基于自抗擾技術的機械-電磁懸浮復合隔振控制

黃翠翠 ，李曉龍 ，楊 洋 ，龍志強

（國防科技大學智能科學學院，湖南 長沙 410073）

低頻微幅振動會對空間高分辨率對地成像、重力梯度測量、空間微重力實驗等產(chǎn)生影響，需要采用隔振裝置減少其影響.在此環(huán)境下，要求在低頻段（頻率 ＜ 10 Hz）被隔振對象跟蹤系統(tǒng)運動，在高頻段被隔振對象實現(xiàn)振動隔離[1].常見的隔振裝置有被動隔振和主動隔振.被動隔振主要由彈簧、橡膠等實現(xiàn)機械隔振效果，針對特定對象使用機械隔振設計的隔振系統(tǒng)，其隔振頻率帶寬固定，隔振參數(shù)不可調(diào)，針對高頻干擾隔振效果好.電磁懸浮隔振作為一種主動振動控制技術，可以克服被動隔振的缺點，具有無接觸、無機械摩擦、電磁力及支承參數(shù)（剛度、阻尼等）隨控制參數(shù)的變化可控可調(diào)等優(yōu)點，因此，基于機械隔振和電磁懸浮技術的非接觸隔振的復合隔振是一種優(yōu)選方案.針對此隔振方案國內(nèi)外學者展開了大量研究.

文獻[2-3]研究了零剛度系統(tǒng)隔振相關的問題；文獻[4]利用Halbach永磁陣列，設計了基于音圈電機的六自由度的隔振系統(tǒng)，從提升電磁力的角度進行結構優(yōu)化及系統(tǒng)控制設計；文獻[5]建立了六自由度非線性模型，提出具有加速度補償?shù)腜D控制器，并在主動隔振平臺中驗證了該控制器的可行性；文獻[6]采用同軸永環(huán)形磁體和矩形線圈設計了基于電磁力的負剛度彈簧，用有限元方法分析了該彈簧模型.海軍工程大學的研究團隊將磁懸浮作動器并聯(lián)集成到氣囊隔振器內(nèi)部，組成正負剛度并聯(lián)的主被動混合隔振器；文獻[7]研究了該復合隔振器的控制寬頻和低頻線譜的振動傳遞；文獻[8]采用多通道Fx-Newton算法對磁懸浮-氣囊隔振控制進行實驗研究；文獻[9]針對氣磁主被動混合隔振的浮筏分別從時域和頻域?qū)Ω粽駥嶒炁_的數(shù)學模型進行辨識，并設計了H∞ 控制器進行振動控制；文獻[10]研究了復合隔振系統(tǒng)的自適應前饋控制，改善了收斂速度和收斂精度之間的矛盾；文獻[1]對純電磁懸浮隔振系統(tǒng)機理進行了研究，并設計基于狀態(tài)反饋的控制策略.較大的隔振控制帶寬和較好的隔振控制效果一直都是復合隔振追求的目標，但目前的研究還有很大的提升空間.

為使系統(tǒng)寬頻帶有較好的隔振效果，本文將電磁主動隔振控制與彈簧機械隔振相結合.該隔振系統(tǒng)具有電磁主動控制的電磁力可調(diào)節(jié)和彈簧被動隔振高頻隔振性能好的優(yōu)點.復合隔振系統(tǒng)通常采用經(jīng)典PID控制，調(diào)節(jié)PID參數(shù)能達到一定的隔振效果，但總體上存在兩點不足：一是當系統(tǒng)的低頻跟隨參數(shù)調(diào)好時，在該組參數(shù)下控制器帶寬較大，導致高頻隔振效果不好；二是由于系統(tǒng)存在諧波擾動，經(jīng)典PID控制器中誤差積分項有一定抑制擾動作用，但是積分項常常使閉環(huán)系統(tǒng)反應遲鈍、容易產(chǎn)生振蕩和控制量飽和等副作用.

本文對復合隔振系統(tǒng)進行分析及建模，進而為提高隔振控制系統(tǒng)的抗干擾能力提出基于自抗擾技術的復合隔振控制方法，通過仿真實現(xiàn)了復合隔振系統(tǒng)的自抗擾控制，最后實驗驗證該控制方案的可行性.

