲透系數預測公式的修正

1.1 考慮滲透系數與時間的相關性

以孔隙比、顆粒直徑和級配等重要影響因素[18-19]所構建的滲透系數預測公式為基礎，考慮時間相關性，如達西滲透系數公式、柯森-卡門滲透系數公式、太沙基滲透系數公式、中國水利水電科學研究院滲透系數公式、斯托克斯孔隙流滲透系數公式等[20]。結合固結度和側限壓縮量的關系，推導出固結應力作用下某一時刻t孔隙比et的表達式，同時，考慮土的初始固結狀態(正常固結土、超固結土、欠固結土)，對上述滲透系數預測公式進行修正，構建考慮滲透系數隨時間變化及固結應力影響的滲透系數預測公式。

1)達西滲透系數預測公式

(1)

式中：d為顆粒粒徑，cm；β為顆粒的球體系數，圓球時取π/6；λ為鄰近顆粒的影響系數，圓球取3π。

2)柯森-卡門滲透系數預測公式

(2)

式中：ρwz為自由水的密度，g/cm3；c2為與顆粒形狀及水的實際流動方向有關的系數，約為0.125；s為土顆粒的比表面積，cm-1；η為自由水的動力黏滯系數，g·s/cm2。

3)太沙基滲透系數預測公式

(3)

式中：d10為粒徑分布曲線上縱坐標為10%時所對應的土顆粒粒徑，cm。

4)中國水利水電科學研究院滲透系數預測公式

(4)

式中：d20為粒徑分布曲線上縱坐標為20%時所對應的土顆粒粒徑，cm。

5)斯托克斯孔隙流滲透系數預測公式

(5)

式中：R為毛細管的半徑，cm。

在實際工程中，上述預測公式中土的物理參數往往不易測得，且在固結過程中一般不會發生變化，而初始滲透系數k0和初始孔隙比e0可以由勘測資料獲得，因此，用k0和e0對上述參數進行代換。

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

再分別將式(6)～式(10)代入式(1)～式(5)中，得到的滲透系數預測式(11)～式(15)能基于初始滲透系數k0和初始孔隙比e0對土的滲透系數進行快速準確地計算。

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

式中：kt為某一時間t的滲透系數；et為某一時刻t的孔隙比。

在固結過程中，孔隙比et會隨時間逐漸達到e∞，因此，為了體現孔隙比et與時間的相關性，需要加入固結度Ut這一概念。所謂固結度Ut，是指在某一時間t后，土體發生固結或者孔壓消散的程度。

St=UtS∞

(16)

式中：St是某一時刻的沉降量；S∞是固結完成后的沉降量。

將側限壓縮量公式代入式(16)，然后將式(17)整理，得到某一時間t的孔隙比et的表達式式(18)。

(17)

et=e0-Ut(e0-e∞)

(18)

式中：e∞是固結完成后的孔隙比。

將式(18)代入式(11)～式(15)，得到修正后的滲透系數預測公式

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

根據式(19)～式(23)可知，滲透系數kt是關于固結度Ut(時間相關)和孔隙比e∞的函數，而孔隙比e∞需要由固結應力和土的初始固結狀態共同確定。不同土的初始固結狀態不同，e-lgp壓縮曲線也不同，因此，還需要對不同土的初始固結狀態進行討論。

1.2 考慮固結狀態及固結應力

土層的不同固結狀態對應著不同的e-lgp壓縮曲線，根據前期固結應力σc和現有有效應力σ0的關系，可將土體分為正常固結土，超固結土和欠固結土。

正常固結土的壓縮曲線如圖1所示。

(24)

式中：Cc為壓縮指數。

圖1 正常固結狀態的e-lg p壓縮曲線Fig.1 e-lg p compression curve of normal consolidation

超固結土的壓縮曲線如圖2所示。

當σ0≤σ0+Δσ≤σc時，有

(25)

當σ0+Δσ≥σc時，有

(26)

式中：Ce為回彈指數。

圖2 超固結狀態的e-lg p壓縮曲線Fig.2 e-lg p compression curve under over consolidation

欠固結土的壓縮曲線如圖3所示。

(27)

通過不同的e-lgp壓縮曲線，得到固結應力下相應的孔隙比e∞。再分別將式(24)～式(27)代入式(19)～式(23)中，便可得到針對不同土初始固結狀態下的滲透系數公式。例如：正常固結土的柯森-卡門滲透系數修正公式

圖3 欠固結狀態的e-lg p壓縮曲線Fig.3 e-lg p compression curve of under consolidated

(28)

由式(28)求滲透系數kt，最后還需要確定固結度Ut。因此，接下來介紹經典太沙基(Terzaghi)一維固結理論，并對其進行修正，最后與上述修正后的滲透系數公式進行聯立求解。

2 Terzaghi一維固結理論修正

Terzaghi固結理論假定，對于飽和土來說，在dt時間內單元體體積的減小應變等于單元體中水的凈出流量，即

(29)

