概率論與數理統計中“二項分布”的教學設計

王燕飛，薛冬梅

(吉林化工學院 理學院，吉林 吉林 132022)

自2014年習近平總書記在全國高校思想政治工作會議發表重要講話以來，課程思政建設已經逐步深入人心。教育應以“立德樹人”為本，培養有德、有志、有義、有信的人。概率論與數理統計是一門研究隨機現象客觀規律性的數學課程，具有獨特的思想方法，廣泛應用于生產生活中各個領域，也是高等院校一門重要數學基礎課。教師應當以概率論與數理統計知識為載體，將思政元素和理念融入日常教學活動中，對教學過程、教學內容等進行重新整合和設計[1]。在以往的文獻中多數是針對該課程思政元素融合的宏觀設計和引領[2-7]，而在具體的課程內容上，如何細致入微地融入思政元素是值得探究的。在概率統計理論與應用的研究發展史上,“二項分布”被認為是一種具有絕對統治性質的概率分布之一，且由于其應用的重要性和廣泛性備受學者關注。在課程中起到了承上啟下的作用，它既是前面所介紹的離散型隨機變量中最常見的分布類型之一，又與后續另一離散型分布泊松分布及連續型分布正態分布有著密切聯系，另外，在大數定律和中心極限定理這兩個核心理論中，二項分布也占據重要地位。為此，從融入課程思政元素的角度，對“二項分布”知識點進行精心地教學設計，力圖為教師講解提供嶄新的思路和啟發。

一、教學目標

深刻理解二項分布的產生背景和概念，明確(0-1)分布是二項分布的特殊情況。掌握通過判別伯努利概型的方法和技巧，從而明確二項分布的隨機變量取值概率的求解計算。培養學生從概率的角度分析實際問題，并利用概率知識解決問題的能力。

二、學情分析

學生初步掌握了離散型隨機變量的概念及其分布列和分布律的表達形式。具備一定的歸納、抽象能力。但不足點是：對于分析和解決實際背景問題的能力相對薄弱，概率思維的運用及數學建模能力有待提高。

三、教學重點及難點

(一)教學重點

二項分布的判定、服從二項分布的隨機變量的引入、利用二項分布求解實際問題。

(二)教學難點

伯努利概型的理解及判別技巧、二項分布中的兩個參數的確定、用隨機變量表示隨機事件。

四、教學方法的設計

首先，提出女排比賽問題，引發學生思考，調動積極性進入“二項分布”的學習。并將這個案例貫穿教學全過程，通過解決女排比賽問題，由淺入深介紹“伯努利試驗”“n重伯努利概型”“二項分布”及“(0-1)分布”的概念。其次，利用計算機程序畫出二項分布取值概率的圖像，直觀理解概念，增強學生學習興趣。另外，在案例分析過程中，從“二項分布”和“窮舉法”兩種思路求解，比較分析，開闊學生思路。最后，通過“二項分布”知識點的思維導圖總結相關知識點的關系。

五、教學過程設計

(一)課程引入

那么，請同學們思考問題：如果中國和塞爾維亞女排再次交鋒，獲勝的概率有多大呢？

事實上，可以利用概率方法解決這個問題，為此，需要學習一種新的概率模型和概率分布。

(二)伯努利試驗和n重伯努利試驗

在世界上存在兩種結果的事物有很多，比如：圍棋的棋子是黑色或者白色、硬幣的圖案是正面或者反面、一場足球比賽有勝有負、抽檢的產品是合格品或是次品、一門考試結果是及格或者不及格等等。在哲學中，辯證唯物主義認為事物總是有兩面性的，它們既對立又統一。

在概率論與數理統計中，這樣只有兩種結果的隨機試驗我們稱為伯努利試驗[9]。而具有獨立性、重復性(每次試驗在相同條件下進行)的n次伯努利試驗稱為n重伯努利試驗(或n重伯努利概型)。具有如下特征：

3.獨立地重復進行n次試驗。

其中，n次試驗相互獨立指的是各次試驗的結果為何相互之間沒有影響。“獨立性”也是n重伯努利試驗最重要的特征。

這類概率模型在生活中應用較為廣泛，比如：一名特種兵在相同地點使用同一手槍多次射擊打靶試驗；一批產品有放回地抽檢100件；奧運會乒乓球單打淘汰賽兩名選手對打7局，每局只有勝負2個結果，且7局之間結果相互獨立。這些都符合n重伯努利試驗。

(三)二項分布

1.定義：在n重伯努利試驗中，通常比較關心其中的一個結果(不妨設為A)發生的次數，設為隨機變量X，則X的概率分布稱為二項分布，記作X～B(n,p)[10]。此時X取值的概率為

(1)

注：(Ⅰ)二項分布的名稱主要來源于其概率結果為二項式定理的展開式。縮寫代表字母B既是伯努利(Bernoulli)名字開頭，也是二項(binomial)的開頭字母,而“bino”在計算機中代表二項的。在Matlab中提供了binopdf、binocdf和binoinv等語句分別用于求解二項分布的取值概率、累積取值概率和滿足概率的左鄰界值；

(Ⅱ)參數n為獨立試驗的次數，p為一次伯努利試驗中A發生的概率值，k為在n次試驗中A發生的次數X的取值。在具體的實際問題中，要注意如何判斷是否為二項分布，重要的就是將問題背景中的量抽象成模型中的參數，即哪些是事件A，概率p，試驗次數n及發生的次數X。這需要學生多次練習并熟練掌握；