1 系統(tǒng)描述

本文提出的復合隔振系統(tǒng)是將電磁主動隔振控制與彈簧機械隔振相結合，該隔振系統(tǒng)具有電磁主動控制的電磁力可調(diào)節(jié)和彈簧被動隔振高頻隔振性能好的優(yōu)點.復合隔振平臺基本結構如圖1所示.

圖1 復合隔振平臺示意Fig.1 Schematic diagram of a compound vibration isolation platform

該復合隔振系統(tǒng)主要包括需要隔離振動的部分（被隔振物體）、產(chǎn)生振動的部分（振動臺）和支撐部分（振動臺面）.基座上裝有上、下兩個電磁線圈，與被隔振物體上的銜鐵互相吸引.基座可沿豎直方向在一定范圍內(nèi)做往復運動，振動臺可以產(chǎn)生單頻穩(wěn)態(tài)正弦運動，振動臺與基座固連，因此，基座也產(chǎn)生單頻穩(wěn)態(tài)正弦振動.基座與被隔振物體之間通過電磁力和彈簧支撐力相互作用.被隔振物體所受的電磁力是通過控制器實現(xiàn)差動控制調(diào)節(jié)，因此，控制器的控制性能直接影響被隔振物體的隔振效果.

2 系統(tǒng)分析與建模

2.1 模型假設

為了描述系統(tǒng)的運動規(guī)律、分析設計系統(tǒng)控制器，需要對隔振系統(tǒng)建立數(shù)學模型.針對復合隔振系統(tǒng)模型提出以下假設：

1） 忽略漏磁通，磁通全部通過電磁鐵的外部磁極氣隙；

2） 磁通在氣隙處均勻分布，忽略邊緣效應；

3） 忽略電磁鐵鐵芯的磁阻，電磁鐵與銜鐵所組成的磁路磁阻主要集中在兩者之間的氣隙上；

4） 假設磁浮隔振系統(tǒng)所受的電磁力集中在電磁鐵的中心，且該中心與系統(tǒng)的質(zhì)心重合；

5） 彈簧是一種機械連接形式，大多數(shù)情況下，其質(zhì)量和阻尼是可忽略不計的.

2.2 系統(tǒng)建模與分析

復合隔振系統(tǒng)是典型的非線性系統(tǒng)，系統(tǒng)中的電磁力與電磁鐵繞組中的瞬時電流、電磁鐵與銜鐵間的氣隙存在著較為復雜的非線性關系.

2.2.1 系統(tǒng)動力學方程

復合隔振系統(tǒng)受力分析如圖2所示.圖中：z為被隔振物體的位移；r為電磁鐵的位移；m為電磁鐵等效質(zhì)量；Fe1、Fe2為下、上兩個電磁鐵的電磁力；k、q分別為彈簧的等效剛度和等效阻尼；i1、i2分別為下、上電磁線圈通入的總電流；h1、h2分別為下、上電磁鐵和被控對象之間的間隙；u1、u2分別為下、上電磁鐵通入的總電壓；R1、R2分別為下、上電磁鐵線圈的等效電阻，R1=R2=R.

圖2 復合隔振系統(tǒng)受力分析Fig.2 Force analysis of compound vibration isolation system

忽略系統(tǒng)其他方向上的微小振動，只研究豎直方向的單自由度運動.規(guī)定向下為被隔振物體受力與運動的正方向，系統(tǒng)的動力學方程為

式中： Δz為彈簧的初始壓縮量.

不考慮電磁力作用的情況下，系統(tǒng)豎直方向的等效剛度和阻尼完全取決于彈簧的自身特性k和q，無法動態(tài)調(diào)節(jié).此時系統(tǒng)靜止時滿足

2.2.2 電磁鐵受力分析

下端電磁鐵和被控對象之間的間隙為h1，則

上、下兩個電磁鐵的結構參數(shù)相同，同理可得

2.2.3 系統(tǒng)模型線性化處理

在可允許的誤差范圍內(nèi)，可以把非線性系統(tǒng)進行線性化處理，而線性化后的模型可借助疊加原理等性質(zhì)簡化系統(tǒng)分析，同時方便應用線性系統(tǒng)理論進行系統(tǒng)分析及控制器設計.