式中：mv為體積壓縮系數。

在t時刻通過單元體的流量

(30)

將式(30)代入式(29)即可得

(31)

Cv=k(1+e0)/avγw

(32)

根據邊界條件及初始條件

t=0、0≤z≤H時，u0=p

0

0

t=∞、z=H時，u=0

將對應的修正滲透系數公式代入式(31)、式(32)，采用分離變量法便可得一維固結計算公式，例如：基于柯森-卡門滲透系數預測公式的正常固結土一維固結計算公式

(33)

(34)

(35)

式中：uz為深度z處的孔壓(z=1,3,5,7…)。

由此發現，無窮級數式(34)其實是一個關于(Ut,t)的隱函式，因此，可對其進行求解。采用Matlab對式(33)～式(35)及其他基于不同預測公式的一維固結公式進行編程求解，從而得到某一時間t修正后的固結度，最后把固結度代入對應的孔壓公式和滲透系數公式中，便可以得到修正后某一時刻t的孔隙水壓uz和滲透系數kt的預測值。在同時考慮了固結狀態和固結應力的基礎上，修正后的一維固結計算公式還考慮了滲透系數隨時間變化的過程，更加符合土的實際固結過程，為預測地基固結提供了一種更為精確的計算方法。

3 適用性和準確性研究

利用高俊等[14]和張樂等[15]的試驗數據，對預測公式的適用性和準確性進行討論。

3.1 算例1

采用高俊等[14]的試驗數據，試驗土樣來源于寧夏引黃灌區東干渠沙壤土，初始孔隙比e0=0.76，初始滲透系數k0=12.56×10-5cm/s，壓縮指數Cc=0.19，前期固結應力75 kPa，正常固結土(OCR=1)。在試樣飽和后，各級固結壓力值分別為25、50、100、200、400、800、1 200 kPa，每級加載時間為t=24 h，試樣高度H=4 cm，單面排水。

圖4為采用式(19)～式(23)滲透系數公式計算結果與高俊等[14]的試驗數據的對比。結果表明，基于中國水利水電科學研究院滲透系數修正公式的預估值與高俊等[14]的試驗數據最為吻合。因此，對于預測沙壤土的固結，使用基于中國水利水電科學研究院滲透系數的修正公式更適合，計算結果更準確。

圖4 滲透系數與固結應力的關系曲線Fig.4 Relation curve between permeability coefficient

3.2 算例2

采用張樂等[15]的試驗數據，試驗土樣為陜西洛川Q3黃土，取土深度為7～8 m(粉質黏土)。初始孔隙比e0=0.93，初始滲透系數k0=1.25×10-5cm/s，壓縮指數Cc=0.89，前期固結應力115 kPa，正常固結土(OCR=1)。在試樣飽和后，利用GDS高級加載模塊對正常固結土進行固結應力為140、165、190、215 kPa下的固結試驗，每級加載總時長為t=24 h，試樣高度H=8 cm，雙面排水。

圖5 滲透系數與固結應力的關系曲線Fig.5 Relation curve between permeability coefficient

圖5為采用式(19)～式(23)滲透系數公式計算結果與張樂等[15]試驗數據的對比。結果表明，基于柯森-卡門滲透系數修正公式的預估值與張樂等[15]的試驗數據最為接近。因此，對于預測粉質黏土的固結，使用基于柯森-卡門滲透系數的修正公式更適合，計算結果更準確。

4 工程應用案例分析

公路路基為10 m厚的粉質黏土層，初始孔隙比為0.8，初始滲透系數為2 cm/a，壓縮系數為2.5×10-4kPa-1，先期固結應力為110 kPa。采用堆載壓實固結法，假定上覆均布荷載為200、500、800、1 200 kPa，如圖6所示，利用修正前后的Terzaghi一維固結理論，討論修正前后的Terzaghi一維固結方程預測的路基固結度、沉降及孔壓的異同，最后與高俊等[14]、張樂等[15-16]不考慮時間的固結方程計算結果進行對比。

圖6 計算模型示意圖Fig.6 Schematic diagram of calculation

4.1 修正前后的Terzaghi一維固結理論對比

圖7為在上覆均布荷載為200、500、800、1 200 kPa時，修正前后的Terzaghi一維固結方程預測的路基固結度Ut-t關系曲線。由圖7可以發現，經典Terzaghi一維固結方程無法考慮固結應力，即上覆均布荷載為200、500、800、1 200 kPa所對應的Ut-t關系曲線相同。顯然，這與實際工程情況不符，往往上覆荷載越大，所需固結時間越長，因為上覆荷載越大，孔隙比e會隨著固結時間的推移變得越來越小，滲透系數也會越來越小，導致排水越來越困難，因此，需要更長的固結時間。這剛好與修正后的Terzaghi一維固結方程預測的Ut-t關系曲線一致。當固結度達到80%時，上覆均布荷載200、500、800、1 200 kPa所對應的時間t分別為4.56、5.52、6.12、9.23 a。而經典Terzaghi一維固結方程卻無法考慮固結應力的影響。