2.推導

3.分布律圖像

以參數n=100,p=0.03的二項分布B(100,0.03)為例，利用Matlab中的binopdf語句或者EXCEL中的BINOM.DIST.RANGE語句，均可求得隨機變量X各個取值的概率，并畫出柱狀圖，如圖1所示。

X的取值

從分布律圖像中不難發現，縱坐標的取值概率大致呈中間高兩邊低的拱形趨勢，這一結果使得后來的學者研究出了二項分布與其他分布諸如泊松分布、正態分布之間的關系。這些內容在后續課程中再陸續介紹。

(四)人物介紹

雅各布·伯努利(1654-1705年)，瑞士數學家，天文學家，是聲望顯赫的科學世家伯努利家族中的佼佼者。1699年，成為巴黎科學院院士。1701年成為柏林科學院會員。

眾多的數學研究成果以“伯努利”命名。比如：1694年的伯努利雙紐線，1695年的伯努利微分方程等。而他在概率論方面所做出的研究成果是其對數學領域最重要的貢獻。他把一生所研究的成果最終著成不朽之作，這就是1713年出版的《猜度術》，提出了有史以來的第一個大數定律——伯努利大數定律。其主要表明的結果就是頻率與概率接近關系，使得概率的統計定義具備理論依據。這一結果在概率論發展畫卷上也是色彩亮麗的一筆，其影響及其深遠。

(五)案例分析：女排比賽

下面從概率的思維角度分析兩國交戰的情況。根據數據統計，中國女排與塞爾維亞女排歷史交鋒共19次，總比分為43：37。則對于每局對決，中國女排獲勝的概率約為0.54，輸掉的概率約為0.46。賽制為五局三勝，那么中國女排最終取得勝利的概率有多大呢？

2.問題求解：解法一：利用二項分布計算。

假設隨機變量X為在總局數為5局比賽時中國女排的獲勝次數，則X～B(5,0,54)。根據5局3勝制，要想最終取得勝利，至少贏得3局，即獲勝的局數分別可能為3、4、5。假設事件C={女排贏得比賽勝利}，則

由此，計算出了中國女排最終戰勝塞爾維亞女排的概率約為0.57。

這種方法簡單易求，但有的結果或許和的直覺想法有出入。比如，如果前三局比賽都獲勝了，實際情況是我們不需要再打后兩局了，如此看來，獲勝5局的情況是不存在的。那么，這種求解方法正確嗎？下面不妨利用常規思路再求解一下，比較二者結果是否一致。

解法二：窮舉法。

考慮實際比賽中，女排最終獲勝的所有可能情況共10種，具體情況見下表1。

表1 女排最終取勝的實際比賽可能情況統計表

由于各局比賽結果相互獨立，則可得：

3.思考問題：為何兩種方法考慮角度不同，所得結果卻是一樣的？

分析：按照解法一中在5局比賽中獲勝局數分別為3、4、5時考察所有比賽的情況，對比解法二中的實際比賽局數。具體見表2。

表2 兩種解法的比賽情況對比表

即解法一和解法二是一致的。

當獲勝局數為5局時，實際比賽局數為5局共6種情況，對比表1和表2完全相同。因此，盡管考慮的角度不同，兩種方法都可以用來就解，所得結果是一致的。而相比窮舉法，利用二項分布求解起來直觀簡便，何嘗不用。因而，此類問題不需要再費盡精力一一考慮所有可能情況，直接利用二項分布求解即可。

伯努利試驗體現的是一次試驗只有兩個結果。而人生中很多事都不是只有勝和負這兩種結果，自古以來不以成敗論英雄，重要的是為了心中的理想努力奮斗過。青春的意義正是如此，每個人都應該有一個長遠的目標，并腳踏實地為之刻苦拼搏。能夠淡定的收獲戰果，也應該同樣坦然的接收失敗，并在失敗中總結教訓，不斷進取！希望同學們能發憤圖強，勵精圖治，報效祖國！

5.問題拓展：同學們可以課下查閱資料，用概率方法分析中國女排和另一個世界強隊美國女排的對決情況，考慮中國女排獲勝的概率有多大？

通過以上思維導圖總結，如圖2比較容易理解“伯努利試驗”和“n重伯努利試驗”的主要特征及其與“(0-1)分布”和“二項分布”之間的密切關系。

圖2 知識梳理的思維導圖

六、教學創新點

本文針對“二項分布”這一知識點，對教學過程進行設計。主要創新點包括：

1.從“女排比賽”問題引入，引起學生學習興趣；

2.在案例分析求解過程中，通過兩種方法的比較研究，拓寬思路，培養學生的概率思維能力；

3.利用Matlab數學軟件畫出二項分布律的圖像，更加直觀，同時為后續課程“泊松分布”及“正態分布”的學習做好鋪墊。另外，通過數學軟件的操作，使得學生對于知識的理解更加深刻；

4.對于數學家伯努利的介紹，開闊了學生視野，培養學術研究素養；

5.解析“女排精神”，恰當融入“思政元素”，引領學生樹立正確的人生觀和價值觀；

6.利用思維導圖總結，使得學生深刻理解各概念之間的關系，直觀明確。

七、教學反思

通過“女排比賽”問題，使得學生對于“二項分布”“(0-1)分布”“伯努利試驗”及“n重伯努利試驗”理解透徹。利用數學軟件操作，啟發思考問題和思政引領等方式，學生表現出較高的積極性和較大的情感投入，通過提問和互動表明學生已經獲得良好的學習效果，達到了本節的教學目標。