系統(tǒng)在平衡位置時，上、下電磁鐵與被隔振對象之間的間隙有h1=h2=h0，由于該間隙是在平衡位置附近的小范圍內(nèi)運動，可以對系統(tǒng)進行線性化處理，即將系統(tǒng)中的非線性部分在平衡點（i0,h0）處作泰勒級數(shù)展開，省略高階項，其中：i0為系統(tǒng)偏置電流；h0為靜平衡時電磁鐵與被控對象之間的工作間隙.

系統(tǒng)中的上、下兩個電磁線圈用差動方式連接，兩個電磁線圈中的電流滿足

式中：i3為控制電流.

系統(tǒng)中i0是常數(shù)，則式（5）求導可得

系統(tǒng)中電磁鐵位移偏離中心位置量為

則由式（7）可知

系統(tǒng)中h0是常數(shù)，則式（8）求導可得

對式（3）進行線性化后可以得到

式中：F1(i0,h0) 為下端電磁鐵在通入偏置電流i0、間隙為h0時的電磁鐵吸力；

同理，式（4）進行線性化后可得

式中：F2(i0,h0) 為上端電磁鐵在通入偏置電流i0、懸浮間隙為h0時的電磁鐵吸力；

由于上、下兩塊電磁鐵的線圈匝數(shù)、電阻、電感及結構尺寸等制造參數(shù)一致，則在線性化過程中，其電流系數(shù)和位移系數(shù)都是一致的，故有

式中：Ki為上、下兩電磁鐵電流系數(shù)的統(tǒng)一表示；Kh為位移系數(shù)的統(tǒng)一表示；F(i0,h0) 為上、下兩電磁鐵的偏置力的統(tǒng)一表示.

將式（12）代入式（10）、（11）可化簡為

將式（13）代入式（1）可得

由此系統(tǒng)從控制電流到被控對象位移輸出的傳遞函數(shù)可表示為

2.2.4 系統(tǒng)電學方程

復合隔振上、下兩個電磁鐵的電學方程為

上、下兩塊電磁鐵采用差動控制，則其輸入電壓有

式中：u0為偏置電壓；u3為控制電壓.

由于下、上電磁鐵線圈的等效電阻相等，在此統(tǒng)一用R表示，將式（16）中的兩式相減可得

由于h1、h2遠大于 h3，可得

則式（18）可化簡為

由式（20）可得到控制電壓輸入量與控制電流輸出量之間的傳遞函數(shù)為

由此傳遞函數(shù)可知：該部分為一階慣性系統(tǒng)，其時間常數(shù) τ =2K/(h0R).

i3和u3之間存在延時，該延時過大會引起系統(tǒng)不穩(wěn)定，因此引入電流反饋目的是使電磁鐵中的電流能夠快速跟蹤控制電壓.

加入電流反饋的開環(huán)系統(tǒng)模型如圖3所示.圖中：kc1、kc2為電流反饋的配置參數(shù).

圖3 帶電流反饋的開環(huán)系統(tǒng)模型Fig.3 Open loop system model with current feedback

通過配置電流反饋環(huán)節(jié)參數(shù)kc1、kc2，使該反饋環(huán)節(jié)近似為一個比例系數(shù)為1的比例環(huán)節(jié)，如圖3中的前半部分u3到i3，可得到其傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)輸入為u3，輸出為z，在頻域中控制輸入與位移之間的傳遞函數(shù)可表示為

在此二階系統(tǒng)中，Kh項的值很大且為負，系統(tǒng)具有正極值點，所以系統(tǒng)的本質(zhì)是不穩(wěn)定的，需要通過設計控制器實現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定.