圖7 固結度與時間的關系曲線Fig.7 Relation curve between consolidation degree and

圖8為在上覆均布荷載為200、500、800、1 200 kPa時，修正前后的Terzaghi一維固結方程預測的路基沉降St-t關系曲線。可以發現，最終的沉降值隨著上覆荷載的增大而增大，分別是0.278、0.694、1.111、1.666 m。同時也發現，當上覆均布荷載較小(200 kPa)時，修正前后的St-t關系曲線較為一致，但當上覆均布荷載較大時(1 200 kPa)，修正前后的St-t關系曲線有著明顯差異，修正后的Terzaghi一維固結方程預測的沉降值需要更長的時間達到穩定。其原因是孔隙比e和滲透系數kt受到上覆均布荷載的影響，即固結應力的影響，荷載越大，需要趨于穩定的時間也越長。

圖8 沉降與時間的關系曲線Fig.8 Relationship curve between settlement and

圖9為在上覆均布荷載為200、500、800以及1 200 kPa時，修正前后的Terzaghi一維固結方程預測的路基深度z=5 m處超孔隙水壓uz-t關系曲線。可以發現，在固結初期，由于孔隙比和滲透系數比較大，孔隙水壓消散得較快，隨著時間的推移，土體逐漸被壓縮，孔隙比和滲透系數變小，孔隙水壓消散也逐漸平緩。同時也發現，當上覆均布荷載較小時(小于500 kPa)，修正前后的ut-t關系曲線較為一致，但當上覆均布荷載較大時(大于500 kPa)，修正前后的ut-t關系曲線有著明顯差異，修正后的Terzaghi一維固結方程預測的孔隙水壓需要更長的時間消散。

圖9 孔壓與時間的關系曲線Fig.9 Relationship curve between pore pressure and

4.2 一維修正固結理論對比

將Terzaghi、高俊等[14]、張樂等[15-16]和修正的一維固結方程在上覆均布荷載為1 200 kPa時的固結度Ut-t、沉降St-t及孔壓ut-t的關系曲線進行對比，如圖10所示。可以發現，雖然高俊等[14]、張樂等[15-16]的固結方程和修正一維固結方程的計算結果都滯后于Terzaghi一維固結方程，但高俊等[14]、張樂等[15-16]的固結方程需要更長的時間趨于穩定。其原因是高俊等[14]、張樂等[15-16]忽略了孔隙比e和滲透系數k與時間的相關性，認為其僅僅與固結狀態和固結應力有關，導致孔隙比e和滲透系數k的預測值偏小，進而需要更長的時間完成固結，低估了固結速率。在實際工程中，對于固結速率的預估偏小，將不可避免地給施工過程和后期使用帶來風險。因此，在預估路基固結沉降速率時，時間是不可忽視的因素之一，尤其是在上覆荷載較大、孔隙比變化較大時。

圖10 一維固結理論對比關系曲線Fig.10 Comparison curve of one-dimensional

綜上所述，若上覆荷載較小時，經典Terzaghi一維固結方程依然有效，可以忽略固結系數Cv的變化對固結度、沉降及孔壓的影響；但當上覆荷載較大時，則不能忽視固結系數Cv的變化，同時還需要考慮時間的變化。修正后的Terzaghi一維固結方程，同時考慮了固結狀態、固結應力及孔隙比變化的影響，因此，修正后的Terzaghi一維固結方程能更真實地反映固結過程，為預測地基固結提供了一種更為精確的計算方法。

5 結論

1)基于工程常用的5種滲透系數預測模型，結合固結度和側限壓縮量的關系，推導出孔隙比et的時間函數，構建了滲透系數與時間及固結應力依賴的計算公式。將所構建的滲透系數計算式代入固結系數Cv中，同時考慮固結狀態、固結應力及時間的影響，對經典Terzaghi一維固結理論進行修正。

2)利用已有的試驗數據，驗證了預測公式的準確性。推薦基于中國水利水電科學研究院滲透系數的修正公式去預測正常固結沙壤土的固結，以及采用基于柯森-卡門滲透系數的修正公式去預估正常固結粉質黏土的固結過程。

3)修正后的Terzaghi一維固結方程同時考慮了滲透系數隨時間變化及固結應力對固結系數Cv的影響，因此，能更加真實地反映固結過程。案例分析表明，若上覆荷載較小時(小于500 kPa)，經典Terzaghi一維固結方程依然有效，可以忽略固結系數Cv的變化對固結度、沉降及孔壓的影響；但當上覆荷載較大時(大于500 kPa)，則不能忽視固結系數Cv的變化，另外，在與不考慮時間的固結方程對比時，發現在上覆荷載較大時，時間是不可忽視的因素之一。因此，修正后的Terzaghi一維固結方程更符合工程實際。