3 系統(tǒng)控制器設計

隔振系統(tǒng)控制器設計實現(xiàn)的目標是：振動臺在低頻（頻率 ＜10 Hz）振動時，被隔振對象跟隨系統(tǒng)振動；振動臺在高頻振動時，被隔振對象保持不動，高頻振動信號被隔離.電磁鐵的電磁力隨間隙變化呈現(xiàn)非線性變化，這種非線性會引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定.另外由于系統(tǒng)的懸浮間隙較小，不允許系統(tǒng)在動態(tài)調(diào)整過程中出現(xiàn)較大的超調(diào)量.因此隔振系統(tǒng)的控制器不僅需要較強的魯棒性還需要具有較高的控制精度.

目前的隔振系統(tǒng)控制器大多是基于現(xiàn)代控制理論的方法和PID控制方法設計，基于自抗擾控制技術的隔振系統(tǒng)控制器較少有人研究.自抗擾控制能估計系統(tǒng)擾動，設計系統(tǒng)的自抗擾控制主要由跟蹤微分器、非線性誤差反饋和擴張觀測器3個部分組成[11-13].

跟蹤微分器能實現(xiàn)信號的跟蹤和微分，在控制系統(tǒng)中使用跟蹤微分器安排過渡過程能夠降低系統(tǒng)在初始狀態(tài)由于誤差較大造成系統(tǒng)的超調(diào)現(xiàn)象.

擴張狀態(tài)觀測器把作用于開環(huán)系統(tǒng)的加速度的實時作用量擴張成新的狀態(tài)變量，則

式中：x1、x2、x3均為系統(tǒng)狀態(tài)變量；y為系統(tǒng)輸出；ω(t)為系統(tǒng)擾動；u為系統(tǒng)輸入；b為系統(tǒng)輸入系數(shù).

對于此被擴張的系統(tǒng)建立擴張狀態(tài)觀測器

式中：e為系統(tǒng)誤差；z1、z2、z3均為系統(tǒng)估計狀態(tài)；β01、β02、β03分別為e、f1、f2的系數(shù)；f1和f2均為關于誤差e的函數(shù)，該函數(shù)關系可以用 f al(e,α,δ) 表達[13]：

其中： α 、 δ 均為可調(diào)整參數(shù).

根據(jù)系統(tǒng)特性選用不同的 α 、 δ 參數(shù)值，在擴展狀態(tài)觀測器中f1和f2是參數(shù) α 、 δ 取不同值得到的結果.該函數(shù)是一個非線性函數(shù)，擴張狀態(tài)觀測器的非線性就體現(xiàn)在此函數(shù)中，擴張狀態(tài)觀測器中變量z3為系統(tǒng)擴張變量，也是擾動估計項.

本文提出的自抗擾控制器采用擴張狀態(tài)觀測器進行系統(tǒng)擾動估計，利用PD控制實現(xiàn)系統(tǒng)的誤差反饋，積分環(huán)節(jié)由系統(tǒng)擾動補償取代，在保證系統(tǒng)跟蹤精度的前提下，提高系統(tǒng)的動態(tài)性能.

本文提出的基于自抗擾技術的控制系統(tǒng)架構如圖4 所示.圖中：zd為系統(tǒng)理想輸入；zd1、zd2分別為理想信號的跟蹤和微分.

圖4 控制系統(tǒng)架構Fig.4 Framework of control system

由圖4可知：系統(tǒng)采用微分跟蹤器實現(xiàn)理想信號的跟蹤和微分，應用擴張狀態(tài)觀測器對輸出的位移信號進行跟蹤和微分，同時估計系統(tǒng)的擾動.設計PD控制器為誤差信號和誤差微分信號的線性組合，即u0，將擴張觀測器獲得的擾動信號補償系統(tǒng)的控制量u0，得到最終輸入到電磁鐵懸浮位置控制系統(tǒng)的控制量u，如式（27）.

在控制器設計中，擴張狀態(tài)觀測器存在一定的帶寬，在低頻信號干擾情況下能夠準確估計擾動，并補償至控制率中，提高控制精度.在高頻信號干擾情況下，擾動的估計值衰減較大，所以無法準確估計，進而對控制率的補償很小，因此，高頻干擾信號主要由彈簧阻尼系統(tǒng)和PD控制器進行高頻濾波.

應用所提出的控制系統(tǒng)架構，對前文得到的系統(tǒng)模型進行仿真.通過調(diào)整PD控制器的Kp、Kd參數(shù)，以及擴張狀態(tài)觀測器中的 f al(e,α,δ) 函數(shù)的 α 和δ，對系統(tǒng)模型進行仿真.

在仿真系統(tǒng)中，為模擬實驗環(huán)境中由于模型參數(shù)不確定所引起的擾動，在仿真模型中加入擾動項，該擾動項頻率受系統(tǒng)輸入頻率影響，且能夠影響系統(tǒng)輸出響應.在擾動作用下，分析本文所提出的控制器隔振效果.

系統(tǒng)振動輸入信號zd(t)=0.005sin（2πft），仿真實驗中輸入信號頻率f從2 Hz到300 Hz變化，系統(tǒng)擾動n(t)=3sin(2πft) ，Kp=2000 ，Kd=15.控制系統(tǒng)仿真結果如圖5所示.

由圖5可知：在低頻信號干擾區(qū)，自抗擾控制器在1～10 Hz低頻區(qū)的控制效果達到0.6 dB，應用自抗擾控制器有較好的跟蹤效果；之后隨著信號的頻率增加，擴張觀測器信號開始衰減，在120 Hz高頻信號輸入下，控制系統(tǒng)的高頻隔振效果達到 -13.8 dB.在260 Hz高頻信號輸入下，控制系統(tǒng)的高頻隔振效果達到 -22.3 dB.

圖5 控制系統(tǒng)仿真圖Fig.5 Simulation results of control system

4 隔振系統(tǒng)實驗

為提高主動隔振實驗及算法調(diào)試的效率，實驗中選用Speedgoat公司的實時目標機作為主動隔振控制器.控制器在使用中運行Simulink Real-time，并調(diào)用相應的IO接口模塊，通過IO接口，將控制器產(chǎn)生PWM （pulse width modulation）信號輸入到斬波板，實現(xiàn)系統(tǒng)的控制.

復合隔振平臺如圖6所示，在復合隔振系統(tǒng)實驗中，上、下兩電磁鐵始終工作在單頻正弦穩(wěn)態(tài)激振的環(huán)境下，實驗時基座的振動頻率為2～300 Hz，振動加速度為0～5g，通電時間為1～30 min.

圖6 復合隔振平臺實物Fig.6 Photograph of compound vibration isolation platform

利用本文所提出的控制方法，在復合隔振平臺上進行驗證.由圖7所示的仿真和實驗的對比結果可知：2～10 Hz頻段能實現(xiàn)低頻跟隨，10～100 Hz頻段內(nèi)幅值衰減逐漸增大，100～300 Hz頻段內(nèi)的隔振效果超過-14.9 dB；仿真結果與實驗結果的趨勢一致，證明了基于自抗擾控制的方法用于復合隔振系統(tǒng)的可行性.但是由于仿真模型的不準確、傳感器測量精度限制等因素的影響，基于誤差反饋控制的控制精度會受到影響，導致實驗效果與仿真效果之間有一定差別.

圖7 自抗擾控制仿真與實驗結果對比Fig.7 Comparison between simulation and test results of the active disturbance rejection control

5 結 論

針對電磁主動隔振與彈簧機械隔振相結合的磁浮復合隔振系統(tǒng)進行了系統(tǒng)分析并建立了系統(tǒng)數(shù)學模型.為提升系統(tǒng)對干擾的抑制能力，提出了基于自抗擾技術的控制器設計方案.對所提出的控制方案進行仿真，最后通過實驗驗證了所設計的控制器的有效性.實驗驗證了本文所提的控制方法滿足寬頻帶的振動控制需求，避免了應用PID控制得到的系統(tǒng)寬頻帶隔振效果不足以及由積分環(huán)節(jié)引起的系統(tǒng)動態(tài)響應特性降低，隔振系統(tǒng)在低頻段具有跟隨效果，在高頻段振動衰減達到-14.9 dB.